有序数对与坐标：从门牌号到数学定位的深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：有序数对 原理

• 核心概念：欢迎来到数学世界的小区！这里的每一户都有一个独一无二的“数学门牌号”，叫做有序数对。阿星：它长这样 \( (x, y) \)。就像你去找朋友家，得先知道他在第几栋（横着找），再知道他在第几单元（竖着找）。顺序 \( x \)（横）→ \( y \)（纵）绝对不能错！把 \( (3, 2) \) 当成 \( (2, 3) \)，就像跑去了2栋3单元，肯定会扑个空！
• 计算秘籍：给你一个点，如何写出它的“门牌号”？
  1. 找到“大门”——原点 \( O \) \( (0, 0) \)。
  2. 先横看：从原点出发，向右（或向左）走几步到目标点的正下方/上方？这个数就是 \( x \)。向右走 \( x \) 为正 \( (+) \)，向左走 \( x \) 为负 \( (-) \)。
  3. 后纵看：从你现在的位置，向上（或向下）走几步到达目标点？这个数就是 \( y \)。向上走 \( y \) 为正 \( (+) \)，向下走 \( y \) 为负 \( (-) \)。
  4. 把两个数按 \( (x, y) \) 的顺序用小括号括起来，搞定！
• 阿星口诀：先看横，后看纵，顺序记牢不会懵。小括号，括起来，数学地址真不赖！

📐 图形解析

下面这个“小区平面图”就是平面直角坐标系。横路叫x轴，纵路叫y轴。让我们来找找点 \( A \) 的“门牌号”：

点 \( A \) 的坐标： \( (3, 2) \) （先向右走3格，再向上走2格）

所以，点 \( A \) 的门牌号是 \( (3, 2) \)。记住：先读横坐标 \( x \)，再读纵坐标 \( y \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：把 \( (2, 3) \) 写成 \( (3, 2) \) 或 `2, 3`。
  → ✅ 正解：顺序是灵魂！必须严格按照“先横后纵”的顺序，并用小括号括起来： \( (2, 3) \) 。
• ❌ 错误2：看到点 \( B \) 在第二象限，横坐标为负，写坐标时忘记负号，写成 \( (2, 4) \) 。
  → ✅ 正解：方向要清晰！向左、向下走时，对应的 \( x \) 或 \( y \) 是负数。点 \( B \) 的坐标应是 \( (-2, 4) \) 。
• ❌ 错误3：混淆中括号、大括号和小括号，写成 \( [2,3] \) 或 \( \{2,3\} \) 。
  → ✅ 正解：在平面直角坐标系中，点的坐标有且仅有一种表示法：小括号。 \( (2, 3) \) 是唯一正确的格式。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 你的教室座位是第3排第4列，用有序数对表示为 ______。 (提示：排为x，列为y)
2. 坐标 \( (0, 5) \) 表示的点在 ______ 轴上。
3. 点 \( (-2, 0) \) 在 ______ 轴上。
4. 请写出“数学门牌号” \( (4, -1) \) 表示的含义：先向____走4格，再向____走1格。
5. 在坐标纸上标出点 \( A(0, 3) \)， \( B(-2, -1) \)， \( C(1, 0) \)。
6. 判断：点 \( (3, 4) \) 和点 \( (4, 3) \) 表示同一个位置。（ ）
7. 点 \( P \) 在y轴上，且位于原点上方5个单位，其坐标是 ______。
8. 若点 \( M \) 的横坐标是-3，纵坐标是2，则其坐标是 ______。
9. 观察右图，写出点 \( P \) 的坐标。
   
10. 如果“我家”的坐标是 \( (a, b) \)，那么“我家”关于y轴对称的点的坐标是 ______。

第二关：中考挑战（10道）

1. （基础）已知点 \( P(m+2, 2m-4) \) 在x轴上，则点 \( P \) 的坐标是 ______。
2. （基础）点 \( M \) 到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，且在第一象限，则点 \( M \) 的坐标是 ______。
3. （综合）若点 \( A(1-a, b+2) \) 与点 \( B(3, 4) \) 关于原点对称，求 \( a^b \) 的值。
4. （综合）在平面直角坐标系中，点 \( A(-2, 3) \) 关于x轴对称的点的坐标是 ______，关于y轴对称的点的坐标是 ______。
5. （图形与坐标）一个长方形的两条边长分别为4和6，以它的两条对称轴为坐标轴建立坐标系，其中一个顶点的坐标是 \( (2, -3) \)，写出其他三个顶点的坐标。
6. （规律探究）如图，动点 \( P \) 从原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向不断移动，每次移动1个单位。第1次移到点 \( A_1(0,1) \)，第2次移到点 \( A_2(1,1) \)，第3次移到点 \( A_3(1,0) \)……求点 \( A_{100} \) 的坐标。
7. （阅读理解）定义：在坐标系中，点 \( P(x, y) \) 的“影子点”为 \( P'(y, x) \)。求点 \( A(-3, 2) \) 的“影子点” \( A' \) 的坐标，并判断 \( A \) 和 \( A' \) 的位置关系。
8. （应用）海事救援中心接到一艘渔船求救信号，报告其位置在救援中心东偏北30度方向，距离60海里的地方。若以救援中心为原点，正东为x轴正方向，正北为y轴正方向，1海里为1个单位，请估算渔船的坐标（结果保留根号）。
9. （易错）已知点 \( P(a, b) \) 在第二象限，则点 \( Q(-a, b+1) \) 在第 ______ 象限。
10. （综合）已知线段 \( AB \) 平行于y轴，点 \( A \) 的坐标为 \( (2, -1) \)，且 \( AB = 5 \)，求点 \( B \) 的坐标。

第三关：生活应用（5道）

1. 【棋盘游戏】国际象棋中，“王”的初始位置是 \( e1 \)（相当于坐标 \( (5, 1) \) ），“后”的初始位置是 \( d1 \)（相当于坐标 \( (4, 1) \) ）。如果“马”从 \( g1 \)（ \( (7, 1) \) ）跳到 \( f3 \)（ \( (6, 3) \) ），请描述“马”这次移动在横、纵方向上的变化量（即坐标差）。
2. 【城市导航】在一个简单的城市网格地图中，以市中心广场为原点 \( (0, 0) \)，东西向道路为x轴，南北向道路为y轴。图书馆在 \( (-3, 2) \)，学校在 \( (1, 4) \)。小明从家 \( (0, -1) \) 出发，先去图书馆还书，再去学校上课。请你用有序数对序列描述他的行走路线。
3. 【影院座位】某IMAX影厅的座位布局可近似用坐标系表示，银幕中心为原点，水平向右为x轴正方向（从观众视角），垂直向前为y轴正方向。最佳观影区被定义为满足 \( -2 \le x \le 2 \) 且 \( 4 \le y \le 8 \) 的座位。你的票上写着座位 \( S(1.5, 6) \)，你在最佳观影区吗？
4. 【测绘】测绘员在野外用全站仪测量了三个标志物 \( A, B, C \) 相对于测站 \( O \) 的位置（单位：米）：\( A(50, 80) \)，\( B(-30, 60) \)，\( C(10, -40) \)。请问哪个标志物离测站 \( O \) 最远？（提示：距离公式 \( d = \sqrt{x^2 + y^2} \) ）
5. 【编程思维】在图形编程中，确定一个像素点的位置需要它的坐标 \( (x, y) \)。如果要绘制一条从点 \( (100, 200) \) 到点 \( (400, 200) \) 的水平线段，程序循环中y坐标不变，x坐标应从100依次增加到400。如果要绘制一个边长为100的正方形，且左下角顶点在 \( (50, 50) \)，请写出其他三个顶点的坐标。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( (3, 4) \) 或 \( (4, 3) \) （取决于如何定义排和列，通常约定横为排，纵为列，故答案为 \( (3, 4) \) ）
2. y轴
3. x轴
4. 右，下
5. （略，动手操作）
6. 错误
7. \( (0, 5) \)
8. \( (-3, 2) \)
9. \( P(2, 1) \)
10. \( (-a, b) \)

第二关：中考挑战

1. 在x轴上，则 \( y=0 \)，即 \( 2m-4=0 \)， \( m=2 \)。所以 \( P(4, 0) \) 。
2. 到x轴距离是 \( |y| = 3 \)，到y轴距离是 \( |x| = 5 \)。在第一象限， \( x>0, y>0 \)，所以 \( M(5, 3) \) 。
3. 关于原点对称，横纵坐标均互为相反数。所以 \( 1-a = -3 \)， \( b+2 = -4 \)。解得 \( a=4, b=-6 \)。故 \( a^b = 4^{-6} = \frac{1}{4^6} = \frac{1}{4096} \) 。
4. 关于x轴对称： \( (-2, -3) \) 。关于y轴对称： \( (2, 3) \) 。
5. 分情况讨论。若顶点 \( (2, -3) \) 在第一象限（这里指坐标符号），则长方形在四个象限各一部分，边平行于坐标轴。可能情况：其他顶点为 \( (2, 3) \)， \( (-2, 3) \)， \( (-2, -3) \) 或 \( (2, 3) \)， \( (2, -9) \)， \( (-2, -9) \) 等。需根据“对称轴为坐标轴”和“边长4和6”具体分析。常见解：若中心在原点，则四个顶点为 \( (2, 3) \)， \( (-2, 3) \)， \( (-2, -3) \)， \( (2, -3) \) 。
6. 观察规律：每4次移动为一个循环（上、右、下、右），横坐标增加2，纵坐标回到0。 \( A_4(2,0) \)， \( A_8(4,0) \) … \( A_{4n}(2n, 0) \)。 \( 100 = 4 \times 25 \)，所以 \( A_{100}(50, 0) \) 。
7. \( A' = (2, -3) \)。 \( A \) 和 \( A' \) 关于直线 \( y=x \) 对称。
8. 东偏北30度，即与x轴夹角30度。 \( x = 60 \times \cos 30^\circ = 60 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \)， \( y = 60 \times \sin 30^\circ = 60 \times \frac{1}{2} = 30 \)。坐标为 \( (30\sqrt{3}, 30) \) 。
9. 点 \( P(a, b) \) 在第二象限 ⇒ \( a < 0, b > 0 \)。所以 \( -a > 0 \)， \( b+1 > 1 > 0 \)。故 \( Q(-a, b+1) \) 在第一象限。
10. 平行于y轴 ⇒ 横坐标相等。设 \( B(2, y) \)。由 \( AB=5 \) 得 \( |y - (-1)| = 5 \) ⇒ \( y+1 = \pm 5 \) ⇒ \( y=4 \) 或 \( y=-6 \)。所以 \( B(2, 4) \) 或 \( B(2, -6) \) 。

第三关：生活应用

1. 横坐标变化： \( 6-7 = -1 \) （向左1格）。纵坐标变化： \( 3-1 = 2 \) （向上2格）。
2. 路线序列：家 \( (0, -1) \) → 图书馆 \( (-3, 2) \) → 学校 \( (1, 4) \) 。
3. 检查： \( x=1.5 \) 满足 \( -2 \le 1.5 \le 2 \) ； \( y=6 \) 满足 \( 4 \le 6 \le 8 \) 。所以你在最佳观影区。
4. 计算距离： \( d_A = \sqrt{50^2+80^2} = \sqrt{8900} \approx 94.34 \)； \( d_B = \sqrt{(-30)^2+60^2} = \sqrt{4500} \approx 67.08 \)； \( d_C = \sqrt{10^2+(-40)^2} = \sqrt{1700} \approx 41.23 \)。所以A点离测站最远。
5. 正方形边平行于坐标轴，左下角 \( (50, 50) \)，边长为100。则其他顶点：右下角 \( (150, 50) \) ，右上角 \( (150, 150) \) ，左上角 \( (50, 150) \) 。