余弦cos是什么？邻边比斜边原理深度解析与例题精讲专项练习题库

💡 阿星精讲：余弦cos 原理

• 核心概念：你好呀！我是阿星。想象一下，在直角三角形这个“家庭”里，锐角 \( \angle A \) 想衡量自己的“影响力”。它不是看自己对面的那条边（对边），而是看紧挨着自己的那条“邻边哥哥”。余弦，就是这位“邻边哥哥”的长度，与家里最长的“斜边爸爸”的长度之比。公式就是：\( \cos A = \frac{\angle A\text{的邻边}}{\text{斜边}} \)。有趣的是，当 \( \angle A \) 这个角度从 \( 0^\circ \) 慢慢变大到 \( 90^\circ \) 时，邻边哥哥在斜边爸爸面前显得越来越“矮小”，话语权（比值）也就越来越小。所以，角度越大，余弦值越小。当角是 \( 0^\circ \) 时，邻边和斜边完全重合，\( \cos 0^\circ = 1 \)；当角是 \( 90^\circ \) 时，邻边长度变成了0，\( \cos 90^\circ = 0 \)。
• 计算秘籍：
  1. 识别角色：在直角三角形中，找到关心的锐角 \( \angle A \)。
  2. 找到“邻边”与“斜边”：紧挨着 \( \angle A \) 的那条直角边是“邻边”，直角对着的最长边是“斜边”。
  3. 作比求值：将邻边的长度除以斜边的长度，即 \( \cos A = \frac{b}{c} \)（假设 \( \angle A \) 的邻边是 \( b \)，斜边是 \( c \)）。
• 阿星口诀：余弦就是邻比斜，角大值小别记差。零度整整等于一，九十度就化零啦！

📐 图形解析

下面这个三角形清晰地展示了 \( \cos A \) 的几何意义。看，对于 \( \angle A \) 来说，蓝色高亮的部分就是它的“邻边”，而三角形的“长边”就是斜边。

余弦公式：\( \cos A = \frac{\text{邻边 } b}{\text{斜边 } c} \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：在任意三角形中，直接用一条边比另一条边当作余弦值。
  ✅ 正解：余弦 \( \cos A \) 的定义严格限定在直角三角形中，且必须是对锐角 \( \angle A \) 的“邻边/斜边”。在非直角三角形中，需用余弦定理 \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \)。
• ❌ 错误2：混淆“邻边”和“对边”，误以为 \( \cos A = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} \)。
  ✅ 正解：牢记阿星的比喻：余弦是“邻边哥哥”和“斜边爸爸”的比。一定要站在所考察的角的顶点，看紧挨着自己的那条直角边。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 在 \( Rt\triangle ABC, \angle C=90^\circ, AC=3, BC=4 \)， 求 \( \cos A \)。
2. 在 \( Rt\triangle DEF, \angle E=90^\circ, DE=5, DF=13 \)， 求 \( \cos D \)。
3. 已知 \( \cos \alpha = 0.6 \)， 且 \( \alpha \) 是锐角， 请画出一个符合该条件的直角三角形的示意图（标出可能的边长比）。
4. 判断：对于锐角 \( \theta \)， \( \cos \theta \) 可以大于1。 （ ）
5. 判断：角度越大，它的余弦值越大。 （ ）
6. 在 \( Rt\triangle ABC, \angle C=90^\circ, \cos B = \frac{12}{13}, BC=24 \)， 求 \( AB \)。
7. 比较大小：\( \cos 30^\circ \) ______ \( \cos 45^\circ \)。（填 >, <, =）
8. 若 \( \angle A \) 为锐角，且 \( \cos A = \frac{1}{2} \)， 则 \( \angle A = \) ______。
9. 等腰直角三角形中，一个锐角的余弦值是 ______。
10. 已知 \( \cos \theta = \frac{4}{5} \)， 且 \( \theta \) 的对边长为12， 求这个直角三角形的斜边长。

第二关：中考挑战（10道）

1. 在 \( \triangle ABC \) 中， \( AD \perp BC \) 于点 \( D \)， 若 \( AD=6, BD=4, CD=3 \)， 求 \( \cos \angle BAC \) 的值。
2. 在菱形 \( ABCD \) 中，对角线 \( AC=10, BD=24 \)， 求 \( \cos \angle ABC \)。
3. 已知 \( \alpha \) 为锐角，且 \( \sin \alpha = \frac{5}{13} \)， 求 \( \cos \alpha \) 的值。
4. 在 \( Rt\triangle ABC, \angle C=90^\circ, \tan A = 2 \)， 求 \( \cos A \) 的值。
5. 如图，在 \( 4 \times 4 \) 的正方形网格中，\( \triangle ABC \) 的顶点都在格点上，则 \( \cos \angle ABC \) 的值为 ______。
   
6. 在 \( \triangle ABC \) 中， \( \angle A、 \angle B \) 均为锐角，且 \( (\sin A - \frac{1}{2})^2 + |\cos B - \frac{\sqrt{3}}{2}| = 0 \)， 求 \( \angle C \) 的度数。
7. 如图，在 \( \triangle ABC \) 中， \( AB=AC=5, BC=8 \)， 求 \( \cos B \) 的值。
8. 已知 \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)， 不查表求 \( \cos 60^\circ \) 的值。
9. 在 \( \triangle ABC \) 中， \( AB=4, AC=3, \cos A = \frac{1}{3} \)， 求 \( BC \) 的长。
10. 某人从山脚A点测得山顶B的仰角为 \( 30^\circ \)， 沿倾斜角为 \( 15^\circ \) 的斜坡前进100米到达D点，再测得山顶B的仰角为 \( 60^\circ \)， 求山高BC（精确到1米，忽略人身高）。

第三关：生活应用（5道）

1. （测量）为了测量一条河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在河的这边选点B和C，使 \( AB \perp BC \)。测得 \( BC = 50 \) 米，\( \angle ACB = 74^\circ \)， 求河宽 \( AB \)。（参考：\( \cos 74^\circ \approx 0.2756 \)）
2. （工程）一个屋顶的倾斜角为 \( 28^\circ \)（屋顶斜面与水平面的夹角），如果房屋的跨度（水平宽度）是12米，那么屋顶斜面的长度是多少米？（参考：\( \cos 28^\circ \approx 0.8829 \)）
3. （物理）一个大小为10N的力斜向上作用在物体上，该力与水平方向夹角为 \( 37^\circ \)。求这个力的水平分力大小。（参考：\( \cos 37^\circ \approx 0.8 \)）
4. （航海）一艘船从A点出发，向正东方向航行40海里到达B点，然后改变航向，沿着北偏东 \( \theta \) 方向（即从正北向东偏 \( \theta \) 度）航行30海里到达C点。若A、C两点相距50海里，求 \( \cos \theta \) 的值。
5. （设计）一段残疾人坡道，要求坡度（垂直高度与水平长度的比值）不超过 \( 1:12 \)。如果垂直高度需要提升0.75米，那么坡道与地面的夹角 \( \alpha \) 的余弦值至少应大于多少？（提示：坡度 \( i = \tan \alpha \)）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5} = 0.6 \) (斜边 \( AB = \sqrt{3^2+4^2}=5 \))
2. \( \cos D = \frac{DE}{DF} = \frac{5}{13} \approx 0.3846 \)
3. 示意图：画一个直角三角形，使一个锐角 \( \alpha \) 的邻边为3，斜边为5（因为 \( 3/5=0.6 \)），则对边为4。
4. 错误。斜边是直角三角形最长边，邻边 ≤ 斜边，所以比值 \( \cos \theta \leq 1 \)。
5. 错误。角度越大，余弦值越小。
6. 由 \( \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13} \)，得 \( \frac{24}{AB} = \frac{12}{13} \)，解得 \( AB = 26 \)。
7. \( > \) （\( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \)， \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \)）
8. \( 60^\circ \) （特殊角余弦值需熟记）
9. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \) （设直角边为1，则斜边为 \( \sqrt{2} \)，\( \cos 45^\circ = 1 / \sqrt{2} \)）
10. 设斜边为 \( c \)，邻边为 \( b \)。由 \( \cos \theta = \frac{b}{c} = \frac{4}{5} \) 及对边 \( a=12 \)，根据勾股定理 \( (4k)^2 + 12^2 = (5k)^2 \)，解得 \( k=4 \)，所以斜边 \( c=5k=20 \)。

第二关：中考挑战

1. 作高 \( AD \) 后，\( \triangle ABD \) 和 \( \triangle ADC \) 均为直角三角形。但 \( \angle BAC \) 不在一个现成的直角三角形中。需要延长 \( CB \)，或利用 \( \cos \angle BAC = \cos (\angle BAD + \angle CAD) \) 的和角公式（超纲），更简单的方法是直接用余弦定理：\( BC=7, AB=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}, AC=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5} \)。在 \( \triangle ABC \) 中，\( \cos \angle BAC = \frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{52+45-49}{2 \cdot 2\sqrt{13} \cdot 3\sqrt{5}} = \frac{48}{12\sqrt{65}} = \frac{4}{\sqrt{65}} = \frac{4\sqrt{65}}{65} \)。
2. 菱形对角线互相垂直平分。设交点为 \( O \)。则 \( AO=5, BO=12 \)。在 \( Rt\triangle AOB \) 中，\( \cos \angle ABO = \frac{BO}{AB} \)。需先求 \( AB = \sqrt{5^2+12^2}=13 \)。所以 \( \cos \angle ABO = \frac{12}{13} \)。注意 \( \angle ABC = 2 \angle ABO \)，但题目求的是 \( \cos \angle ABC \)。利用二倍角公式 \( \cos \angle ABC = 2\cos^2 \angle ABO - 1 = 2\times(\frac{12}{13})^2 - 1 = \frac{288}{169} - 1 = \frac{119}{169} \)。或用三角形 \( \triangle ABC \) 及余弦定理。
3. \( \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \)。
4. 设 \( BC=2k, AC=k \)（因为 \( \tan A = BC/AC = 2 \)），则 \( AB=\sqrt{(2k)^2+k^2}=\sqrt{5}k \)。所以 \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{k}{\sqrt{5}k} = \frac{\sqrt{5}}{5} \)。
5. 连接 \( A \) 点和 \( B \) 点正下方的格点 \( D(80,80) \)，形成 \( Rt\triangle ABD \)。\( AD=40, BD=40 \)，所以 \( AB=40\sqrt{2} \)。在 \( \triangle ABC \) 中，\( BC=20, AC=\sqrt{40^2+20^2}=20\sqrt{5} \)。在 \( \triangle ABC \) 中用余弦定理：\( \cos \angle ABC = \frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB \cdot BC} = \frac{(40\sqrt{2})^2+20^2-(20\sqrt{5})^2}{2 \cdot 40\sqrt{2} \cdot 20} = \frac{3200+400-2000}{1600\sqrt{2}} = \frac{1600}{1600\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)。更巧妙的观察：\( AB \) 是正方形对角线，与水平线成45°，\( BC \) 是水平线，所以 \( \angle ABC = 45^\circ \)，\( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)。
6. 由非负数和为0可得 \( \sin A = \frac{1}{2} \)， \( \cos B = \frac{\sqrt{3}}{2} \)。所以 \( \angle A = 30^\circ \)， \( \angle B = 30^\circ \)。故 \( \angle C = 120^\circ \)。
7. 作 \( AD \perp BC \) 于 \( D \)，则 \( BD=DC=4 \)。在 \( Rt\triangle ABD \) 中，\( AD = \sqrt{5^2-4^2}=3 \)。所以 \( \cos B = \frac{BD}{AB} = \frac{4}{5} = 0.8 \)。
8. 在含 \( 30^\circ \) 的直角三角形中，\( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 表示 \( 30^\circ \) 角邻边为 \( \sqrt{3}k \)，斜边为 \( 2k \)，则对边（即 \( 60^\circ \) 角的邻边）为 \( k \)。所以 \( \cos 60^\circ = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2} \)。
9. 直接使用余弦定理：\( BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A = 4^2+3^2-2\times4\times3\times\frac{1}{3} = 16+9-8 = 17 \)，所以 \( BC = \sqrt{17} \)。
10. （简析）设山高 \( BC = h \)。在 \( Rt\triangle ABC \) 中， \( AC = h / \tan 30^\circ = \sqrt{3}h \)。过D作水平线... 最终建立关于 \( h \) 的方程求解。过程略，答案约为 \( 137 \) 米。

第三关：生活应用

1. 在 \( Rt\triangle ABC \) 中，\( \cos 74^\circ = \frac{BC}{AC} \approx \frac{50}{AC} = 0.2756 \)，解得 \( AC \approx 181.5 \) 米。再用正弦或勾股求 \( AB \approx 181.5 \times \sin 74^\circ \approx 174.5 \) 米。或直接用 \( \tan 74^\circ = AB/50 \) 求解更直接，但本题意在练习余弦。
2. 设斜面长为 \( L \) 米。跨度12米是斜面在水平面上的投影，即邻边。\( \cos 28^\circ = \frac{12}{L} \approx 0.8829 \)，所以 \( L \approx 12 / 0.8829 \approx 13.59 \) 米。
3. 水平分力 \( F_x = F \cdot \cos 37^\circ \approx 10 \times 0.8 = 8 \) N。
4. 画出示意图。\( AB=40 \) (正东)， \( BC=30 \) (北偏东 \( \theta \))， \( AC=50 \)。\( \angle ABC = 90^\circ + (90^\circ - \theta) = 180^\circ - \theta \)。在 \( \triangle ABC \) 中用余弦定理：\( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle ABC \)。即 \( 2500 = 1600 + 900 - 2 \times 40 \times 30 \times \cos(180^\circ - \theta) \)。解得 \( \cos(180^\circ - \theta) = 0 \)，所以 \( \cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta = 0 \)，故 \( \cos \theta = 0 \)。说明 \( \theta = 90^\circ \)，即正北方向，这与50海里矛盾。检查发现角标有误。实际上，向量 \( \vec{BA} \) 与 \( \vec{BC} \) 的夹角是 \( \theta \) 的补角。更稳妥：以B为原点，建立直角坐标系。A(-40,0), C(30sinθ, 30cosθ)。由AC=50得方程解得 \( \cos \theta = 0 \)。这确实是一个直角三角形情况（勾三股四弦五）。
5. 坡度 \( i = \tan \alpha \leq \frac{1}{12} \)。水平长度 \( L \geq 0.75 \times 12 = 9 \) 米。斜面长 \( S = \sqrt{0.75^2 + L^2} \)。\( \cos \alpha = \frac{L}{S} = \frac{L}{\sqrt{0.75^2+L^2}} \)。当 \( L \) 取最小值9时，\( \cos \alpha \) 最小：\( \cos \alpha = \frac{9}{\sqrt{0.5625+81}} = \frac{9}{\sqrt{81.5625}} \approx \frac{9}{9.031} \approx 0.9966 \)。所以余弦值至少应大于约0.9966（即夹角 \( \alpha \) 非常小）。