圆周角定理怎么学？同弧所对圆周角等于圆心角一半深度解析与例题专项练习题库

💡 阿星精讲：定理 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天咱们来聊聊圆里一个超级重要的“促销活动”——半价定理！想象一下，圆心角 \( \angle AOB \) 是老板手里的“原价商品”。而圆周角 \( \angle ACB \) 呢，就像是站在弧 \( AB \) 这个“促销柜台”前的顾客，无论你站在柜台（弧）的哪个位置（点C），你享受到的折扣力度都是一样的：价格永远是老板手里原价的一半！ 用数学语言说就是：在同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角，等于它所对的圆心角的一半。 记牢这个“半价”关系，很多圆的问题都能迎刃而解！
• 计算秘籍：
  1. 识别主角：在图形中找到“同一条弧”以及它所对的圆心角（顶点在圆心）和圆周角（顶点在圆上）。
  2. 建立关系：设圆心角为 \( \alpha \)，圆周角为 \( \beta \)，则根据定理，必有 \( \beta = \frac{1}{2} \alpha \) 或 \( \alpha = 2\beta \)。
  3. 列式求解：将已知角度代入关系式，解方程求出未知角。例如，已知圆心角 \( \alpha = 120^\circ \)，则其同弧上的圆周角 \( \beta = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ \)。
• 阿星口诀：同弧对两角，圆心圆周跑；圆周享半价，关系牢又牢！

📐 图形解析

定理的三种基本关系图示：

关系式：\( \beta = \frac{1}{2} \alpha \)。

一个重要的推论证明图示：利用等腰三角形和三角形外角定理。

连接 \( OC \)，设 \( \angle OAC = \gamma \)，\( \angle OBC = \delta \)。
在 \( \triangle AOC \) 和 \( \triangle BOC \) 中，利用等腰三角形性质和外角定理，可推出 \( \angle AOB = 2 \times \angle ACB \)，即 \( \alpha = 2\beta \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到圆上的两个角，不检查它们是否对着“同一条弧”，就直接用半价关系。
  → ✅ 正解：必须先确认两个角的顶点位置（一个在圆心，一个在圆上）并且它们所对的弧是同一条。有时弧可能被隐藏或需要自己标出。
• ❌ 错误2：在应用推论“直径所对的圆周角是直角”时，忽略了“直径”这个前提，误以为任何弦所对的圆周角都是直角。
  → ✅ 正解：只有弦是直径时，它所对的圆周角才是 \( 90^\circ \)。因为此时圆心角是 \( 180^\circ \)，圆周角享“半价”正好是 \( 90^\circ \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 圆心角为 \( 100^\circ \)，同弧所对的圆周角是______度。
2. 圆周角为 \( 28^\circ \)，同弧所对的圆心角是______度。
3. 直径所对的圆周角是______度。
4. 如图，已知 \( \angle O = 70^\circ \)，求 \( \angle C \)。
   
5. 判断：相等的圆周角所对的弧也相等。（ ）
6. 判断：在同圆中，一条弧所对的圆心角只有一个。（ ）
7. \( \odot O \) 中，弦 \( AB \) 所对的圆心角为 \( 120^\circ \)，则弦 \( AB \) 所对的圆周角度数为______。
8. 直角 \( \triangle ABC \) 的斜边 \( BC \) 是外接圆的______。
9. 圆内接四边形 \( ABCD \) 中，\( \angle A \) 与 \( \angle C \) 的关系是______。
10. 已知圆内接三角形的一个内角为 \( 80^\circ \)，它所对的弧所对的圆心角是______度。

第二关：中考挑战（10道）

1. （经典真题）如图，\( AB \) 是 \( \odot O \) 的直径，\( C, D \) 是圆上两点，若 \( \angle ABC = 25^\circ \)，则 \( \angle BDC = \) ______°。
2. （多结论选择）如图，\( AB \) 是 \( \odot O \) 的弦，\( C \) 是圆上一点，\( \angle ACB = 50^\circ \)，则下列结论正确的是（ ）。① \( \angle AOB = 100^\circ \) ② 弧 \( AB \) 的度数为 \( 100^\circ \) ③ \( \angle OAB = 40^\circ \) ④ \( \triangle AOB \) 是等边三角形
3. （证明题）利用圆周角定理，证明“圆内接四边形的对角互补”。
4. （求角度）如图，四边形 \( ABCD \) 内接于 \( \odot O \)，\( \angle BOD = 140^\circ \)，求 \( \angle BCD \)。
5. （求角度）\( \triangle ABC \) 内接于 \( \odot O \)，\( \angle A : \angle B : \angle C = 2:3:4 \)，求弧 \( AB \)、弧 \( BC \)、弧 \( CA \) 的度数。
6. （实际应用-小题）为了测量一个圆形工件的直径，工人将直角三角板的一个顶点放在工件上，两边与圆交于 \( A, B \) 两点，则 \( AB \) 是直径。其依据的数学原理是______。
7. （综合计算）如图，\( \odot O \) 中，半径 \( OC \perp AB \) 于点 \( D \)，\( \angle CAD = 20^\circ \)，求 \( \angle AOC \)。
8. （与切线结合）如图，\( PA, PB \) 切 \( \odot O \) 于 \( A, B \)，\( \angle APB = 60^\circ \)，连接 \( AB, OP \)，求 \( \angle AOB \) 和 \( \angle ACB \)（\( C \) 是优弧 \( AB \) 上一点）。
9. （动点问题）点 \( C \) 在以 \( AB \) 为直径的半圆上运动（不与 \( A, B \) 重合），则 \( \angle ACB \) 的度数______（填变化情况）。
10. （最值问题）在 \( \odot O \) 中，弦 \( AB \) 长固定，点 \( C \) 在优弧 \( AB \) 上运动，则 \( \angle ACB \) 的大小______（填变化情况），其最大值出现在______时。

第三关：生活应用（5道）

1. （建筑测量）如图，一座石拱桥的桥拱是圆弧形，测得拱高（弧的中点到弦的距离）为 \( 2 \) 米，拱弦长为 \( 8 \) 米。工程上需要知道拱桥所在圆的半径。请你建立几何模型并计算半径。（提示：连接圆心与弦中点，构成直角三角形）
2. （体育场地）一个标准田径场的弯道是半圆形。已知最内圈弯道的半径为 \( 36.5 \) 米。一名运动员在最内圈弯道上跑步时，他的身体方向（切线方向）与起跑线方向（半径方向）的夹角在不断变化。当他跑过 \( 45^\circ \) 的圆心角时，这个夹角是多少度？
3. （艺术设计）设计师想在一个圆形徽章内绘制一个等边三角形。他先画了圆的一条直径。请问他接下来应该如何利用圆周角定理，准确找到等边三角形的另外两个顶点？
4. （机械加工）一个圆形工件上需要钻三个孔 \( A, B, C \)，要求 \( \angle ACB = 90^\circ \)。工人师傅确定了 \( A, B \) 两点后，为了确定 \( C \) 点的位置，他应该怎么做？（用工具尺规作图描述）
5. （天文观测）地球上看，行星 \( P \) 在一段时间内相对于遥远的恒星背景，在天球上画出了一段圆弧。天文学家通过测量这段圆弧所对的视角（即圆周角），可以估算出行星轨道的一些信息。如果测得某外行星在一段时间内划过的圆弧视角为 \( 1^\circ \)，请问从太阳看这段弧所对的圆心角大约是多少？（忽略地球公转轨道的偏心率，将地球和行星轨道近似看作同心圆）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 50 \)
2. \( 56 \)
3. \( 90 \)
4. \( \angle C = \frac{1}{2} \times 70^\circ = 35^\circ \)
5. ✅ 正确（在同圆或等圆中）。
6. ✅ 正确（圆心角顶点固定为圆心）。
7. \( 60^\circ \) 或 \( 120^\circ \) （注意：一条弦对着两条弧，优弧和劣弧，因此对应两个圆周角，它们互补）。
8. 直径。
9. 互补（\( \angle A + \angle C = 180^\circ \)）。
10. \( 160 \) （注意：三角形内角 \( 80^\circ \) 是圆周角，它所对的圆心角是 \( 2 \times 80^\circ = 160^\circ \)，而这条弧的度数等于圆心角的度数）。

第二关：中考挑战（部分关键解析）

1. \( 65^\circ \)。解析：\( \angle ABC \) 和 \( \angle BDC \) 都对着弧 \( AC \)，是等弧所对的圆周角，但图形中 \( \angle ABC \) 已知。连接 \( AC \)，因为 \( AB \) 是直径，所以 \( \angle ACB = 90^\circ \)，在 \( \triangle ABC \) 中求得 \( \angle BAC = 65^\circ \)，而 \( \angle BDC = \angle BAC = 65^\circ \)（同弧 \( BC \) 所对圆周角相等）。
2. ① ② 正确。解析：\( \angle AOB = 2 \times \angle ACB = 100^\circ \)，弧 \( AB \) 的度数等于圆心角 \( \angle AOB \) 的度数，为 \( 100^\circ \)。③ 无法确定，④ 明显错误。
3. 证明概要：如图，四边形 \( ABCD \) 内接于圆，\( \angle A \) 和 \( \angle C \) 所对的弧合起来是整个圆。设 \( \angle A \) 对着弧 \( BCD \)，其度数为 \( m \)，则 \( \angle A = \frac{m}{2} \)。\( \angle C \) 对着弧 \( BAD \)，其度数为 \( 360^\circ - m \)，则 \( \angle C = \frac{360^\circ - m}{2} \)。所以 \( \angle A + \angle C = \frac{m}{2} + \frac{360^\circ - m}{2} = 180^\circ \)。
4. \( 110^\circ \)。解析：\( \angle BOD \) 是圆心角，弧 \( BD \) 的度数为 \( 140^\circ \)。圆周角 \( \angle BAD = \frac{1}{2} \times 140^\circ = 70^\circ \)。在圆内接四边形 \( ABCD \) 中，\( \angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 110^\circ \)。
5. 弧 \( AB = 160^\circ \)，弧 \( BC = 120^\circ \)，弧 \( CA = 80^\circ \)。解析：设 \( \angle A = 2k, \angle B = 3k, \angle C = 4k \)。三角形内角和 \( 2k+3k+4k=180^\circ \)，解得 \( k=20^\circ \)。所以 \( \angle A=40^\circ, \angle B=60^\circ, \angle C=80^\circ \)。它们分别是圆周角，所对弧的度数等于所对圆心角的度数，即圆周角度数的2倍。故弧 \( BC = 2 \times 40^\circ = 80^\circ \)，弧 \( CA = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \)，弧 \( AB = 2 \times 80^\circ = 160^\circ \)。（注意：三个弧的度数和应为 \( 360^\circ \)，\( 80+120+160=360 \)）
6. 直径所对的圆周角是直角（或圆周角定理的推论）。

第三关：生活应用（第1题解析示例）

1. 模型：设拱桥所在圆的半径为 \( r \) 米，弦 \( AB=8 \) 米，拱高 \( CD=2 \) 米（\( D \) 为 \( AB \) 中点）。连接 \( OA, OB, OD \)。则 \( OD \perp AB \) 且 \( AD=BD=4 \)。在 \( Rt\triangle OAD \) 中，\( OA=r \)，\( OD = r - 2 \)，\( AD=4 \)。由勾股定理：\( (r-2)^2 + 4^2 = r^2 \)。解得 \( r = 5 \)（米）。