有理数减法专项练习题库：法则、易错点与解题技巧全解析

💡 阿星精讲：有理数减法 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天我要教大家一个“转化魔法”，专门对付“有理数减法”这个小怪兽。减法是不是总让你想到“拿走”？但数字里还有正负之分，直接“拿”容易晕头转向。所以，我们的魔法口诀是：“减去一个数，等于加上这个数的相反数。” 看，这不是真的在“拿”，而是把“减法运算”这个指令，一键转换成了你更熟悉的“加法运算”！就像把一扇紧闭的“减法门”，用魔法变成了敞开的“加法门”，你只需要大摇大摆走进去就行啦！
• 计算秘籍：
  1. 识别“敌人”：找到要被减去的那个数。
  2. 施展“转化魔法”：把减号“-”和这个“敌人”看成一个整体，一起变成它的“相反数”。
  3. 完成“变身”：将原来的减法算式，无缝替换为“加相反数”的加法算式。
  4. 运用加法法则求解。

  公式化表达：对于任意有理数 \( a \) 和 \( b \)，有 \( a - b = a + (-b) \)。

• 阿星口诀：“遇减莫慌，魔法登场。负负得正，一加便爽！”

📐 图形解析

让我们在数轴上直观感受“转化魔法”。例如，计算 \( 2 - 5 \)。

思路：\( 2 - 5 = 2 + (-5) \)。先在数轴上找到 \( 2 \)，加上 \( -5 \) 意味着向左移动5个单位。

所以，\( 2 - 5 = -3 \)。图形证明了我们的魔法：看似“减5”，实际效果等同于“加-5”。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：符号变换不全。计算 \( -3 - (-7) \) 时，只变第二个负号，写成 \( -3 - 7 \)。
  ✅ 正解：魔法要对整个“-(-7)”施展。减去 (-7) 等于加上 (+7)。正确步骤：\( -3 - (-7) = -3 + 7 = 4 \)。
• ❌ 错误2：忘记“转化”后是加法，仍用减法法则计算。计算 \( 5 + (-8) \) 时，用大的绝对值减小的绝对值（8-5=3），然后符号跟了绝对值大的数（-8），得出 -3，看似正确，但思维过程错了。
  ✅ 正解：明确现在是加法运算！\( 5 + (-8) \) 是异号两数相加，取绝对值大的符号（负号），并用大绝对值减小绝对值（8-5=3），结果确实是 -3，但逻辑是加法法则。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. \( 7 - 3 \)
2. \( (-5) - 1 \)
3. \( 0 - 6 \)
4. \( 4 - (-2) \)
5. \( (-3) - (-8) \)
6. \( -2.5 - 1.5 \)
7. \( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \)（先通分）
8. \( (-\frac{3}{4}) - \frac{1}{2} \)
9. \( 10 - 15 \)
10. \( -7 - 0 \)

第二关：中考挑战（10道）

1. \( | -5 | - (-3) \)
2. \( -2^2 - 3 \times (-1)^3 \)
3. 若 \( a = -1, b=2 \)，求 \( a - b - (a + b) \) 的值。
4. 计算：\( 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 \) （提示：灵活运用转化魔法，把减法全变加法）
5. 数轴上点A表示 \( -4 \)，点B表示 \( 2 \)，求 \( AB \) 的距离。（距离公式：大数减小数）
6. \( (-\frac{2}{3}) - (-\frac{1}{6}) - \frac{1}{2} \)
7. 某日温差为 \( 13^\circ C \)，最低气温是 \( -5^\circ C \)，求最高气温。
8. 计算：\( -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - ... - 99 + 100 \)（观察配对规律）
9. 已知 \( |x| = 5, |y| = 3 \)，且 \( xy < 0 \)，求 \( x - y \) 的值。（注意多解）
10. 定义新运算：\( a \nabla b = a - b + |a-b| \)，求 \( (-2) \nabla 3 \) 的值。

第三关：生活应用（5道）

1. （财务）小星记账：收入记为正，支出记为负。周一收入200元，周二支出150元，周三支出80元。问周三的结余比周一刚开始时多了还是少了？具体差额是多少？（结余变化 = 最终结余 - 初始结余）
2. （工程）建筑工地规定地平面为 \( 0 \) 米。基坑开挖深度为 \( -6.5 \) 米，随后需要回填一部分土方，使坑底上升到 \( -2.1 \) 米。问回填的土方厚度是多少米？（回填厚度 = 回填前深度 - 回填后深度）
3. （测量）在一次科学考察中，潜水器从海平面下 \( 125 \) 米处，上浮了 \( 68 \) 米，之后又下潜了 \( 30 \) 米。问此时潜水器在海平面下多少米？
4. （股市）某股票上周五收盘价为 \( 20.5 \) 元。本周一收盘价比上周五下跌了 \( 1.2 \) 元，周二又比周一上涨了 \( 0.8 \) 元。求周二相对于上周五的股价变化。（变化 = 周二价 - 上周五价）
5. （时区）北京位于东八区（UTC+8），纽约位于西五区（UTC-5）。当北京是星期一中午12:00时，纽约是什么时间？（时区差计算）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 7 - 3 = 7 + (-3) = 4 \)
2. \( (-5) - 1 = (-5) + (-1) = -6 \)
3. \( 0 - 6 = 0 + (-6) = -6 \)
4. \( 4 - (-2) = 4 + 2 = 6 \)
5. \( (-3) - (-8) = (-3) + 8 = 5 \)
6. \( -2.5 - 1.5 = -2.5 + (-1.5) = -4.0 \)
7. \( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + (-\frac{2}{6}) = \frac{1}{6} \)
8. \( (-\frac{3}{4}) - \frac{1}{2} = (-\frac{3}{4}) + (-\frac{2}{4}) = -\frac{5}{4} \)
9. \( 10 - 15 = 10 + (-15) = -5 \)
10. \( -7 - 0 = -7 + 0 = -7 \)

第二关：中考挑战

1. \( | -5 | - (-3) = 5 + 3 = 8 \)
2. \( -2^2 - 3 \times (-1)^3 = -4 - 3 \times (-1) = -4 + 3 = -1 \)
3. \( a - b - (a + b) = (-1) - 2 - ((-1) + 2) = (-1) + (-2) - (1) = -3 - 1 = -4 \)
4. \( 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 = 1 + (-2) + 3 + (-4) + 5 + (-6) = (1+3+5) + [(-2)+(-4)+(-6)] = 9 + (-12) = -3 \)
5. \( AB = 2 - (-4) = 2 + 4 = 6 \)
6. \( (-\frac{2}{3}) - (-\frac{1}{6}) - \frac{1}{2} = (-\frac{4}{6}) + \frac{1}{6} + (-\frac{3}{6}) = -\frac{6}{6} = -1 \)
7. 最高气温 = 最低气温 + 温差 = \( (-5) + 13 = 8 \, (^\circ C) \)
8. 原式 = \( (-1+2) + (-3+4) + ... + (-99+100) = 1 \times 50 = 50 \)。（共50对）
9. 由 \( xy < 0 \) 知 \( x, y \) 异号。情形1: \( x=5, y=-3 \)，则 \( x-y=5-(-3)=8 \)。情形2: \( x=-5, y=3 \)，则 \( x-y=-5-3=-8 \)。
10. \( (-2) \nabla 3 = (-2) - 3 + |(-2)-3| = (-5) + | -5 | = (-5) + 5 = 0 \)。

第三关：生活应用

1. 结余变化 = \( (200-150-80) - 0 = (-30) - 0 = -30 \)。少了30元。
2. 回填厚度 = \( (-6.5) - (-2.1) = (-6.5) + 2.1 = -4.4 \) (米)。这里“厚度”取绝对值，为4.4米。
3. 最终位置 = \( (-125) + 68 + (-30) = (-125) + 38 = -87 \) (米)。在海平面下87米。
4. 周一价：\( 20.5 + (-1.2) = 19.3 \)元。周二价：\( 19.3 + 0.8 = 20.1 \)元。变化：\( 20.1 - 20.5 = -0.4 \)元。下跌了0.4元。
5. 时区差 = \( (+8) - (-5) = 8 + 5 = 13 \) (小时)。纽约在北京西边，时间更晚。纽约时间 = 12:00 - 13小时 = 前一天23:00。