增减性判断与跨象限比较易错点深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：增减性 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天咱们来聊聊函数的“脾气”——增减性。你可以把函数图像想象成一个大型小区，坐标轴就是小区的围墙，把整个平面分成了四个“象限”片区。每个片区（象限）里，函数的“脾气”是独立的！比如反比例函数 \( y=\frac{k}{x} \) （\( k>0 \)），它在第一片区（象限）是个“自律怪”，\( x \) 变大，\( y \) 就乖乖变小；在第三片区也是个“自律怪”，同样 \( x \) 变大，\( y \) 变小。但绝对不能把第一片区的点和第三片区的点拉在一起比大小，这叫“跨片区串门”，是严重违规行为！所以，记住阿星的话：“在每一象限内”，y随x的增大而增大（或减小）。跨象限比大小是死罪！ 因为坐标轴（围墙）两边的“规则”可能完全不同。
• 计算秘籍：判断函数 \( y=f(x) \) 在某个区间内的增减性，核心是看 \( x \) 变化时，\( y \) 怎么变。
  1. 任取该区间内两个数 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)，且 \( x_1 < x_2 \)。
  2. 计算它们的函数值差：\( f(x_1) - f(x_2) \)。
  3. 判断差值符号：
     • 若 \( f(x_1) - f(x_2) < 0 \)，即 \( f(x_1) < f(x_2) \)，则 \( y \) 随 \( x \) 增大而增大（增函数）。
     • 若 \( f(x_1) - f(x_2) > 0 \)，即 \( f(x_1) > f(x_2) \)，则 \( y \) 随 \( x \) 增大而减小（减函数）。
  4. 关键步骤：检查 \( x_1, x_2 \) 是否在同一个“片区”（同一单调区间或同一象限内）！不在同一片区，此方法失效。
• 阿星口诀：分区看增减，象限是牢笼。同区比大小，跨区是雷坑！

📐 图形解析

以最典型的反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \) ( \( k > 0 \) ) 为例。它的图像分布在第一、三象限，正是理解“分区”思想的绝佳模型。

函数解析式：\( y = \frac{k}{x} \) ( \( k > 0 \) )

增减性结论：在每一象限内，\( y \) 随 \( x \) 的增大而减小。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：比较反比例函数 \( y=\frac{2}{x} \) 上点 \( A(1, 2) \) 和点 \( B(-1, -2) \) 的 y 值大小，得出 \( -2 < 2 \)，所以 y 随 x 增大而增大。
  → ✅ 正解：点 A 在第一象限，点 B 在第三象限，属于“跨象限比较”，结论无效。正确的描述是：在第一象限内，y 随 x 增大而减小；在第三象限内，y 也随 x 增大而减小。
• ❌ 错误2：看到直线 \( y = 2x + 1 \) 穿过一、二、三象限，就认为需要分象限讨论增减性。
  → ✅ 正解：一次函数 \( y = kx + b \) ( \( k \neq 0 \) ) 的增减性由斜率 \( k \) 决定。对于 \( k=2>0 \)，它在整个定义域（全体实数）内都是 y 随 x 增大而增大。它的图像是连续的，没有像反比例函数那样被坐标轴“割裂”成行为独立的片区。增减性的“区间”是连续的，不是按象限分的。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断：对于反比例函数 \( y = \frac{1}{x} \)，当 \( x < 0 \) 时，y 随 x 增大而减小。（ ）请说明理由。
2. 填空：一次函数 \( y = -3x + 2 \) 的图像经过第______象限，在整个定义域内，y 随 x 的增大而______。
3. 点 \( P_1(2, y_1) \)，\( P_2(5, y_2) \) 在函数 \( y = 4x - 1 \) 图像上，则 \( y_1 \) ______ \( y_2 \)。（填 >, <, =）
4. 点 \( Q_1(-1, y_1) \)，\( Q_2(-3, y_2) \) 在反比例函数 \( y = -\frac{4}{x} \) 图像上，则 \( y_1 \) ______ \( y_2 \)。
5. 请描述函数 \( y = \frac{-2}{x} \) 的增减性。（按规范格式）
6. 已知 \( y \) 是 \( x \) 的正比例函数，且当 \( x=2 \) 时 \( y=6 \)。写出函数关系式，并判断 y 随 x 如何变化。
7. 在函数 \( y = x^2 \) 中，当 \( x > 0 \) 时，y 随 x 增大而______；当 \( x < 0 \) 时，y 随 x 增大而______。
8. 判断：点 \( (3, 4) \) 和点 \( (4, 3) \) 不可能在同一个反比例函数图像上。（ ）
9. 若点 \( A(a, m) \), \( B(b, n) \) 都在反比例函数 \( y=\frac{6}{x} \) 第一象限的图像上，且 \( a > b > 0 \)，则 \( m \) ______ \( n \)。
10. 根据“阿星口诀”，比较函数值大小的首要步骤是什么？

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题改编) 已知反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \) ( \( k \neq 0 \) )，如果点 \( A(-2, y_1) \)， \( B(1, y_2) \)， \( C(3, y_3) \) 都在该函数图像上，那么 \( y_1, y_2, y_3 \) 的大小关系是？
2. 已知函数 \( y = (m-1)x^{m^2-2} \) 是反比例函数，求 m 的值，并写出函数解析式，判断其增减性。
3. 一次函数 \( y = kx + b \) 的图像不经过第二象限，则 k, b 的取值范围是？此时函数的增减性如何？
4. 点 \( P_1(x_1, y_1) \)，\( P_2(x_2, y_2) \) 是反比例函数 \( y=\frac{2}{x} \) 图像上的两点，若 \( x_1 < x_2 \)，且 \( y_1 < y_2 \)，你能确定 \( x_1, x_2 \) 所在的象限吗？请说明所有可能情况。
5. 已知函数 \( y = \frac{|x|}{x} \)。(1) 画出函数图像草图；(2) 写出 y 随 x 变化的规律。
6. 若双曲线 \( y = \frac{k}{x} \) 与直线 \( y = 2x \) 的一个交点坐标为 \( (a, 4) \)，求另一交点坐标，并比较这两个交点的纵坐标大小。
7. 对于函数 \( y = \frac{1}{x-2} \)， (1) 它的图像由 \( y=\frac{1}{x} \) 如何平移得到？ (2) 它在 \( x>2 \) 和 \( x<2 \) 区间内的增减性分别如何？
8. 已知实数 \( a \neq 0 \)，比较 \( \frac{a+1}{a} \) 与 \( \frac{a+2}{a+1} \) 的大小。
9. 在平面直角坐标系中，若一个点的横纵坐标乘积恒为负数，这个点可能在第几象限？在这个“点集”中，纵坐标 y 随横坐标 x 增大如何变化？
10. 结合“分区”思想，解释为什么函数 \( y = x^3 \) 在整个实数范围内都是增函数，而 \( y = x^2 \) 却需要分区间讨论。

第三关：生活应用（5道）

1. 【工程效率】一项工程，工人数量 \( x \) (人) 与完成天数 \( y \) (天) 近似满足反比例关系。如果增加工人能缩短工期，请用增减性描述这个关系，并解释为什么“当工人数极少时，增加少量工人效果显著；当工人数很多时，再增加工人效果不明显”。
2. 【经济学】某种商品的需求量 \( y \) (件) 与单价 \( x \) (元) 成反比。若单价从 100 元涨到 120 元，需求量如何变化？若商家想通过降价促销来提高总收入（总收入=单价×需求量），他需要关注需求量的变化率，这体现了增减性的什么思想？
3. 【物理】根据欧姆定律 \( I = \frac{U}{R} \)，在电压 \( U \) 一定的情况下，电流 \( I \) 与电阻 \( R \) 成反比。请描述 I 随 R 变化的增减性。一个电路中串联了两个电阻 \( R_1 \) 和 \( R_2 \) ( \( R_1, R_2 > 0 \) )，比较总电阻 \( R_{总} = R_1 + R_2 \) 与 \( R_1 \) 的大小，并由此判断总电流与流过 \( R_1 \) 的电流大小关系。
4. 【地理/物理】在海拔高度不同的地区，水的沸点 \( T \) (摄氏度) 与大气压强 \( P \) 近似满足某种递增函数关系。你能据此解释为什么在高原上做饭不容易煮熟吗？这里的“区间”对应什么？
5. 【信息技术】手机电池剩余电量百分比 \( y \) 与使用时间 \( t \) 的函数图像通常不是直线。假设其图像在某段时间内是下降的曲线（如下图），请根据曲线形状，描述电量消耗速度的增减变化。
   

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 判断：错。 理由：当 \( x < 0 \) 时，函数图像在第三象限。对于 \( y = \frac{1}{x} \) ( \( k=1>0 \) )，在第三象限内，y 随 x 增大而减小。题目说“增大而减小”，故错误。
2. 填空：一、二、四象限，减小。（因为 \( k=-3<0 \)）
3. 解析： \( k=4>0 \)，函数在整个实数域递增。\( 2<5 \)，故 \( y_1 < y_2 \)。填 \( < \)。
4. 解析：两点均在第二象限（因为 \( x=-1, -3<0 \)）。\( k=-4<0 \)，在第二象限内 y 随 x 增大而增大。因为 \( -3 < -1 \)，所以 \( y_2 < y_1 \)。填 \( > \)。
5. 解析：函数 \( y = \frac{-2}{x} \) 的图像在第二、四象限。在第二象限内，y 随 x 的增大而增大；在第四象限内，y 也随 x 的增大而增大。
6. 解析：设 \( y = kx \)。代入得 \( 6 = 2k \)，解得 \( k=3 \)。关系式为 \( y = 3x \)。因为 \( k=3>0 \)，所以 y 随 x 的增大而增大。
7. 填空：增大，减小。
8. 判断：错。 理由：若两点在同一反比例函数 \( y=\frac{k}{x} \) 上，则横纵坐标乘积相等，即 \( 3 \times 4 = 4 \times 3 = 12 \)。所以它们完全可以在同一个反比例函数 \( y=\frac{12}{x} \) 的图像上。
9. 解析：在同一象限（第一象限），\( k=6>0 \)，y 随 x 增大而减小。因为 \( a > b > 0 \)，所以 \( m < n \)。填 \( < \)。
10. 答案：首要步骤是确认比较的两个点是否在函数的“同一个分区”（同一单调区间或同一象限）内。

第二关 & 第三关解析（略）：为鼓励独立思考，高阶题目解析此处从略。关键提示：所有题目解答都需严格遵循“分区（区间）”原则，切忌跨区间使用增减性比较大小。