约分和扩分怎么学？原理图解、计算步骤与易错题深度解析专项练习题库

同学你好，我是星火AI实验室的首席顾问。今天，我们将和阿星一起，用“公平分蛋糕”的故事，彻底掌握分式的约分与扩分。准备好你的“数学刀叉”，我们开始吧！

💡 阿星精讲：约分扩分 原理

• 核心概念：阿星说：想象一下，你有一块完整的蛋糕，记作 \( \frac{1}{1} \)。现在，如果你同时将蛋糕切成2块、3块甚至 \( n \) 块（\( n \neq 0 \)），那么你每次拿到的部分，大小其实没变！切之前是1整块，切2块后你拿其中1块 \( \left( \frac{1}{2} \right) \)；切3块后拿其中1块 \( \left( \frac{1}{3} \right) \)……哦等等，这个比喻有点问题——它只“切”（除）了分母，没“切”分子，所以蛋糕大小变了。正确的比喻是：你和朋友平分一块蛋糕，每人 \( \frac{1}{2} \)。这时，如果蛋糕同乘2倍（变成2块一模一样的蛋糕），同时同除（平分的人数）也变成2倍（4人），那么每人拿到的量还是 \( \frac{1}{2} \) 块原蛋糕。关键就在于“同乘除”！分子分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值保持不变。这就像用放大镜看分数，分子分母同比例缩放，分数本身的大小不变。
• 计算秘籍：
  1. 扩分：为了运算需要（如通分），将分子分母同时乘以同一个非零整式。

     \( \frac{a}{b} = \frac{a \times m}{b \times m} \quad (b \neq 0, m \neq 0) \)

  2. 约分：为了简化分式，将分子分母同时除以它们的公因式。

     \( \frac{a}{b} = \frac{a \div m}{b \div m} \quad (b \neq 0, m \neq 0) \)

     约到分子分母没有公因式时，就是最简分式。

• 阿星口诀：“分式变形很简单，同乘同除是关键。不为零是铁规矩，值不变来心莫乱。”

📐 图形解析

我们用图形来理解“同乘除”如何保持分数值不变。下图展示了一个分数 \( \frac{2}{3} \) 的扩分过程（乘以2）和约分过程（除以2）。

扩分：\( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} \)

观察蓝色区域占整体的比例。左边，2个蓝色小块占3个小块总和的 \( \frac{2}{3} \)。右边，我们将整体同时在横向和纵向划分得更细（相当于分子分母同乘以2），4个蓝色小块占6个小块总和的 \( \frac{4}{6} \)。虽然格子变多了，但蓝色部分占总面积的比例丝毫未变，这就是“值不变”的几何直观体现。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：只对分子或分母单独进行乘除运算。如认为 \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3} = \frac{4}{3} \)。
  ✅ 正解：分式的基本性质要求“同乘除”，必须分子分母同时进行相同的运算。\( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} \) 才正确。
• ❌ 错误2：约分时，误将加法（或减法）的项直接约掉。如 \( \frac{2x + 4}{x + 2} = \frac{2\sout{x} + \sout{4}}{\sout{x} + \sout{2}} = 2 \)。
  ✅ 正解：约分约的是公因式，需要先对分子分母进行因式分解，找到共同的因子。\( \frac{2x + 4}{x + 2} = \frac{2(x+2)}{x+2} = 2 \quad (x \neq -2) \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 将 \( \frac{5}{7} \) 的分子化为 \( 15 \)。
2. 将 \( \frac{2x}{3} \) 的分母化为 \( 12 \)。
3. 约分：\( \frac{8}{12} \)。
4. 约分：\( \frac{15xy}{25y} \)。
5. 判断正误：\( \frac{a+b}{a} = 1 + b \)。（并说明理由）
6. 扩分：把 \( \frac{1}{a} \) 和 \( \frac{2}{a+1} \) 化为分母为 \( a(a+1) \) 的分式。
7. 约分：\( \frac{3m^2n}{6mn^2} \)。
8. 填空：\( \frac{2}{5} = \frac{?}{15} = \frac{8}{?} \)。
9. 如果 \( \frac{x}{3} = \frac{4}{y} \)，且该等式成立利用了分式的基本性质，那么 \( x \) 和 \( y \) 可能的值是多少？（写出一组）
10. 生活题：一个食谱需要 \( \frac{3}{4} \) 杯面粉。如果你想做双倍分量，需要多少杯面粉？用分式扩分解释。

第二关：中考挑战（10道）

1. 约分：\( \frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} \)。
2. 已知 \( \frac{2y}{3x} = \frac{1}{2} \)，求 \( \frac{y}{x} \) 的值。
3. 先将 \( \frac{x}{x-y} \) 和 \( \frac{y}{y-x} \) 化为同分母，再比较大小。
4. 化简：\( \frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2} \)。
5. 若分式 \( \frac{|x| - 3}{x^2 - 9} \) 的值为0，求 \( x \) 的值。
6. 不改变分式的值，使分式 \( \frac{-2x}{1 - 3x} \) 的分子与分母中 \( x \) 的最高次项系数为正。
7. 化简求值：\( \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} \div (x - 1) \)，其中 \( x = 2 \)。
8. 已知 \( \frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} \)，求 \( \frac{a+b}{b+c} \) 的值。
9. （几何结合）如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{3} \)，且 \( BC = 12 \, \text{cm} \)，求 \( DE \) 的长。（提示：需证明 \( DE // BC \) 后利用比例）
10. （综合）先化简，再求值：\( \left( \frac{x}{x+1} + \frac{1}{x-1} \right) \div \frac{x^2+1}{x^2-1} \)，其中 \( x = \sqrt{2} - 1 \)。

第三关：生活应用（5道）

1. 地图比例尺：地图上比例尺为 1:50000，表示图上1cm代表实际50000cm。若图上两点的距离是 \( \frac{3}{2} \, \text{cm} \)，实际距离是多少米？试用分式扩分建立模型。
2. 调配溶液：一种消毒水原液浓度为 \( \frac{1}{10} \)（原液体积/总体积）。现需用 \( 2 \, \text{L} \) 原液调配成浓度为 \( \frac{1}{50} \) 的稀释液，需要加水多少升？（提示：浓度 = 溶质/溶液，溶质不变，利用分式性质列方程）
3. 工程效率：甲队单独完成一项工程需要 \( a \) 天，乙队需要 \( b \) 天。两队合作一天的效率（完成的工作量占总量的比例）是多少？尝试用分式表示并通分。
4. 速度问题：小明从家到学校的路程为 \( s \) 米，去时速度为 \( v_1 \) 米/分，回来时速度为 \( v_2 \) 米/分。他往返的平均速度是多少？这个平均速度是 \( \frac{v_1 + v_2}{2} \) 吗？为什么？（用分式运算解释）
5. 金融利率：一种理财产品的年化收益率是 \( r \)（例如5%表示为0.05）。本金 \( P \) 元，投资 \( n \) 年后的本息和为 \( P(1+r)^n \)。若将年利率 \( r \) 平均到每个月，近似的月利率 \( r_m \) 是多少？\( (1+r) \) 和 \( (1+r_m)^{12} \) 有什么关系？（体会指数的运算与分数乘法的关联）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( \frac{5}{7} = \frac{5 \times 3}{7 \times 3} = \frac{15}{21} \)
2. \( \frac{2x}{3} = \frac{2x \times 4}{3 \times 4} = \frac{8x}{12} \)
3. \( \frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3} \)
4. \( \frac{15xy}{25y} = \frac{(15xy) \div (5y)}{(25y) \div (5y)} = \frac{3x}{5} \quad (y \neq 0) \)
5. 错误。左边是一个分式整体，不能拆开约分。\( \frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a} \quad (a \neq 0) \)。
6. \( \frac{1}{a} = \frac{1 \times (a+1)}{a \times (a+1)} = \frac{a+1}{a(a+1)} \); \( \frac{2}{a+1} = \frac{2 \times a}{(a+1) \times a} = \frac{2a}{a(a+1)} \)
7. \( \frac{3m^2n}{6mn^2} = \frac{(3m^2n) \div (3mn)}{(6mn^2) \div (3mn)} = \frac{m}{2n} \)
8. \( \frac{2}{5} = \frac{6}{15} = \frac{8}{20} \)（依次乘以3和4）
9. 答案不唯一，满足 \( xy = 12 \) 即可。例如 \( x=6, y=2 \) 或 \( x=1, y=12 \)。
10. 需要 \( \frac{3}{4} \times 2 = \frac{3 \times 2}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \) 杯。用扩分解释：原分量 \( \frac{3}{4} \) 杯对应1倍，双倍分量即分子分母同乘以2（视为 \( \frac{2}{1} \)）：\( \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)。

第二关：中考挑战 (精选解析)

1. \( \frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} = \frac{(x+3)(x-3)}{(x-3)^2} = \frac{x+3}{x-3} \quad (x \neq 3) \)
2. 由 \( \frac{2y}{3x} = \frac{1}{2} \)，两边同时乘以 \( \frac{3}{2} \)，得 \( \frac{y}{x} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \)。
3. \( \frac{y}{y-x} = -\frac{y}{x-y} \)。所以 \( \frac{x}{x-y} \) 与 \( \frac{y}{y-x} \) 互为相反数。当 \( x>y \) 时，\( \frac{x}{x-y} > 0 > \frac{y}{y-x} \)；当 \( x
4. \( \frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2} = \frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)^2} = \frac{a-b}{a+b} \quad (a \neq -b) \)
5. 值为0则分子为0且分母不为0。由 \( |x|-3=0 \) 得 \( x=\pm3 \)。检验分母：当 \( x=3 \) 时，\( x^2-9=0 \)，舍去；当 \( x=-3 \) 时，\( x^2-9=0 \)，同样舍去。因此无解。（或说 \( x \) 不存在）
6. 将分子分母同时乘以 \( -1 \)：\( \frac{-2x}{1-3x} = \frac{(-2x) \times (-1)}{(1-3x) \times (-1)} = \frac{2x}{3x-1} \)。
7. 原式 = \( \frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} \times \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x+1} \)。当 \( x=2 \) 时，原式 = \( \frac{1}{3} \)。
8. 设 \( \frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k \)，则 \( a=2k, b=3k, c=4k \)。\( \frac{a+b}{b+c} = \frac{2k+3k}{3k+4k} = \frac{5k}{7k} = \frac{5}{7} \)。
9. 由 \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \)，且 \( \angle A \) 公共，可证 \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)，且相似比为 \( \frac{1}{3} \)。所以 \( \frac{DE}{BC} = \frac{1}{3} \)，\( DE = \frac{1}{3} \times 12 = 4 \, \text{cm} \)。
10. 原式 = \( \left( \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} \right) \times \frac{(x-1)(x+1)}{x^2+1} = \frac{x^2-x+x+1}{(x+1)(x-1)} \times \frac{(x-1)(x+1)}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x^2+1} = 1 \)。结果是常数 \( 1 \)，与 \( x \) 值无关，当 \( x = \sqrt{2} - 1 \) 时，原式 = \( 1 \)。

第三关：生活应用 (思路与关键步骤)

1. 模型：\( \frac{\text{图距}}{\text{实距}} = \frac{1}{50000} \)。代入 \( \frac{3/2}{\text{实距}} = \frac{1}{50000} \)，解得实距 = \( \frac{3}{2} \times 50000 = 75000 \, \text{cm} = 750 \, \text{m} \)。
2. 设需要加水 \( V \) 升。溶质（原液）体积 \( 2 \, \text{L} \) 不变。稀释后总体积为 \( (2+V) \, \text{L} \)。浓度方程：\( \frac{2}{2+V} = \frac{1}{50} \)。两边交叉相乘（即同乘以 \( 50(2+V) \)）：\( 2 \times 50 = 2+V \)，解得 \( V = 98 \, \text{L} \)。
3. 甲效率：\( \frac{1}{a} \)，乙效率：\( \frac{1}{b} \)。合作效率：\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab} \)。这就是通分（扩分）的应用。
4. 平均速度 = 总路程 / 总时间 = \( \frac{2s}{\frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2}} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2} \)。只有当 \( v_1 = v_2 \) 时，它才等于 \( \frac{v_1+v_2}{2} \)。分式的运算（通分、化简）揭示了其与算术平均数的区别。
5. 近似的月利率 \( r_m \approx \frac{r}{12} \)。关系：\( (1+r) \approx (1 + \frac{r}{12})^{12} \)。这是将年利率这个整体“分拆”为12等份（涉及除法），然后复合增长（涉及乘方），体现了分数与指数运算的桥梁作用。