增长率问题（百分数/一元二次方程）深度解析与专项训练 – 复利模型精讲

💡 阿星精讲：增长率问题 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天咱们聊聊“增长”。想象一下，你存了一笔压岁钱 \( a \) 元到银行，银行说年利率是 \( x \)（比如10%，即 \( x=0.1 \)）。一年后，你的钱变成 \( a + a \times x = a(1+x) \)。这笔钱连本带利进入第二年，继续利滚利！所以两年后，是 \( a(1+x) \) 再乘以 \( (1+x) \)，也就是 \( a(1+x)^2 \)。这就是复利模型的精髓：增长是基于前一年的总结果发生的，不是只对最开始的 \( a \) 增长。所以，阿星敲黑板：a(1+x)²=b。两次增长后的结果，指数是2，别写成2x。 写成 \( a(1+2x)=b \) 就大错特错啦，那可是单利，不是复利哦！
• 计算秘籍：
  1. 设元：设初始量为 \( a \)，增长率为 \( x \)（常以百分数形式，计算时化为小数），n次增长后的量为 \( b \)。
  2. 建模：套用核心公式 \( a(1+x)^n = b \)。
  3. 求解：已知其中三个量，解方程求第四个量。常用开方或解一元二次方程。
• 阿星口诀：增长问题像滚雪球，本金利息一起走。一次一次乘，指数记心中，若求增长率，开方再减1。

📐 图形解析

增长率问题虽不是纯几何，但我们可以用一个面积模型来可视化“增长”的过程，帮助你理解 \( (1+x)^2 \) 的含义。

初始状态是一个边长为 \( 1 \) 的正方形，其面积代表初始量“1份”。

假设边长增长率为 \( x \)，则新边长为 \( 1+x \)。新正方形的面积就是 \( (1+x)^2 \)。它可以拆解为四部分：

看明白了吗？面积 \( (1+x)^2 \) 并不是简单的 \( 1+2x \)，而是多出了一块 \( x^2 \)（右下角粉色部分）。这正是“利滚利”或“增长再增长”产生的额外效应！这解释了为什么 \( a(1+x)^2 \) 不能简化为 \( a(1+2x) \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：把两次增长直接写成 \( a(1+2x)=b \)。 → ✅ 正解：增长是连续乘法过程，正确模型是 \( a(1+x)^2 = b \)。\( 2x \) 是增长率相加，而 \( (1+x)^2 \) 展开后是 \( 1+2x+x^2 \)，多出的 \( x^2 \) 就是“增长部分再增长”的贡献。
• ❌ 错误2：已知两年后总量 \( b \) 和初始量 \( a \)，求增长率 \( x \) 时，列式 \( a(1+x)^2 = b \) 后，得到 \( (1+x)^2 = \frac{b}{a} \)，然后错误地写成 \( 1+x = \frac{b}{a} / 2 \)。 → ✅ 正解：正确的步骤是 \( 1+x = \pm\sqrt{\frac{b}{a}} \)。因为增长率通常为正，所以取算术平方根：\( 1+x = \sqrt{\frac{b}{a}} \)，最后 \( x = \sqrt{\frac{b}{a}} - 1 \)。记住阿星口诀：开方再减1。
• ❌ 错误3：忽略“下降”或“降低”问题。 → ✅ 正解：若为下降率，则公式中的 \( +x \) 变为 \( -x \)，模型为 \( a(1 - x)^n = b \)。解题逻辑完全一样。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 某工厂1月份产值为100万元，2月份产值比1月份增长10%，则2月份产值为\_\_\_万元。
2. 3月份产值又比2月份增长10%，则3月份产值为\_\_\_万元。
3. 一件商品原价200元，先提价20%，再提价20%，现价多少元？
4. 一种药品原价60元，经过两次降价，每次降价10%，现价多少元？
5. 小王去年身高1.5米，今年身高增长了8%，今年身高多少米？
6. 若明年身高再增长8%，预计后年身高多少米？（结果保留两位小数）
7. 将100元按复利存入，年利率5%，一年后本息和\_\_\_元。
8. 接上题，两年后本息和\_\_\_元。
9. 已知 \( 200(1+x)^2 = 242 \)，求 \( x \)。
10. 已知 \( 500(1-x)^2 = 405 \)，求 \( x \)。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降。两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元。设生产成本的年平均下降率为 \( x \)，可列方程为（ ）。A. \( 5000(1+x)^2=4050 \) B. \( 4050(1+x)^2=5000 \) C. \( 5000(1-x)^2=4050 \) D. \( 4050(1-x)^2=5000 \)
2. 某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第一季度的总营业额要达到910万元，求该公司2、3两个月营业额的月平均增长率。
3. 某商品原价50元，连续两次降价后售价为32元，每次降价的百分比相同，求每次降价的百分率。
4. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91。设每个支干长出 \( x \) 个小分支，请列出方程。
5. （利润问题）某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元。若每件降价1元，则每天可多售5件。如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
6. （传染模型）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一人传染了几人？
7. 一个直角三角形的两条直角边之和为14 cm，面积为24 cm²。求两条直角边的长。
8. 从一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子。已知盒子的容积是300 cm³，求原铁皮的边长。
9. （数字问题）两个连续偶数的积是168，求这两个偶数。
10. （增长率比较）甲、乙两种商品，甲商品连续两次提价10%，乙商品连续两次降价10%。调价后，甲、乙两种商品的价格相等。求调价前甲、乙价格之比。

第三关：生活应用（5道）

1. 【人口预测】某城市现有人口100万，如果年自然增长率为1.2%，请建立数学模型，预测5年后该城市的人口总数（单位：万，保留一位小数）。
2. 【投资决策】你有两个投资方案：A方案每年收益率为8%，按复利计算；B方案每年收益率为10%，但按单利计算。如果你有10万元，投资3年，哪个方案收益更高？高多少？（结果保留整数）
3. 【折旧计算】公司购买一台设备，价值10万元。设备每年折旧率（价值减少的百分比）为15%。请计算该设备3年后的残值（剩余价值）。
4. 【病毒传播】在理想环境下，某种细菌每20分钟分裂一次（数量翻倍）。现有1个这样的细菌，请问经过4小时后，细菌的数量是多少？
5. 【工程绿化】某社区计划在空地上种植一片草坪。第一天种植了总面积的 \( \frac{1}{4} \)，之后每天种植的面积都是前一天剩余面积的一半。请问理论上，需要多少天才能完成超过95%的种植面积？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 100 \times (1+0.1) = 110 \) 万元。
2. \( 110 \times (1+0.1) = 121 \) 万元。或 \( 100 \times (1+0.1)^2 = 121 \) 万元。
3. \( 200 \times (1+0.2)^2 = 200 \times 1.44 = 288 \) 元。
4. \( 60 \times (1-0.1)^2 = 60 \times 0.81 = 48.6 \) 元。
5. \( 1.5 \times (1+0.08) = 1.62 \) 米。
6. \( 1.5 \times (1+0.08)^2 = 1.5 \times 1.1664 \approx 1.75 \) 米。
7. \( 100 \times (1+0.05) = 105 \) 元。
8. \( 100 \times (1+0.05)^2 = 100 \times 1.1025 = 110.25 \) 元。
9. \( (1+x)^2 = 242/200 = 1.21 \)，\( 1+x = 1.1 \) (取正)，\( x = 0.1 = 10\% \)。
10. \( (1-x)^2 = 405/500 = 0.81 \)，\( 1-x = 0.9 \) (取正)，\( x = 0.1 = 10\% \)。

第二关：中考挑战

1. C。下降模型，初始5000，现在4050，列式 \( 5000(1-x)^2 = 4050 \)。
2. 设月平均增长率为 \( x \)。则二月营业额 \( 250(1+x) \)，三月营业额 \( 250(1+x)^2 \)。第一季度总营业额为三者之和：\( 250 + 250(1+x) + 250(1+x)^2 = 910 \)。化简得 \( 25(1 + (1+x) + (1+2x+x^2)) = 91 \)，即 \( x^2 + 3x - 0.64 = 0 \)。解得 \( x = 0.2 = 20\% \) 或 \( x = -3.2 \) (舍去)。答案为20%。
3. 设每次降价百分率为 \( x \)。\( 50(1-x)^2 = 32 \)，\( (1-x)^2 = 0.64 \)，\( 1-x=0.8 \)，\( x=0.2=20\% \)。
4. 主干1个，支干 \( x \) 个，小分支 \( x \cdot x = x^2 \) 个。总数方程：\( 1 + x + x^2 = 91 \)。
5. 设降价 \( x \) 元。则每件盈利 \( (44-x) \) 元，每天销售 \( (20+5x) \) 件。方程：\( (44-x)(20+5x)=1600 \)。化简得 \( x^2 - 40x + 144=0 \)，解得 \( x=4 \) 或 \( x=36 \)。结合实际，选 \( x=4 \)。
6. 设每轮传染 \( x \) 人。则 \( 1 + x + x(1+x) = 121 \)，即 \( (1+x)^2 = 121 \)，\( 1+x=11 \)，\( x=10 \)。
7. 设一条直角边为 \( x \) cm，则另一条为 \( (14-x) \) cm。面积方程：\( \frac{1}{2}x(14-x) = 24 \)。化简得 \( x^2 -14x + 48 = 0 \)，解得 \( x=6 \) 或 \( x=8 \)。故两条直角边为6cm和8cm。
8. 设原铁皮边长为 \( a \) cm。则盒子的底面是边长为 \( (a-6) \) cm的正方形，高为3cm。容积方程：\( (a-6)^2 \times 3 = 300 \)，即 \( (a-6)^2 = 100 \)，\( a-6=10 \) (取正)，\( a=16 \) cm。
9. 设较小的偶数为 \( n \)，则较大的为 \( n+2 \)。方程：\( n(n+2)=168 \)，即 \( n^2+2n-168=0 \)，解得 \( n=12 \) 或 \( n=-14 \) (舍去)。故两个偶数为12和14。
10. 设甲原价 \( A \)，乙原价 \( B \)。调价后甲价 \( A(1+0.1)^2 = 1.21A \)，乙价 \( B(1-0.1)^2 = 0.81B \)。两者相等：\( 1.21A = 0.81B \)，所以 \( A:B = 0.81:1.21 = 81:121 \)。

第三关：生活应用

1. 模型：\( P = 100 \times (1+0.012)^5 \)。计算：\( 100 \times 1.012^5 \approx 100 \times 1.0614 \approx 106.1 \) 万。
2. A方案：\( 10 \times (1+0.08)^3 = 10 \times 1.259712 = 12.59712 \) 万元，收益约2.60万元。
   B方案：\( 10 \times (1+0.10 \times 3) = 10 \times 1.3 = 13 \) 万元，收益为3万元。
   B方案更高，高 \( 3 - 2.59712 \approx 0.40 \) 万元，即4000元。注意：短期单利可能高于复利，长期则复利优势巨大。
3. 残值 \( = 10 \times (1-0.15)^3 = 10 \times 0.85^3 = 10 \times 0.614125 = 6.14125 \) 万元。
4. 4小时 = 240分钟，分裂次数 \( n = 240 / 20 = 12 \)。最终数量 \( = 1 \times 2^{12} = 4096 \) 个。
5. 设总面积为1。第一天后剩余 \( 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)。每天种植剩余的一半，即种植效率是使剩余面积变为原来的一半。第n天结束后，剩余面积 \( = (\frac{3}{4}) \times (\frac{1}{2})^{n-1} \)。需要解不等式 \( (\frac{3}{4}) \times (\frac{1}{2})^{n-1} < 1 - 0.95 = 0.05 \)。即 \( (\frac{1}{2})^{n-1} < \frac{0.05}{0.75} = \frac{1}{15} \)。估算：\( (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = 0.125 \)，\( (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16} = 0.0625 \)，\( (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32} \approx 0.03125 < \frac{1}{15} \approx 0.0667 \)。所以 \( n-1 = 5 \)，\( n=6 \)。需要6天。