增长率怎么算？中考数学复利应用题深度解析与训练专项练习题库

💡 阿星精讲：增长率 原理

• 核心概念：增长率啊，就像是“数学复利”！想象一下，你有一个值 \( a \)，它就像你的“本金”。它每年（或每期）都会按照一个比例 \( x \) “长大”一次。两年后呢？它可不是简单地长两次 \( ax \)，而是第一年长完变成 \( a(1+x) \)，第二年这个“新本金” \( a(1+x) \) 继续按 \( x \) 长，所以结果是 \( a(1+x) \times (1+x) = a(1+x)^2 \)。看，指数 \( 2 \) 就是时间的力量！阿星说：\( a(1+x)^2 = b \)，这个“²”就是两年时间的“发酵”次数。
• 计算秘籍：
  1. 已知初始值 \( a \)、终值 \( b \)、年数 \( n \)，求年平均增长率 \( x \)。

     公式： \( a(1+x)^n = b \) → \( (1+x)^n = \frac{b}{a} \) → \( 1+x = \sqrt[n]{\frac{b}{a}} \) → \( x = \sqrt[n]{\frac{b}{a}} - 1 \)

  2. 已知初始值 \( a \)、增长率 \( x \)、年数 \( n \)，求终值 \( b \)。

     公式： \( b = a(1+x)^n \)

• 阿星口诀：增长像发酵，指数看年号；开方求利率，公式要记牢。

📐 图形解析

让我们用“面积的增长”来可视化“复利”的威力。假设初始面积（产量/金额）为 \( a \)，增长率为 \( x \)，每一年的增长都在前一年的基础上进行，就像给图形不断“镶边”。

初始面积（边长= \( \sqrt{a} \)）： \( S_0 = a \)

第一年后，边长增加 \( x \) 倍，变为 \( \sqrt{a}(1+x) \)，面积变为： \( S_1 = a(1+x)^2 \)

看到吗？增长的部分（蓝色L型）是基于原来的核心（浅蓝色）向外“一圈一圈”扩张的。第二年，会在新的更大正方形外再镶一圈更大的边。这就是“复利”或“指数增长”的几何意义！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：两年增长了20%，年平均增长率就是 \( 20\% \div 2 = 10\% \)。 → ✅ 正解：如果总增长率为20%，终值是初始值的 \( 1.2 \) 倍。设年平均增长率为 \( x \)，则 \( (1+x)^2 = 1.2 \)，解得 \( x = \sqrt{1.2} - 1 \approx 9.54\% \)，不是简单的除法。
• ❌ 错误2：已知两年后产量为 \( b \)，平均年增长率为 \( x \)，求两年前产量时写 \( b(1-x)^2 \)。 → ✅ 正解：增长和降低的模型不同。设两年前为 \( a \)，则 \( a(1+x)^2 = b \)，所以 \( a = \frac{b}{(1+x)^2} \)。用 \( b(1-x)^2 \) 计算结果是错误的，因为降低的基数不对。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 某市2021年GDP为2000亿元，预计年平均增长率为5%，求2023年的GDP。
2. 一款手机去年售价3000元，今年售价2700元，价格降低了百分之几？
3. 一棵树苗每年长高20%，现在高1.2米，两年后预计多高？
4. 若 \( 100(1+r)^2 = 144 \)，求 \( r \)。
5. 已知年平均增长率为8%，两年后产值增加了86.4万元，求原来的产值。
6. （配简图）一个正方形的边长每年增加10%，请画出两年后面积构成示意图（标注原部分和增长部分）。
7. 银行单利和复利有什么区别？如果本金1000元，年利率5%，存2年，分别计算单利和复利的本息和。
8. 将公式 \( a(1+x)^n = b \) 变形，分别写出求 \( a \) 和求 \( n \) 的公式。
9. 某数先增加10%，再减少10%，结果是原数的百分之几？
10. 判断：若每年增长率相同，则三年总增长率是第一年增长率的三倍。（ ）

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）某企业2019年盈利1500万元，2021年盈利2160万元，求这两年的年平均增长率。
2. 某商品连续两次降价10%后为a元，则该商品原价为多少元？
3. 一种药品原价40元，经过两次涨价后价格变为48.4元，已知两次涨价率相同，求每次的涨价率。
4. 某地区去年植树100公顷，计划今明两年共植树231公顷，若每年植树面积增长率相同，求这个增长率。
5. 某工厂2020年污水处理量为100万吨，2022年污水处理量增长到144万吨，求年平均增长率。若保持此增长率，2023年污水处理量预计是多少？
6. 已知 \( (1+x)^2 = 2 \)，求 \( (1+x)^4 \) 的值。
7. 某品牌电脑连续两次提价 \( x\% \) 后，售价从原价 \( m \) 元变为 \( n \) 元，请用 \( m, n \) 表示 \( x \)。
8. 某市计划两年后城镇化率达到60%，已知当前城镇化率为54.15%，求年平均增长率（精确到0.1%）。
9. 某新能源汽车销量2020年为10万辆，2022年为23.1万辆，求年平均增长率。并估算2021年的销量。
10. （综合题）一个容器有1升溶液，含溶质A为10克。每操作一次，倒出0.2升溶液，再加水补满。设第 \( n \) 次操作后溶质A为 \( a_n \) 克。求 \( a_1 \)，并猜想 \( a_n \) 的表达式（这本质是负增长模型）。

第三关：生活应用（5道）

1. （理财计算）小明将压岁钱10000元存入银行，年利率为3%，按复利计算，3年后本息和是多少？如果想5年后本息和超过11500元，年利率至少要到多少（精确到0.1%）？
2. （人口预测）某县2020年人口为50万，若年平均自然增长率为1.2%，请建立模型，预测2030年该县人口数量（保留整数）。
3. （折旧问题）某公司以20万元购买一台设备，该设备每年折旧率为15%（即价值每年减少为上一年价值的85%）。求4年后该设备的残值。
4. （传染病模型简化）在疾病传播初期，假设每个病人每天能传染给2个新病人。若从1个病人开始，不考虑治愈和隔离，5天后共有多少病人被传染（包括最初的）？
5. （噪声衰减）声音在传播过程中，强度会按一定比率随距离增加而衰减。若声音强度每传播10米衰减为原来的90%，求声音传播50米后的强度是原强度的百分之几？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身
1. \( 2000 \times (1+5\%)^2 = 2000 \times 1.1025 = 2205 \)（亿元）
2. 降低率 \( = (3000-2700)/3000 \times 100\% = 10\% \)
3. \( 1.2 \times (1+20\%)^2 = 1.2 \times 1.44 = 1.728 \)（米）
4. \( (1+r)^2 = 1.44 \)， \( 1+r = 1.2 \)， \( r = 0.2 = 20\% \)
5. 设原产值 \( a \)， \( a \times [(1+8\%)^2 - 1] = 86.4 \)， \( a \times 0.1664 = 86.4 \)， \( a = 519.23 \) 万元
6. 参考“图形解析”部分SVG。
7. 单利：利息不变， \( 1000+1000 \times 5\% \times 2 = 1100 \) 元；复利：利息生息， \( 1000 \times (1+5\%)^2 = 1102.5 \) 元。
8. 求 \( a \)： \( a = \frac{b}{(1+x)^n} \)；求 \( n \)： \( (1+x)^n = \frac{b}{a} \)， \( n = \log_{(1+x)}(\frac{b}{a}) \)。
9. 设原数为1， \( 1 \times (1+10\%) \times (1-10\%) = 0.99 \)，是原数的99%。
10. 错误。总增长率为 \( (1+x)^3 - 1 \)，不是 \( 3x \)。

第二关：中考挑战
1. \( 1500(1+x)^2 = 2160 \)， \( (1+x)^2=1.44 \)， \( x=0.2=20\% \)。
2. 设原价 \( p \)， \( p(1-10\%)^2 = a \)， \( p = \frac{a}{0.81} = \frac{100a}{81} \) 元。
3. \( 40(1+x)^2 = 48.4 \)， \( (1+x)^2 = 1.21 \)， \( x = 10\% \)。
4. 设增长率 \( x \)， \( 100(1+x) + 100(1+x)^2 = 231 \)，令 \( 1+x = t \)，得 \( 100t + 100t^2 = 231 \)，解得 \( t=1.1 \) (负值舍)， \( x=10\% \)。
5. \( 100(1+x)^2 = 144 \)， \( x=20\% \)。2023年： \( 144 \times (1+20\%) = 172.8 \) 万吨。
6. \( (1+x)^4 = [(1+x)^2]^2 = 2^2 = 4 \)。
7. \( m(1+x\%)^2 = n \)， \( 1+x\% = \sqrt{\frac{n}{m}} \)， \( x = 100 \times (\sqrt{\frac{n}{m}} - 1) \)。
8. \( 54.15\% (1+x)^2 = 60\% \)， \( (1+x)^2 \approx 1.108 \)， \( 1+x \approx 1.0526 \)， \( x \approx 5.3\% \)。
9. \( 10(1+x)^2 = 23.1 \)， \( (1+x)^2 = 2.31 \)， \( 1+x \approx 1.52 \)， \( x \approx 52\% \)。2021年： \( 10 \times 1.52 = 15.2 \) 万辆。
10. \( a_1 = 10 \times \frac{0.8}{1} = 8 \) 克。每次操作后溶质量变为上一次的0.8倍，故 \( a_n = 10 \times (0.8)^n \) 克。

第三关：生活应用
1. \( 10000 \times (1+3\%)^3 \approx 10927.27 \) 元。设利率 \( r \)， \( 10000(1+r)^5 \ge 11500 \)， \( (1+r)^5 \ge 1.15 \)， \( 1+r \ge \sqrt[5]{1.15} \approx 1.028 \)， \( r \ge 2.8\% \)。
2. 2030-2020=10年， \( 50 \times (1+1.2\%)^{10} \approx 50 \times 1.1267 \approx 56.335 \approx 56 \) 万。
3. \( 20 \times (1-15\%)^4 = 20 \times 0.85^4 \approx 20 \times 0.522 \approx 10.44 \) 万元。
4. 传染期数 \( n=5 \)，每期增长率 \( x=1 \)（即翻倍）， \( 1 \times (1+1)^5 = 2^5 = 32 \) 人。
5. 每10米衰减为90%，50米共5个周期，强度为原强度的 \( (90\%)^5 = 0.9^5 \approx 0.5905 \approx 59.05\% \)。