关于原点对称怎么求？双变号口诀与图形变换深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：关于原点对称 原理

• 核心概念：想象一下，平面直角坐标系的原点 \( O(0,0) \) 就像一个“符号转换中心”。一个点 \( A(x, y) \) 带着它的“横坐标保镖”\( x \) 和“纵坐标秘书”\( y \) 来到这里。关于原点对称，就是一场彻底的“大叛变”！原点的魔力会让这两个坐标的“忠诚度”完全反转。阿星的比喻来了：“双变号”——横坐标 \( x \) 变成它的相反数 \( -x \)，纵坐标 \( y \) 也变成它的相反数 \( -y \)。于是，点 \( A \) 的“孪生兄弟”点 \( A' \) 就诞生在 \( (-x, -y) \)。它们俩就像站在原点两边，距离原点一样远的“镜中人”，只不过一个在第一象限，另一个就在第三象限（或者一个在第二，另一个在第四）。
• 计算秘籍：
  1. 锁定已知点坐标：\( (x, y) \)。
  2. 启动“双变号”程序：
     • 新横坐标 = \( -1 \times x = -x \)
     • 新纵坐标 = \( -1 \times y = -y \)
  3. 得到对称点坐标：\( (-x, -y) \)。
• 阿星口诀：关于原点对称，记住“双双把家还”。横也变，纵也变，符号相反面对面。

📐 图形解析

点 \( P(3, 2) \) 关于原点 \( O(0, 0) \) 的对称点是 \( P'(-3, -2) \)。它们到原点的距离相等，且 \( O \) 是线段 \( PP' \) 的中点。

数学关系：若点 \( P \) 坐标为 \( (a, b) \)，则其中点 \( O \) 的坐标满足 \( \frac{a + (-a)}{2} = 0 \)，\( \frac{b + (-b)}{2} = 0 \)。距离 \( OP = OP' = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：只变一个符号。例如，求 \( (5, -3) \) 关于原点的对称点，写成 \( (-5, 3) \) 或 \( (5, 3) \)。
  ✅ 正解：必须“双变号”，横、纵坐标都要取相反数。正确结果是 \( (-5, 3) \) 是错误的，正确的是 \( (-5, 3)？ \) 等一下，仔细算：\( (5, -3) \) → 横坐标变号：\( -5 \)，纵坐标变号：\( -(-3) = 3 \)。所以正确结果是 \( (-5, 3) \)。我上面举例时自己写错了，这恰好说明要警惕！更正：错误写法可能是 \( (-5, -3) \) 或 \( (5, 3) \)，正确答案是 \( (-5, 3) \) 。
• ❌ 错误2：混淆对称中心。题目要求关于原点对称，却错用关于 \( x \) 轴或 \( y \) 轴的规则。
  ✅ 正解：牢记口诀，明确中心。关于原点 = 双变号；关于x轴 = 横不变，纵变号 \( (x, -y) \)；关于y轴 = 横变号，纵不变 \( (-x, y) \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 点 \( (7, 4) \) 关于原点的对称点坐标是______。
2. 点 \( (-5, -6) \) 关于原点的对称点坐标是______。
3. 点 \( (0, 9) \) 关于原点的对称点坐标是______。
4. 点 \( (a, 0) \) 关于原点的对称点坐标是______。
5. 若点 \( P(2m, -3) \) 关于原点的对称点是 \( P'(-6, n) \)，则 \( m = \) ______，\( n = \) ______。
6. 在平面直角坐标系中，点 \( A(1, 2) \) 关于原点的对称点为 \( A' \)，则点 \( A' \) 在第______象限。
7. 点 \( M(x, y) \) 在第二象限，则它关于原点对称的点 \( N \) 在第______象限。
8. 点 \( P(3, -4) \) 到原点的距离是 \( d_1 \)，其对称点 \( P' \) 到原点的距离是 \( d_2 \)，则 \( d_1 \) 与 \( d_2 \) 的关系是______。
9. （判断）点 \( (p, q) \) 和点 \( (-p, -q) \) 一定关于原点对称。 （ ）
10. （判断）点 \( (2, 3) \) 关于原点的对称点与点 \( (-2, 3) \) 关于y轴的对称点是同一个点。（ ）

第二关：中考挑战（10道）

1. 已知点 \( A(m+2, 3) \) 和点 \( B(-5, n-1) \) 关于原点对称，则 \( m^n = \) ______。
2. 若点 \( P(a+b, ab) \) 关于原点的对称点为 \( P'(3, -4) \)，则 \( a^2 + b^2 = \) ______。
3. 将抛物线 \( y = x^2 - 2x + 3 \) 绕原点旋转180°，所得新抛物线的解析式为______。
4. 直线 \( y = -\frac{1}{2}x + 3 \) 关于原点对称的直线与坐标轴围成的三角形面积是______。
5. 在坐标系中，矩形 \( OABC \) 的顶点 \( O \) 在原点，\( A(6,0), C(0,4) \)。若矩形绕原点顺时针旋转180°，则旋转后点 \( B \) 的对应点 \( B' \) 的坐标是______。
6. 函数 \( y = \frac{k}{x} (k \neq 0) \) 的图象关于______对称。（多选：A. x轴 B. y轴 C. 原点）
7. 若点 \( P \) 关于x轴的对称点是 \( (2, -3) \)，关于原点的对称点是 \( (m, n) \)，则 \( m - n = \) ______。
8. 如图，\( \triangle ABC \) 的顶点都在格点上，若以原点 \( O \) 为位似中心，相似比为 \( -2 \) 作位似变换，得到 \( \triangle A'B'C' \)。这本质上也是关于原点的放大和对称。若 \( A(1,1) \)，则 \( A' \) 的坐标是______。
9. 点 \( P(2a-1, 3a+2) \) 关于原点的对称点在第三象限，则整数 \( a \) 的值为______。
10. 在平面直角坐标系中，若一个图形上所有点的横、纵坐标都变为原来的相反数，则此图形与原图形关于______成中心对称。

第三关：生活应用（5道）

1. 地图导航：在城市的网格地图中，以市中心广场为原点建立坐标系。你家位于点 \( (3, -5) \)（单位：公里）。你朋友家关于原点对称的位置恰好是一个大型公园。请问公园的坐标是什么？它在你家的哪个方向（大致象限）？
2. 电路设计：在电路板平面图上，一个关键元件的焊盘中心坐标为 \( (x_0, y_0) \)。为了电磁兼容性，需要在其关于主板定位原点对称的位置添加一个对称的接地过孔。请写出这个接地过孔中心的坐标。

艺术图案：一位设计师用坐标软件绘制花瓣。一片花瓣的轮廓线部分由函数 \( y = x^3 - x (0 \le x \le 1) \) 决定。他想通过“关于原点对称”的操作，快速得到对面另一片形状相同、方向相反的花瓣轮廓。请你描述或写出这片新花瓣在第三象限部分的轮廓函数关系（需考虑定义域）。

3. 物理中的力：一个物体在平面内受到两个力作用，力 \( \vec{F_1} \) 的作用点位于 \( A(2,1) \)，方向大小用向量表示为 \( (3,4) \)。现有一个力 \( \vec{F_2} \) 与 \( \vec{F_1} \) 大小相等、方向相反，且其作用点关于坐标原点对称于 \( A \) 点。求力 \( \vec{F_2} \) 的作用点坐标及其向量表示。
4. 游戏开发：在一个2D游戏中，角色发射一枚子弹，子弹的初始运动轨迹由向量 \( (v_x, v_y) \) 决定。当子弹击中地图中心（原点）的“反物质核心”时，其运动轨迹会瞬间关于原点对称。若击中前瞬间子弹的速度向量为 \( (-10, 5) \)，求击中后瞬间它的速度向量。这会导致子弹朝哪个方向飞？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( (-7, -4) \)
2. \( (5, 6) \)
3. \( (0, -9) \) （注意：横坐标0的相反数仍是0）
4. \( (-a, 0) \)
5. 由 \( 2m = -(-6) = 6 \) 得 \( m=3 \)；由 \( n = -(-3) = 3 \) 得 \( n=3 \)。
6. \( (-1, -2) \) 在第三象限。
7. 第二象限 \( x < 0, y > 0 \)，对称点 \( (-x, -y) \) 满足 \( -x > 0, -y < 0 \)，在第四象限。
8. \( d_1 = d_2 \) 或相等。距离公式均为 \( \sqrt{3^2+(-4)^2}=5 \)。
9. ✅ 正确。符合定义。
10. ❌ 错误。\( (2,3) \) 关于原点对称点是 \( (-2,-3) \)；\( (-2,3) \) 关于y轴对称点是 \( (2,3) \)。

第二关：中考挑战

1. 由关于原点对称：\( m+2 = -(-5) = 5 \) 得 \( m=3 \)；\( 3 = -(n-1) \) 得 \( n=-2 \)。所以 \( m^n = 3^{-2} = \frac{1}{9} \)。
2. 由题意：\( a+b = -3 \)，\( ab = 4 \)。\( a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (-3)^2 - 2\times4 = 9-8=1 \)。
3. 将 \( x \to -x, y \to -y \) 代入：\( -y = (-x)^2 - 2(-x) + 3 \)，化简得 \( -y = x^2 + 2x + 3 \)，即 \( y = -x^2 - 2x - 3 \)。
4. 对称直线为 \( y = -\frac{1}{2}x - 3 \)。求与x轴交点（令y=0）：\( x=-6 \)；与y轴交点（令x=0）：\( y=-3 \)。面积 \( S = \frac{1}{2} \times |-6| \times |-3| = 9 \)。
5. 矩形旋转180°即关于原点对称。\( B(6,4) \) 的对称点为 \( B'(-6, -4) \)。
6. C. 原点。因为将 \( x, y \) 同时取相反数，方程 \( (-y) = \frac{k}{(-x)} \) 化简后仍为 \( y=\frac{k}{x} \)。
7. 点 \( P \) 关于x轴的对称点是 \( (2,-3) \)，则 \( P \) 点为 \( (2, 3) \)。\( P \) 关于原点的对称点即为 \( (-2, -3) \)，所以 \( m=-2, n=-3, m-n=1 \)。
8. 位似比为 \( -2 \)，意味着既是中心对称（关于原点），又放大2倍。所以 \( A' = (1\times(-2), 1\times(-2)) = (-2, -2) \)。
9. 对称点为 \( (1-2a, -2-3a) \)。在第三象限则 \( 1-2a < 0 \) 且 \( -2-3a < 0 \)。解得 \( a > 0.5 \) 且 \( a > -\frac{2}{3} \)，所以 \( a > 0.5 \)。整数 \( a \) 最小为1。（注：题目未要求最大或最小，任意大于0.5的整数均可，通常求最小的整数解）
10. 原点。所有点坐标从 \( (x,y) \) 变为 \( (-x,-y) \)，正是关于原点对称的定义。

第三关：生活应用

1. 公园坐标：\( (-3, 5) \)。你家 \( (3,-5) \) 在第四象限，公园 \( (-3,5) \) 在第二象限。大致在你家的西北方向。
2. 接地过孔中心坐标：\( (-x_0, -y_0) \)。
3. 新花瓣在第三象限部分，其坐标 \( (x, y) \) 满足 \( x \le 0, y \le 0 \)。由对称性，若原花瓣上点 \( (u, v) \) 满足 \( v = u^3 - u (0 \le u \le 1) \)，则新花瓣上对应点 \( (x, y) = (-u, -v) \)。代入得 \( -y = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x \)，即 \( y = x^3 - x \)。但此时 \( x = -u \)，且 \( 0 \le u \le 1 \)，所以 \( -1 \le x \le 0 \)。因此函数关系仍是 \( y = x^3 - x \)，但定义域为 \( -1 \le x \le 0 \)。
4. \( F_2 \) 作用点坐标：\( (-2, -1) \)。\( \vec{F_1} = (3, 4) \)，则 \( \vec{F_2} = (-3, -4) \)。（力大小相等方向相反）
5. 击中后速度向量：\( (10, -5) \)。原来向量 \( (-10, 5) \) “双变号”后得到。相当于子弹的运动方向关于原点对称后，从指向原点的左上方，变为背离原点的右下方。