圆锥侧面展开图解题全攻略：扇形圆心角与侧面积深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：侧面展开 原理

• 核心概念：想象一下，你有一个冰淇淋甜筒（圆锥）。有一天，甜筒的外包装纸（侧面）觉得太闷了，想舒展一下筋骨，于是它沿着一条缝（母线）剪开，然后“唰啦”一下摊平在桌面上。你猜它变成了什么形状？没错，就是一把可爱的“扇子”——扇形！这就是圆锥的侧面展开图。记住阿星的妙喻：圆锥侧面展开是扇形。扇形的弧长等于底面圆的周长！ 这就像甜筒包装纸的底边（圆）展开后，变成了扇形的弯曲边（弧），长度一丝不差。
• 计算秘籍：设圆锥底面半径为 \( r \)，母线长为 \( l \)。
  1. 核心关系（黄金等式）： 扇形弧长 = 底面圆周长，即 \( 2\pi r \)。
  2. 扇形半径： 就是圆锥的母线长 \( l \)。
  3. 扇形圆心角 \( \theta \) （角度制）： 扇形是整个圆的一部分，圆心角占比等于弧长占整个圆周长的比例。所以：\( \frac{\theta}{360^\circ} = \frac{2\pi r}{2\pi l} = \frac{r}{l} \)，因此 \( \theta = \frac{r}{l} \times 360^\circ \)。
  4. 扇形圆心角 \( \theta \) （弧度制）： 更简洁！弧度定义就是弧长除以半径，所以 \( \theta = \frac{2\pi r}{l} \)（弧度）。
  5. 侧面积： 扇形面积就是圆锥侧面积。公式为 \( S_{\text{侧}} = \pi r l \)。（可以理解为一个半径为 \( l \)，弧长为 \( 2\pi r \) 的扇形面积，即 \( \frac{1}{2} \times \text{弧长} \times \text{半径} = \frac{1}{2} \times 2\pi r \times l = \pi r l \)。）
• 阿星口诀： 圆锥展成扇，弧长等底面。\( r \) 除 \( l \) 乘三百六，圆心角度立可见。侧面积，也不难，\( \pi r l \) 记心间。

📐 图形解析

下面我们通过图形，直观理解从“立体甜筒”到“平面扇子”的神奇变身。

圆锥立体图关键要素：底面半径 \( r \)，母线 \( l \)，高 \( h \)。三者满足勾股定理：\( l^2 = r^2 + h^2 \)。

将其侧面沿母线 \( SA \) 剪开展开，得到一个扇形。

展开后扇形关键要素：半径 \( L \) (等于母线 \( l \))，弧长 \( AB \) (等于底面周长 \( 2\pi r \))，圆心角 \( \theta \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1： 误把圆锥的高 \( h \) 当成扇形的半径。
  
  ✅ 正解： 展开时，圆锥侧面上每一个点到顶点的距离（母线 \( l \)）才是扇形的半径。高 \( h \) 是藏在圆锥内部的垂直距离，展开后它“消失”了。
• ❌ 错误2： 计算圆心角 \( \theta = \frac{r}{l} \times 360^\circ \) 时，直接用 \( r \) 和 \( h \) 去算。
  
  ✅ 正解： 公式 \( \theta = \frac{r}{l} \times 360^\circ \) 中的 \( r \) 是底面半径，\( l \) 是母线长。如果题目只给了高 \( h \) 和 \( r \)，务必先用 \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \) 求出母线 \( l \)，再代入公式。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 圆锥底面半径为 \( 2 \text{ cm} \)，母线长为 \( 6 \text{ cm} \)，求侧面展开图的圆心角（角度制）。
2. 一个扇形半径为 \( 10 \text{ cm} \)，圆心角为 \( 144^\circ \)，将它卷成一个圆锥，求圆锥的底面半径。
3. 圆锥的母线长为 \( 13 \text{ cm} \)，高为 \( 12 \text{ cm} \)，求其侧面积。
4. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为 \( 180^\circ \)，母线长为 \( 4 \text{ cm} \)，求圆锥的表面积。
5. 底面半径为 \( 5 \) 的圆锥，其侧面展开图半圆的面积是多少？
6. 圆锥轴截面是一个边长为 \( 6 \text{ cm} \) 的等边三角形，求它的侧面展开图圆心角。
7. 一个圆锥的侧面积是底面积的 \( 2 \) 倍，求它的侧面展开图圆心角。
8. 用半径为 \( 9 \text{ cm} \) 的圆形纸片剪一个圆心角为 \( 120^\circ \) 的扇形做圆锥侧面，求圆锥底面半径。
9. 圆锥底面直径为 \( 8 \)，侧面积为 \( 20\pi \)，求母线长。
10. 判断对错：圆锥侧面展开图的半径总是大于圆锥的高。（ ）

第二关：中考挑战（10道）

1. （综合题）圆锥底面半径为 \( 3 \)，其侧面展开图扇形的圆心角为 \( 120^\circ \)，求该圆锥的全面积和体积。
2. （逆向思维）一个圆锥的侧面展开图是半径为 \( 8 \text{ cm} \)，弧长为 \( 12\pi \text{ cm} \) 的扇形，求这个圆锥的高。
3. （最值问题）用一块圆心角为 \( 240^\circ \) 的扇形铁皮做一个圆锥形容器（接缝忽略不计），该扇形半径为 \( 6 \)。问：容器做成后，它的底面半径是多少？能否求出容器容积最大时的高度？
4. （比例关系）两个圆锥的母线长相等，侧面展开图圆心角之比为 \( 3:2 \)，求它们的底面半径之比和侧面积之比。
5. （分类讨论）小明用剪刀将圆锥侧面沿一条母线剪开并铺平，发现展开图是一个半径为 \( 18 \text{ cm} \)，面积为 \( 216\pi \text{ cm}^2 \) 的扇形。请问原来圆锥的底面半径可能为多少？
6. （结合方程）已知圆锥的底面半径 \( r \) 和母线 \( l \) 满足 \( 2r + l = 12 \)，当侧面积最大时，求此时的圆心角度数。
7. （实际应用）粮仓的顶部是圆锥形，底部是圆柱形。已知圆锥部分母线长 \( 5 \text{ m} \)，其侧面展开图圆心角为 \( 216^\circ \)。求覆盖粮仓顶部圆锥部分需要的铁皮面积（侧面积）。
8. （与相似结合）从一张半径为 \( R \) 的圆形纸片上剪下一个圆心角为 \( \theta \) 的扇形制作圆锥，再将剩下的纸片也剪出一个最大的圆锥。求这两个圆锥的体积比。
9. （坐标系问题）在平面直角坐标系中，点 \( A(0, 6) \)，点 \( B(8, 0) \)。将线段 \( AB \) 绕 \( x \) 轴旋转一周，得到一个立体图形（两个圆锥的组合），求其中一个圆锥侧面的展开图圆心角。
10. （动态几何）如图，有一矩形纸片 \( ABCD \)，其中 \( AB=6\pi \)， \( BC=12 \)。将其绕边 \( BC \) 旋转一周，求所得圆锥侧面展开图的圆心角。
    
    

第三关：生活应用（5道）

1. 【建筑设计】 某现代艺术馆的穹顶设计为一个高 \( 15\text{ m} \)、底面直径 \( 40\text{ m} \) 的圆锥形玻璃幕墙。施工时需要计算玻璃板材的切割方案。请问每块三角形的玻璃板材（近似看作圆锥侧面的一部分）的两条“腰”至少需要多长？（提示：即求母线长）它的底边弯曲程度对应的弧长是多少？（提示：将整个侧面分成 \( n \) 等份考虑）
2. 【礼品包装】 小红想用一个圆心角为 \( 300^\circ \) 的扇形彩纸包住一个圆锥形巧克力的侧面（完全贴合）。已知巧克力底面周长是 \( 15\text{ cm} \)，请问她至少需要准备半径为多大的扇形彩纸？
3. 【机械制造】 工厂需要生产一批如图所示的圆锥形金属套筒。下料时，先在平板上用激光切割出扇形钢板，再卷焊成型。已知套筒要求底面半径为 \( 10\text{ cm} \)，母线长（斜高）为 \( 26\text{ cm} \)。请问下料的扇形钢板半径应为多少？它的圆心角是多少度？（精确到1度）
4. 【地理测量】 如图，在地图上，一个火山口呈近似圆形，其半径为 \( 500\text{ m} \)。火山锥的斜坡（母线）平均长度为 \( 1200\text{ m} \)。地质学家想估算火山锥的表面积（侧面积）。请你帮忙建立一个数学模型并计算。
5. 【环保材料】 为举办活动，同学们准备用硬纸板制作一批圆锥形帽子。为了节省材料，他们打算将纸板如图进行嵌套排版。已知每顶帽子需要母线长 \( 30\text{ cm} \)，底面周长为 \( 50\text{ cm} \) 的扇形侧面。如果大张硬纸板是半径为 \( 90\text{ cm} \) 的圆形，理论上最多能裁剪出多少个这样的扇形？（不考虑裁剪损耗和间隙）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( \theta = \frac{2}{6} \times 360^\circ = 120^\circ \)。
2. 弧长 = \( \frac{144}{360} \times 2\pi \times 10 = 8\pi \)，底面周长 \( 2\pi r = 8\pi \)，所以 \( r = 4 \text{ cm} \)。
3. 先求 \( r = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5 \)，侧面积 \( S = \pi \times 5 \times 13 = 65\pi \text{ cm}^2 \)。
4. 弧长 = \( \frac{180}{360} \times 2\pi \times 4 = 4\pi \)，所以 \( r = 2 \)。表面积 \( = \pi r l + \pi r^2 = \pi \times 2 \times 4 + \pi \times 4 = 12\pi \text{ cm}^2 \)。
5. “侧面展开图是半圆”意味着 \( \theta = 180^\circ \)。由 \( \frac{180}{360} = \frac{r}{l} \) 得 \( l = 2r \)。半圆面积 \( = \frac{1}{2} \pi l^2 = \frac{1}{2} \pi (2r)^2 = 2\pi r^2 = 2\pi \times 25 = 50\pi \)。
6. 等边三角形 ⇒ \( l = 2r = 6 \)，所以 \( r = 3 \)。\( \theta = \frac{3}{6} \times 360^\circ = 180^\circ \)。
7. \( \pi r l = 2 \times \pi r^2 \) ⇒ \( l = 2r \)。所以 \( \theta = \frac{r}{2r} \times 360^\circ = 180^\circ \)。
8. 扇形弧长 = \( \frac{120}{360} \times 2\pi \times 9 = 6\pi \)，底面周长 \( 2\pi r = 6\pi \) ⇒ \( r = 3 \text{ cm} \)。
9. \( r = 4 \)，由 \( 20\pi = \pi \times 4 \times l \) ⇒ \( l = 5 \)。
10. 对。因为 \( l^2 = r^2 + h^2 \)，所以 \( l > h \)。

第二关：中考挑战（精选解析）

1. 解析：由 \( \theta = 120^\circ \)， \( l = ? \)。由 \( \frac{120}{360} = \frac{3}{l} \) ⇒ \( l = 9 \)。全面积 \( = \pi r l + \pi r^2 = \pi \times 3 \times 9 + \pi \times 9 = 36\pi \)。高 \( h = \sqrt{9^2 - 3^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \)，体积 \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\pi \)。
2. 解析：已知扇形半径 \( l = 8 \)，弧长 \( = 12\pi \)。由弧长=底面周长得 \( 2\pi r = 12\pi \) ⇒ \( r = 6 \)。高 \( h = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ cm} \)。
3. 解析：底面半径 \( r = \frac{240}{360} \times 6 = 4 \)。设圆锥高为 \( h \)，则 \( h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)。容积 \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \times 16 \times 2\sqrt{5} = \frac{32\sqrt{5}}{3}\pi \)。此条件下 \( l \) 固定，\( r \) 由圆心角固定，故高和容积也是定值。
4. 解析：母线 \( l \) 相等。由 \( \theta = \frac{r}{l} \times 360^\circ \)，所以 \( \theta \propto r \)。圆心角之比 \( 3:2 \)，故底面半径之比 \( r_1 : r_2 = 3:2 \)。侧面积 \( S = \pi r l \)，\( l \) 相等，故侧面积之比 \( S_1 : S_2 = r_1 : r_2 = 3:2 \)。
5. 解析：扇形面积 \( 216\pi = \frac{1}{2} \times \text{弧长} \times 18 \) ⇒ 弧长 \( = 24\pi \)。设底面半径为 \( r \)，则 \( 2\pi r = 24\pi \) ⇒ \( r = 12 \)。也可能沿着不同的母线剪开得到同样的扇形，但弧长与半径关系不变，故底面半径唯一为 \( 12 \text{ cm} \)。

（为控制篇幅，其余题目解析略）