知识要点

💡 核心概念

因数：如果整数 a 能被整数 b 整除（没有余数），那么 b 是 a 的因数。例如，\( 12 \div 3 = 4 \)，所以 3 是 12 的因数。

倍数：如果整数 a 能被整数 b 整除，那么 a 是 b 的倍数。例如，\( 12 \div 3 = 4 \)，所以 12 是 3 的倍数。

质数：一个大于 1 的自然数，只有 1 和它本身两个因数。例如，2, 3, 5, 7。

合数：一个大于 1 的自然数，除了 1 和它本身，还有其他因数。例如，4, 6, 8, 9。

注意：1 既不是质数也不是合数。

📝 计算法则

1. 找一个数的因数：从 1 开始，逐个尝试整除，直到数的平方根。成对记录因数。例如，找 18 的因数：\( 18 \div 1 = 18 \)（1 和 18），\( 18 \div 2 = 9 \)（2 和 9），\( 18 \div 3 = 6 \)（3 和 6），所以因数是 1, 2, 3, 6, 9, 18。

2. 找一个数的倍数：用这个数乘以自然数 1, 2, 3, ...。例如，3 的倍数：\( 3 \times 1 = 3 \), \( 3 \times 2 = 6 \), \( 3 \times 3 = 9 \), ...

3. 判断质数或合数：检查是否有除了 1 和本身以外的因数。如果没有，是质数；否则是合数。可以检查到平方根附近的质数。

🎯 记忆口诀

因数倍数不分家，整除关系是关键。
质数只有俩因数，1 和本身别忘记。
合数因数多又杂，至少三个要记牢。
1 是特殊数，非质非合要小心。

🔗 知识关联

与乘法口诀表相关：因数和倍数基于乘法运算。
与整除概念相关：从除法中引入因数和倍数。
与奇数和偶数相关：质数中只有 2 是偶数，其他都是奇数。

易错点警示

❌ 错误1：认为 1 是质数。 → ✅ 正解：1 既不是质数也不是合数，因为它只有一个因数。

❌ 错误2：找因数时漏掉一些。例如，找 24 的因数，只找到 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12，漏掉 24。 → ✅ 正解：从 1 开始成对找，包括数本身。

❌ 错误3：混淆因数和倍数。例如，说“6 是倍数”或“3 是因数”，没有指明相对数。 → ✅ 正解：必须说清楚谁是谁的因数或倍数，如 3 是 6 的因数，6 是 3 的倍数。

三例题精讲

🔥 例题1：找出 36 的所有因数。

📌 第一步：从 1 开始尝试整除。\( 36 \div 1 = 36 \)，所以 1 和 36 是因数。

📌 第二步：尝试 2。\( 36 \div 2 = 18 \)，所以 2 和 18 是因数。

📌 第三步：尝试 3。\( 36 \div 3 = 12 \)，所以 3 和 12 是因数。

📌 第四步：尝试 4。\( 36 \div 4 = 9 \)，所以 4 和 9 是因数。

📌 第五步：尝试 5。\( 36 \div 5 = 7.2 \)，不是整数，所以 5 不是因数。

📌 第六步：尝试 6。\( 36 \div 6 = 6 \)，所以 6 是因数，停止。

✅ 答案：36 的因数有 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36。

💬 总结：找因数时，成对记录，直到重复。

🔥 例题2：判断 91 是质数还是合数。

📌 第一步：检查能否被 2 整除。91 是奇数，不能。

📌 第二步：检查能否被 3 整除。9+1=10，10 不能被 3 整除，所以不能。

📌 第三步：检查能否被 5 整除。个位不是 0 或 5，不能。

📌 第四步：检查能否被 7 整除。\( 91 \div 7 = 13 \)，整除，所以有因数 7。

📌 第五步：因此，91 有除了 1 和本身外的因数，是合数。

✅ 答案：91 是合数。

💬 总结：判断质数时，检查到平方根附近的质数即可。

🔥 例题3：一个数是 12 的倍数，又是 18 的倍数，这个数最小是多少？

📌 第一步：列出 12 的倍数：12, 24, 36, 48, ...；18 的倍数：18, 36, 54, ...

📌 第二步：找出公倍数。最小公倍数是 36。

📌 第三步：验证 \( 36 \div 12 = 3 \)，\( 36 \div 18 = 2 \)，都整除。

✅ 答案：这个数最小是 36。

💬 总结：求最小公倍数，可列出倍数找最小共同，或用短除法。

练习题（10道）

1. 找出 48 的所有因数。
2. 写出 5 个 7 的倍数。
3. 判断下列数是质数还是合数：17, 21, 29, 36。
4. 一个班级有 24 名学生，老师想把他们分成小组，每组人数相同，且至少 2 人。有多少种分法？
5. 小明的年龄是质数，他爸爸的年龄是小明年龄的倍数，且也是质数。小明可能多少岁？
6. 一个数既是 6 的因数，又是 18 的因数，这个数可能是多少？
7. 用质数填空：\( 20 = \_ + \_ \)，两个质数之和。
8. 找出 100 以内所有的质数。
9. 一个三位数，是 3 的倍数，且个位是 5，这个数最小是多少？
10. 两个质数的和是 30，它们的积最大是多少？

奥数挑战（10道）

1. 一个自然数，它最小的两个因数的和是 4，最大的两个因数的和是 100。这个数是多少？
2. 已知 m 和 n 都是质数，且 \( m + n = 99 \)，求 \( m \times n \) 的值。
3. 一个数是 72 的因数，又是 8 的倍数，这个数可能是多少？
4. 三个连续自然数的乘积是 504，求这三个数。
5. 用 1, 2, 3, 4 四个数字组成没有重复数字的四位数，其中是 11 的倍数的有多少个？
6. 一个质数的 3 倍与另一个质数的 2 倍之和是 100，求这两个质数。
7. 求 1 到 100 中，所有合数的个数。
8. 一个数的因数个数是 15，这个数最小是多少？
9. 已知一个自然数，它既是 7 的倍数，又是 13 的倍数，且小于 200，求这个数。
10. 两个自然数的最大公因数是 12，最小公倍数是 180，求这两个数。

生活应用（5道）

1. 高铁列车每节车厢有 80 个座位，总座位数是 16 的倍数。这列高铁至少有多少节车厢？
2. 航天器上的零件编号是质数，从 2 开始连续质数编号。如果第 10 个零件编号是多少？
3. AI 算法处理数据，每批处理 36 个数据点，要保证每批数据量是 4 和 9 的倍数。实际每批处理多少个数据点？
4. 环保活动中，志愿者分成小组捡垃圾，每组人数相同，总人数在 50 到 60 之间，且是 6 和 9 的公倍数。有多少名志愿者？
5. 网购平台促销，商品价格是合数，且是 3 的倍数，价格在 100 元以内。这样的价格有多少种可能？