余角和补角概念辨析与计算题深度解析 附易错点总结专项练习题库

💡 阿星精讲：余角和补角 原理

• 核心概念：哈喽！我是阿星。让我们把角想象成有“饭量”的小伙伴吧！“余”就是“剩下”，午饭吃一份 \( 90^\circ \) 的套餐，如果你吃了 \( \alpha^\circ \)，那么剩下的“饭量” \( (90-\alpha)^\circ \) 就是你的“余”角。它们俩加起来正好是 \( 90^\circ \)，这叫“互余”，是一对最佳饭搭子！“补”就是“填补”，晚饭的套餐升级到 \( 180^\circ \)，如果你吃了 \( \beta^\circ \)，那需要填补的 \( (180-\beta)^\circ \) 就是你的“补”角。它们俩加起来是 \( 180^\circ \)，这叫“互补”，是形影不离的生死搭档！最关键的性质来了：同一个角的补角当然相等（都是 \( 180^\circ \) 减去它）。如果两个角是相等的，那么它们的补角也一定相等（就像两个人饭量一样，他们需要的“填补量”也一样）。这个“同角或等角的补角相等”对余角也完全适用哦！
• 计算秘籍：
  1. 已知角求余角：余角 = \( 90^\circ - \) 已知角。例如，\( \alpha = 25^\circ \)，余角 = \( 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \)。
  2. 已知角求补角：补角 = \( 180^\circ - \) 已知角。例如，\( \beta = 105^\circ \)，补角 = \( 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \)。
  3. 已知关系求角：设未知角为 \( x \)，根据互余 \( x + (另一个角) = 90^\circ \) 或互补 \( x + (另一个角) = 180^\circ \) 列方程求解。
• 阿星口诀：九十为余，一八零补，兄弟情深，同余等补。

📐 图形解析

让我们用图形来感受这对“搭档”的关系：

互余关系：\( \angle AOB + \angle BOC = 90^\circ \)

互补关系：\( \angle MON + \angle NOQ = 180^\circ \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“有余角/补角的角”一定是锐角/钝角。✅ 正解：余角只针对锐角（小于 \( 90^\circ \)）。但补角范围很广，锐角、直角、钝角都有补角。注意：\( 90^\circ \) 的补角是 \( 90^\circ \)，它自己就是自己的补角！
• ❌ 错误2：在复杂图形中，凭感觉找余角或补角，忽略对顶角、公共边等隐含条件。✅ 正解：牢记定义，只找“和为 \( 90^\circ \) ”或“和为 \( 180^\circ \) ”的两个角。如果两角相邻且一边重合，另一边成一直线，则互补；如果两边垂直，则互余。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. \( 30^\circ \) 角的余角是____，补角是____。
2. 若 \( \angle A = 70^\circ \)，则它的补角的度数是____。
3. 一个角的余角是 \( 48^\circ \)，这个角是____。
4. 判断：钝角没有余角。（ ）
5. 判断：同一个角的余角和补角相差 \( 90^\circ \)。（ ）
6. 若 \( \angle 1 \) 与 \( \angle 2 \) 互余，\( \angle 1 = 2\angle 2 \)，则 \( \angle 1 = \)____。
7. 如图，O是直线AB上一点，\( \angle BOC = 40^\circ \)，则 \( \angle AOC = \)____度。
8. 已知 \( \angle \alpha \) 和 \( \angle \beta \) 互余，且 \( \angle \alpha = 5\angle \beta \)，则 \( \angle \alpha = \)____。
9. 一个角的补角比它的余角大____度。
10. 若两个角互补，且其中一个角是另一个角的2倍，则较小的角是____度。

第二关：中考挑战（10道）

1. （方程思想）一个角的补角比这个角的余角的2倍多15度，求这个角。
2. （图形综合）如图，直线AB，CD相交于点O，OE把 \( \angle BOD \) 分成两部分，且 \( \angle BOE : \angle EOD = 1:2 \)，\( \angle AOC = 70^\circ \)，求 \( \angle AOE \)。
3. （整体思想）若 \( \angle 1 \) 和 \( \angle 2 \) 互余，\( \angle 2 \) 和 \( \angle 3 \) 互补，\( \angle 1 = 63^\circ \)，求 \( \angle 3 \)。
4. （分类讨论）已知 \( \angle AOB = 60^\circ \)，自O点引射线OC，若 \( \angle AOC : \angle COB = 1:3 \)，求 \( \angle BOC \) 的余角度数。
5. （性质应用）若 \( \angle A \) 与 \( \angle B \) 互补，\( \angle B \) 与 \( \angle C \) 互余，求证：\( \angle A \) 是钝角。
6. （折叠问题）将一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B落在B‘处，折痕为EF。若 \( \angle B’FC = 50^\circ \)，求 \( \angle AEF \) 的度数。
7. （钟表问题）下午2点30分时，时钟的时针与分针所成的角的余角是多少度？
8. （规律探究）观察：\( \angle 1 \) 的余角是 \( \angle 2 \)，\( \angle 2 \) 的补角是 \( \angle 3 \)，且 \( \angle 3 = 135^\circ \)，则 \( \angle 1 = \)____。
9. （推理证明）已知：如图，\( \angle AOE = \angle COF = 90^\circ \)，\( \angle EOF = 32^\circ \)。求 \( \angle AOC \) 的度数，并说明 \( \angle AOC \) 与 \( \angle BOD \) 的关系。
10. （综合计算）若 \( \alpha \)、\( \beta \) 都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算 \( \frac{1}{6}(\alpha + \beta) \) 的结果依次为 \( 50^\circ \)、\( 26^\circ \)、\( 72^\circ \)、\( 90^\circ \)。其中只有一个结果是正确的，请问正确的是谁？

第三关：生活应用（5道）

1. （工程测量）为了使管道能够顺利转弯，施工时经常需要计算“转弯角”的补角（称为“外角”）。已知某管道需要向内弯折 \( 127^\circ \)，那么其外角是多少度？这个外角的余角存在吗？为什么？
2. （建筑设计）一扇旋转门由四块完全相同的玻璃扇面组成，当门完全打开时，每块扇面绕中心轴旋转的角度相同。请问每块扇面旋转的角度是多少？这个角度和它的补角有什么关系？
3. （家居装修）木匠师傅想做一个直角三角形的木楔子用来固定家具。他已经锯出了一个 \( 28^\circ \) 的锐角，请问他需要把另一块木头锯成多少度的角，才能和这个角拼成直角（互余）？
4. （体育角度）在台球运动中，球撞击库边反弹时，入射角等于反射角。若一颗球以与库边成 \( 25^\circ \) 角的方向撞向库边，则入射角是____度，其补角是____度。
5. （航海航向）在航海中，方向常用方位角表示（从正北顺时针旋转的角度）。一艘船从A点出发，航向为 \( 065^\circ \)（即北偏东65度），到达B点后，需要掉头返航。请问返航的方位角是多少度？它与原航向的方位角是互余还是互补关系？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 60^\circ \)， \( 150^\circ \)
2. \( 110^\circ \)
3. \( 42^\circ \)
4. ✅ 正确。余角定义要求小于 \( 90^\circ \)。
5. ✅ 正确。设角为 \( x \)，补角 \( (180-x) \)，余角 \( (90-x) \)，两者差 \( (180-x)-(90-x)=90 \)。
6. \( 60^\circ \)（设 \( \angle 2 = x \)，则 \( \angle 1 = 2x \)，由互余得 \( 2x + x = 90 \)，解得 \( x=30 \)，\( \angle 1=60 \)。）
7. \( 140^\circ \)（\( \angle AOC \) 与 \( \angle BOC \) 互补。）
8. \( 75^\circ \)（设 \( \angle \beta = x \)，则 \( \angle \alpha = 5x \)，由互余得 \( 5x+x=90 \)，\( x=15 \)，\( \angle \alpha=75 \)。）
9. \( 90 \)（补角 \( 180-x \)，余角 \( 90-x \)，差值为 \( 90 \)。）
10. \( 60 \)（设小角为 \( x \)，大角为 \( 2x \)，由互补得 \( x+2x=180 \)，\( x=60 \)。）

第二关 & 第三关答案（精选解析）

第二关第1题：设这个角为 \( x^\circ \)。补角：\( 180-x \)，余角：\( 90-x \)。列方程：\( 180-x = 2(90-x) + 15 \)。解得 \( 180-x = 180-2x+15 \)，得 \( x=15 \)。答：这个角是 \( 15^\circ \)。

第二关第3题：∵ \( \angle 1 + \angle 2 = 90^\circ \)，\( \angle 1=63^\circ \) ∴ \( \angle 2 = 27^\circ \)。又 ∵ \( \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ \) ∴ \( \angle 3 = 180^\circ - 27^\circ = 153^\circ \)。

第二关第7题（钟表问题）：下午2点30分，时针在2和3之间，从12点位置起，时针走了 \( 2.5 \times 30^\circ = 75^\circ \)（每小时30度）。分针在6的位置，从12点位置起，走了 \( 180^\circ \)。夹角为 \( |180 - 75| = 105^\circ \)（取小于180度的角）。这个角的余角是 \( 90^\circ - 105^\circ = -15^\circ \) ？显然不对。因为 \( 105^\circ > 90^\circ \)，它没有余角。所以题目问的是“所成的角的余角”，若该角大于90度，则它没有余角。但通常钟表问题中，我们取小于180度的锐角或钝角，其补角为 \( 180-105=75^\circ \)，而 \( 75^\circ \) 的余角是 \( 15^\circ \)。这里需要理解：题目可能意指“所成角（指小于180度的那个角）的余角”，但105度角无余角，所以可能题目有歧义或期待求其补角的余角？严谨答案应为：所成的 \( 105^\circ \) 角没有余角。若问“夹角（指锐角部分，即 \( 75^\circ \) ）的余角”，则为 \( 15^\circ \)。中考题通常会避免此歧义，明确问“较小夹角”的余角。本题旨在提醒审题和概念严谨性。

第三关第1题：外角 = \( 180^\circ - 127^\circ = 53^\circ \)。这个外角 \( 53^\circ \) 是锐角，所以它有余角，余角为 \( 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ \)。

第三关第4题：入射角是 \( 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \)（入射角是与法线的夹角）。其补角是 \( 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \)。

第三关第5题：返航方位角与出发方位角相反，相差 \( 180^\circ \)。所以返航方位角为 \( 065^\circ + 180^\circ = 245^\circ \)（或 \( 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \) 即南偏东65度，但方位角从正北算，所以是 \( 180+65=245^\circ \)，即西偏南65度？更准确：065的反方向是245）。它们互补（\( 65+245=310\neq180 \)）？不，两个方位角之差是180度，但它们的“度数”之和不是180度。它们的关系是“反向”，在几何上，两条射线构成一个平角，所以这两个方向线的夹角是 \( 180^\circ \)，即互补关系。但方位角数值本身是 \( 65 \) 和 \( 245 \)，不满足互补定义。应说：返航航向与原航向的射线构成一个平角，是互补关系。