有理数定义深度解析：什么是p/q形式？分数与整数统称为有理数专项练习题库

💡 阿星精讲：有理数的定义 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天带大家认识数学世界里一个庞大的家族——“分数家族”，学名叫做有理数。这个家族的户口本（定义）上写着：整数和分数统称为有理数。更精确地说，只要你看到一个数能打扮成 \( \frac{p}{q} \) 的模样（这里的 \( p \) 和 \( q \) 都是整数，并且 \( q \neq 0 \)），那它就是咱们有理数家族的一员！整数呢，比如 \( 5 \)，可以看成是 \( \frac{5}{1} \)；分数就更不用说了，像 \( \frac{3}{4} \)、\( -\frac{7}{2} \) 都是。甚至像 \( 0.333... \)（即 \( \frac{1}{3} \)）这种无限循环的小数，也能化成分数妆，所以也是自家人！
• 计算秘籍：如何判断一个数是不是有理数？关键看它能否“变身”为 \( \frac{p}{q} \) 形式。
  • 整数：直接给分母戴上 \( 1 \)。例如：\( 5 = \frac{5}{1} \)，\( -3 = \frac{-3}{1} \)。
  • 有限小数：利用位值原理。例如：\( 0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \) (记得化简)。
  • 无限循环小数：使用方程法。例如：设 \( x = 0.\dot{3} \)，则 \( 10x = 3.\dot{3} \)，两式相减得 \( 9x = 3 \)，所以 \( x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)。
• 阿星口诀：有理数，家族大，整数分数不分家。只要写成分数样，\( \frac{p}{q} \) 闯天下。（\( q \) 不为零要记牢！）

📐 图形解析

让我们用一张“分数家族”族谱图，来直观理解有理数的构成关系：

从上图可以清晰看到：有理数这个“大家庭”，由“整数”和“分数”两个“小家庭”组成。而它们统一的身份标识就是都能写成 \( \frac{p}{q} (q \neq 0) \) 的形式。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为 \( \frac{p}{q} \) 中，\( p \) 和 \( q \) 可以是任意数。 → ✅ 正解： \( p \) 和 \( q \) 必须是整数，且 \( q \neq 0 \)。像 \( \frac{\sqrt{2}}{3} \) 的分子不是整数，所以这个数本身不是有理数。
• ❌ 错误2：认为只要写成分数形式就是最简形式，忽略了化简。 → ✅ 正解：判断是否为有理数，关注的是“能否写成”该形式，不要求是最简分数。例如 \( \frac{4}{6} \) 虽然可以约分，但它已经符合 \( \frac{p}{q} \) 形式，所以它代表的数 \( \frac{2}{3} \) 是有理数。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断 \( -8 \) 是否是有理数，并说明理由。
2. 将整数 \( 0 \) 写成分数形式（写出两种）。
3. 有限小数 \( 0.625 \) 写成分数形式是（ ）。
4. 判断：分数 \( \frac{22}{7} \) 就是 \( π \)，所以 \( π \) 是有理数。（ ）
5. 把带分数 \( -3\frac{1}{2} \) 化成假分数形式。
6. 判断：分母不为0的分数就是有理数。（ ）
7. 无限循环小数 \( 0.\dot{9} \) (即0.999...) 是有理数吗？如果能，请把它写成分数形式。
8. 在数轴上，与原点距离为 \( \frac{3}{2} \) 个单位长度的点表示的数是什么？它是有理数吗？
9. 请写出一个比 \( \frac{1}{2} \) 大，比 \( \frac{3}{4} \) 小的有理数。
10. 判断：所有的小数都是有理数。（ ）

第二关：中考挑战（10道）

1. 下列各数中，为无理数的是（ ）A. \( 0.\dot{1} \) B. \( \frac{1}{3} \) C. \( \sqrt{4} \) D. \( \sqrt{2} \)
2. 把循环小数 \( 0.4\dot{2} \) 化成分数。
3. 若 \( a, b \) 均为整数，且满足 \( \frac{a}{b} = 0.8 \)，则 \( a \) 与 \( b \) 的最小值分别是多少？
4. 已知 \( \frac{m}{n} \) 是最简真分数（\( m, n \) 为正整数），且它化成小数后是循环节为两位的纯循环小数。请写出一个满足条件的分数。
5. 在数轴上，点 \( A \) 表示 \( -\frac{5}{2} \)，点 \( B \) 与点 \( A \) 关于原点对称，则点 \( B \) 表示的有理数是 ______。
6. 若 \( x \) 是最小的正整数，\( y \) 是最大的负整数，则 \( \frac{x}{y} = \) ______。
7. 比较大小：\( -\frac{8}{9} \) ______ \( -\frac{9}{10} \) (填 >, < 或 =)。
8. 若一个有理数的平方等于它本身，则这个有理数是 ______。
9. 如图，数轴上 \( A, B \) 两点表示的数分别为 \( a, b \)，则 \( \frac{a+b}{2} \) 是正数、负数还是0？
10. 写出所有绝对值小于 \( 3 \) 的整数，并计算它们的和。

第三关：生活应用（5道）

1. 【烹饪】一份蛋糕食谱需要 \( \frac{3}{4} \) 杯面粉。如果你想做 \( 2\frac{1}{2} \) 份，需要多少杯面粉？（结果用分数表示）
2. 【建筑】一块地砖的长度是 \( 0.6 \) 米。用这样的地砖铺设一条 \( 9.6 \) 米长的走廊，需要多少块砖？（先列式，判断结果是否为有理数）
3. 【金融】年利率为 \( 5\% \) (即 \( 0.05 \))，存入本金 \( 1000 \) 元，一年后本息和为 \( 1000 \times (1+0.05) = 1050 \) 元。这里的利率和本息和是有理数吗？
4. 【测量】用一根绳子测量井深，折成三折来量，井外余 \( \frac{1}{3} \) 米；折成四折来量，井外余 \( \frac{1}{4} \) 米。井深是多少米？（提示：设井深为 \( x \) 米，列方程求解）
5. 【体育】一场篮球赛中，甲队上半场得分是下半场的 \( \frac{2}{3} \)，全场得了 \( 100 \) 分。请问甲队下半场得了多少分？（设未知数，列方程求解）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 是。 因为 \( -8 = \frac{-8}{1} \)，符合有理数定义。
2. \( \frac{0}{1}, \frac{0}{2} \) (或任何 \( \frac{0}{n}, n \neq 0 \))。
3. \( 0.625 = \frac{625}{1000} = \frac{5}{8} \)。
4. 错。 \( \frac{22}{7} \) 只是 \( π \) 的一个近似值，\( π \) 是无限不循环小数，不能精确化为 \( \frac{整数}{整数} \) 形式。
5. \( -3\frac{1}{2} = -\frac{3 \times 2 + 1}{2} = -\frac{7}{2} \)。
6. 对。 分数定义中分母为非零整数，分子为整数，符合有理数定义。
7. 是。 设 \( x = 0.\dot{9} \)，则 \( 10x = 9.\dot{9} \)，相减得 \( 9x = 9 \)，所以 \( x = \frac{9}{9} = 1 \)。这是一个有趣的结论：\( 0.\dot{9} = 1 \)。
8. \( \frac{3}{2} \) 或 \( -\frac{3}{2} \)。它们都是有理数。
9. 例如 \( \frac{5}{8} = 0.625 \)。（答案不唯一，介于 \( 0.5 \) 和 \( 0.75 \) 之间的分数或有限小数均可）
10. 错。 无限不循环小数（如 \( π \)）不是有理数。

第二关：中考挑战

1. D。 \( \sqrt{4}=2 \) 是有理数，\( \sqrt{2} \) 是无理数。
2. 设 \( x = 0.4\dot{2} \)，则 \( 10x = 4.\dot{2} \)，\( 100x = 42.\dot{2} \)。相减：\( 100x - 10x = 42.\dot{2} - 4.\dot{2} \)，得 \( 90x = 38 \)，所以 \( x = \frac{38}{90} = \frac{19}{45} \)。
3. \( 0.8 = \frac{4}{5} \)，所以 \( a=4, b=5 \)。
4. 例如 \( \frac{1}{11} = 0.\dot{0}\dot{9} \)。（答案不唯一，分母是 \( 99, 999... \) 的因数且不是 \( 2, 5 \) 的倍数的分数即可）
5. \( \frac{5}{2} \)。关于原点对称，符号相反。
6. 最小的正整数 \( x=1 \)，最大的负整数 \( y=-1 \)，所以 \( \frac{x}{y} = -1 \)。
7. \( > \)。因为 \( \frac{8}{9} \approx 0.888... \)，\( \frac{9}{10} = 0.9 \)，所以 \( -\frac{8}{9} > -\frac{9}{10} \)。
8. \( 0 \) 或 \( 1 \)。因为 \( 0^2=0 \)，\( 1^2=1 \)。
9. 由数轴知 \( a < 0, b > 0 \)，且 \( |a| < |b| \)，故 \( a+b > 0 \)，所以 \( \frac{a+b}{2} > 0 \)，是正数。
10. 绝对值小于 \( 3 \) 的整数有：\( -2, -1, 0, 1, 2 \)。它们的和为 \( 0 \)。

第三关：生活应用

1. 需要面粉：\( \frac{3}{4} \times 2\frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8} \) (杯)。
2. 需要砖数：\( 9.6 \div 0.6 = 16 \) (块)。算式 \( \frac{9.6}{0.6} = \frac{96}{6} = 16 \)，结果是整数，是有理数。
3. 利率 \( 5\% = \frac{5}{100} = \frac{1}{20} \)，是有理数。本息和 \( 1050 = \frac{1050}{1} \)，是有理数。
4. 设井深 \( x \) 米。绳长不变：\( 3(x + \frac{1}{3}) = 4(x + \frac{1}{4}) \)。解得 \( 3x + 1 = 4x + 1 \)，进而得 \( x = 0 \)。（思考：这符合实际情况吗？提示：可能是题目数据特殊，但求解过程体现了有理数运算。）
5. 设下半场得 \( x \) 分，则上半场得 \( \frac{2}{3}x \) 分。列方程：\( x + \frac{2}{3}x = 100 \)，即 \( \frac{5}{3}x = 100 \)，解得 \( x = 60 \)。答：下半场得 \( 60 \) 分。