阿星老师揭秘：一招搞定有理数乘除符号难题，轻松提分！专项练习题库

💡 阿星精讲：有理数乘除 原理

• 核心概念：欢迎来到“有理数情绪管理课”！我是你的助教阿星。想象一下，每个有理数都像一个人，带着“正能量”（正号）或“负能量”（负号）。当两个人（数）合作（相乘或相除）时，他们的“能量”会互相影响。阿星的法则很简单：志同道合（同号）就碰撞出正能量（+），意见相左（异号）就产生负能量（-）。 所以，在计算 \( \frac{3}{4} \) 或 \( (-5) \times 0.8 \) 时，我们第一件事不是急着算数字，而是像侦探一样，先看透他们的“内心”——判断符号！记住阿星的口头禅：“先定号，后算值，符号错了全白忙！”
• 计算秘籍：
  1. 定号：运用“同号得正，异号得负”法则确定结果的符号。例如，\( (-a) \times (-b) \)，两个“负能量”伙伴合作，结果是正能量 \( + \)；\( (-a) \div b \) 则是“异号”，结果为负。
  2. 算值：暂时忘掉符号，把数字部分当作正数进行计算（乘法直接乘，除法变乘倒数）。即：\( |a| \times |b| \) 或 \( |a| \div |b| = |a| \times \frac{1}{|b|} \)。
  3. 合体：将第一步确定的符号，戴在第二步算出的数值结果上。例如，\( (-2.5) \times 4 \)：
     • ① 定号：异号 → 负号 \( - \) 。
     • ② 算值：\( 2.5 \times 4 = 10 \)。
     • ③ 合体：结果为 \( -10 \)。写成算式：\( (-2.5) \times 4 = -(2.5 \times 4) = -10 \)。
• 阿星口诀：
  

  有理数，乘或除，符号法则先记住。
  同号战友手拉手，结果为正不用愁；
  异号对手一碰头，结果为负记心头。
  定号之后再算数，步步为营稳如树！

📐 图形解析

让我们用图形来“看见”符号的变化。下面两个模型帮助你理解。

模型1：温度变化（数轴上的连续乘法）
规定：温度上升为正（向右箭头），下降为负（向左箭头）。速度的快慢由绝对值决定。连续变化就是连乘。

例：以0点为起点，先以每秒下降2度的速度（-2）变化3秒（×3），再以每秒上升1.5度的速度（+1.5）变化2秒（×2）。总变化是：\( (-2) \times 3 \times 1.5 \times 2 \) 。

总变化：-18

从图形看，第一次变化（-2×3）方向向左，到达-6。第二次变化（×3，因为1.5×2=3）但此时起点在-6，乘以一个正数3，方向不变（仍是向左），长度（绝对值）变为18，最终到达-18。图形直观展示了“负×正=负”以及绝对值相乘的过程。

模型2：面积与边长（除法）
我们可以把一个乘积（面积）分解为长和宽。除法就是已知面积和一边求另一边。

已知一个矩形的面积 \( S = -12 \)，宽 \( w = 3 \)。求长 \( l = S \div w \)。面积为什么是负的？可以理解为“欠”的面积或者反向的面积。

面积 S = -12 负面积可以理解为： 当长与宽的方向一正一负时产生。 所以 l = (-12) ÷ 3 = -4

公式：\( l = S \div w = (-12) \div 3 \)。
① 定号：面积(-12)为负，宽(3)为正，异号 → 结果长为负。
② 算值：\( 12 \div 3 = 4 \)。
③ 合体：长为 \( -4 \)。
这解释了 \( (-12) \div 3 = -4 \)，也验证了 \( (-4) \times 3 = -12 \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：符号定错，顺序颠倒。 计算 \( -8 \div (-2) \times 4 \)，先算 \( (-8) \div (-2) = +4 \)，然后 \( +4 \times 4 = 16 \]。看到两个负号就觉得最后结果一定是正。
• ✅ 正解： 乘除是同级运算，必须从左到右依次计算。对于多个数连乘除，符号法则要逐步应用。正确步骤：① \( -8 \div (-2) \) 同号得正，得 \( 4 \)；② \( 4 \times 4 = 16 \)。口诀：“多个乘除排排坐，从左到右别跳步，符号跟着每步走。”
• ❌ 错误2：看见分数就晕，符号乱放。 计算 \( -\frac{3}{5} \div \frac{6}{-10} \)，直接把分子分母的符号随意约掉，得出错误结果。
• ✅ 正解： 分数本身就是除法，符号可以在分子、分母或分数线前。最稳妥的方法是：先统一转化为乘法（除以一个数等于乘它的倒数），再定号计算。 \( -\frac{3}{5} \div \frac{6}{-10} = -\frac{3}{5} \times \frac{-10}{6} \)。此时，两个负号（一个在第一个分数前，一个在第二个分数的分子）相乘，同号得正。然后计算 \( \frac{3}{5} \times \frac{10}{6} = \frac{30}{30} = 1 \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. \( 5 \times (-7) = ? \)
2. \( (-36) \div 9 = ? \)
3. \( (-\frac{2}{3}) \times (-\frac{9}{4}) = ? \)
4. \( 0 \div (-100) = ? \) （提示：0除以任何非零数得几？）
5. \( (-1.2) \times 5 \div (-6) = ? \)
6. \( (-\frac{7}{8}) \div (-\frac{1}{4}) = ? \)
7. 一个数的 \( \frac{2}{5} \) 是 \( -10 \)，这个数是多少？
8. 海拔每升高100米，气温下降 \( 0.6^\circ C \)。山脚气温 \( 20^\circ C \)，从山脚到山顶海拔上升了 \( 1500 \) 米，求山顶气温。
9. 计算：\( (-1) \times 2 \times (-3) \times 4 \times (-5) \) 的符号是正还是负？
10. \( (-3)^2 \div (-1.5) = ? \) （注意运算顺序）

第二关：中考挑战（10道）

1. 计算：\( | -5 | \times (-\frac{1}{2}) - 12 \div (-3) \) 。
2. 已知 \( a = -2, b = 3, c = -1 \)，求 \( \frac{ab - c}{b} \) 的值。
3. 计算：\( (-\frac{3}{4}) \times (-\frac{2}{3})^2 \div (-\frac{1}{2}) \)。
4. 某公司去年平均每月亏损 \( 1.5 \) 万元，记作 \( -1.5 \) 万元。今年计划平均每月盈利 \( 2.1 \) 万元，记作 \( +2.1 \) 万元。那么今年预计全年总收益与去年全年总亏损相比，多多少万元？
5. 计算：\( -1^4 + (-2)^3 \times (-\frac{1}{8}) - | (-3) \div \frac{1}{3} | \) 。
6. 若 \( |x| = 3, |y| = 2 \)，且 \( xy < 0 \)，求 \( x \div y \) 的值。
7. 定义一种新运算：\( a \otimes b = -ab \div (a - b) \)。求 \( (-2) \otimes 3 \) 的值。
8. 计算：\( \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ... + \frac{1}{2023 \times 2024} \) 。（提示：\( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \)）
9. 在数轴上，点A表示数 \( a \)，点B表示数 \( b \)，且 \( a, b \) 满足 \( |a+2| + (b-6)^2 = 0 \)。动点P从A出发，以每秒1个单位速度向负方向运动；动点Q从B出发，以每秒2个单位速度向正方向运动。P、Q同时出发，设运动时间为t秒（t>0）。求t秒后，点P和点Q表示的数（用含t的式子表示），并计算此时PQ中点在数轴上表示的数。
10. 观察规律：\( 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, ... \) 判断 \( 2^{2023} \) 的个位数字是几？（此题虽非直接乘除，但锻炼符号和周期思维）

第三关：生活应用（5道）

1. 股票涨跌： 小星持有某股票1000股。周一该股票上涨 \( +3\% \)（即乘 \( 1+0.03 \)），周二下跌 \( -2\% \)（即乘 \( 1-0.02 \)）。问周二收盘后，他的股票总市值是周一开盘前的百分之几？（提示：设开盘前股价为 \( a \) 元）
2. 水库水位： 某水库正常水位为 \( 0 \) 米。雨季时，水位每天上涨 \( +0.15 \) 米，连续上涨5天后，进入泄洪期，水位每天下降 \( -0.2 \) 米。泄洪3天后，水位是多少米？
3. 工程进度： 一项工程，甲队单独做 \( 20 \) 天完成（每天完成 \( \frac{1}{20} \)），乙队单独做 \( 30 \) 天完成（每天完成 \( \frac{1}{30} \)）。若两队合作5天后，甲队离开，剩下的由乙队单独做，还需要几天完成？（提示：总工作量看作“1”）
4. 利润计算： 一件商品进价 \( -100 \) 元（支出为负），售价 \( +150 \) 元（收入为正）。卖出10件，但其中2件因损坏退款 \( -150 \) 元/件。求总利润。
5. 速度与风向： 飞机在静风中的速度为 \( 800 \) 千米/时。若飞行时遇到逆风，风速为 \( -50 \) 千米/时（与飞行方向相反），则地速（对地速度）为 \( 800 + (-50) = 750 \) 千米/时。现该飞机向东飞行 \( 3 \) 小时遇到持续逆风，再向北飞行 \( 2 \) 小时遇到持续顺风（风速为 \( +30 \) 千米/时）。求这两个阶段的总飞行路程。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( -35 \) （异号得负）
2. \( -4 \) （异号得负）
3. \( \frac{3}{2} \) 或 \( 1.5 \) （同号得正，\( \frac{2}{3} \times \frac{9}{4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \)）
4. \( 0 \) （0除以任何非零数等于0）
5. \( 1 \) （先算 \( (-1.2) \times 5 = -6 \)，再算 \( (-6) \div (-6) = 1 \)）
6. \( \frac{7}{2} \) 或 \( 3.5 \) （同号得正，\( \frac{7}{8} \div \frac{1}{4} = \frac{7}{8} \times 4 = \frac{7}{2} \)）
7. \( -25 \) （设这个数为 \( x \)，则 \( \frac{2}{5}x = -10 \)，所以 \( x = -10 \div \frac{2}{5} = -10 \times \frac{5}{2} = -25 \)）
8. \( 11^\circ C \) （总下降 \( 1500 \div 100 \times 0.6 = 15 \times 0.6 = 9^\circ C \)，山顶气温 \( 20 - 9 = 11^\circ C \)）
9. 负 （有 \( (-1), (-3), (-5) \) 三个负因数，奇数个负号）
10. \( -6 \) （先算 \( (-3)^2 = 9 \)，再算 \( 9 \div (-1.5) = -6 \)）

第二关：中考挑战

1. \( -1 \) （\( 5 \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{5}{2} \)， \( 12 \div (-3) = -4 \)，原式= \( -\frac{5}{2} - (-4) = -\frac{5}{2} + 4 = \frac{3}{2} \)）
2. \( -\frac{5}{3} \) （\( ab - c = (-2)\times3 - (-1) = -6 + 1 = -5 \)， \( -5 \div 3 = -\frac{5}{3} \)）
3. \( -1 \) （\( (-\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} \)， \( (-\frac{3}{4}) \times \frac{4}{9} = -\frac{1}{3} \)， \( -\frac{1}{3} \div (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{3} \times (-2) = \frac{2}{3} \)）
4. \( 43.2 \) 万元 （去年总亏：\( (-1.5) \times 12 = -18 \) 万；今年总盈：\( 2.1 \times 12 = 25.2 \) 万；差额：\( 25.2 - (-18) = 43.2 \) 万）
5. \( -12 \) （\( -1^4 = -(1^4) = -1 \)， \( (-2)^3 = -8 \)， \( -8 \times (-\frac{1}{8}) = 1 \)， \( | (-3) \div \frac{1}{3} | = | -9 | = 9 \)，原式= \( -1 + 1 - 9 = -9 \)）
6. \( -\frac{3}{2} \) 或 \( -1.5 \) （由 \( xy<0 \) 知 \( x, y \) 异号。若 \( x=3, y=-2 \)，则 \( x \div y = -\frac{3}{2} \)；若 \( x=-3, y=2 \)，则 \( x \div y = -\frac{3}{2} \)）
7. \( -\frac{6}{5} \) 或 \( -1.2 \) （\( (-2) \otimes 3 = -(-2)\times3 \div ((-2)-3) = -(-6) \div (-5) = 6 \div (-5) = -\frac{6}{5} \)）
8. \( \frac{2023}{2024} \) （原式 = \( (1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024}) = 1 - \frac{1}{2024} = \frac{2023}{2024} \)）
9. P点：\( -2 - t \)， Q点：\( 6 + 2t \)， 中点：\( 2 + \frac{t}{2} \)。（由非负数和为0得 \( a=-2, b=6 \)。P向左运动：\( -2 - t \)；Q向右运动：\( 6 + 2t \)；中点 = \( \frac{(-2-t)+(6+2t)}{2} = \frac{4 + t}{2} = 2 + \frac{t}{2} \)）
10. \( 8 \) （个位数字周期为 2, 4, 8, 6。 \( 2023 \div 4 = 505 \cdots 3 \)，余3对应周期第三位 8。）

第三关：生活应用

1. \( 100.94\% \) （设原股价为 \( a \)。周一收盘：\( a \times 1.03 \)；周二收盘：\( a \times 1.03 \times 0.98 = a \times 1.0094 \)。是原来的 \( 1.0094 \) 倍，即 \( 100.94\% \)。）
2. \( -0.15 \) 米 （上涨总量：\( 0.15 \times 5 = 0.75 \) 米；下降总量：\( (-0.2) \times 3 = -0.6 \) 米；总变化：\( 0.75 + (-0.6) = 0.15 \) 米；水位：\( 0 + 0.15 = 0.15 \) 米）
3. \( 17.5 \) 天 （合作5天完成：\( (\frac{1}{20}+\frac{1}{30}) \times 5 = \frac{1}{12} \times 5 = \frac{5}{12} \)；剩余：\( 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12} \)；乙单独做需：\( \frac{7}{12} \div \frac{1}{30} = \frac{7}{12} \times 30 = 17.5 \) 天）
4. \( 200 \) 元 （总收入：\( 150 \times 10 + (-150) \times 2 = 1500 - 300 = 1200 \) 元；总支出：\( (-100) \times 10 = -1000 \) 元；总利润：\( 1200 + (-1000) = 200 \) 元。或直接算：每件正常利润 \( 50 \) 元，8件赚 \( 400 \) 元，2件赔 \( 200 \) 元，总利润 \( 200 \) 元。）
5. \( 3150 \) 千米 （第一阶段路程：\( 750 \times 3 = 2250 \) 千米；第二阶段地速：\( 800 + 30 = 830 \) 千米/时，路程：\( 830 \times 2 = 1660 \) 千米；总路程：\( 2250 + 1660 = 3910 \) 千米）