知识要点
💡 核心概念：盈亏问题就像分东西给小朋友，如果每人分得一样多，有时会多出来（盈），有时会不够（亏）。一盈一亏是指一种分法多了，另一种分法少了。例如，分糖果，每人分5颗多3颗（盈），每人分7颗少4颗（亏）。我们需要求出小朋友的人数和糖果的总数。
📝 计算法则：对于一盈一亏问题，设盈数为 \( m \)（多出的数量），亏数为 \( n \)（不足的数量），两次分配中每人分得的数量差为 \( b - a \)（假设第二次每人分得更多）。计算步骤如下：
- 计算人数：人数 = \( \frac{m + n}{b - a} \)
- 计算物品总数：总数 = \( a \times \text{人数} + m \) 或 \( b \times \text{人数} - n \)
注意：a 和 b 是每人分得的数量，且 \( b > a \)，导致亏。
🎯 记忆口诀：一盈一亏，相加就好；除以差量，人数找到；乘加或乘减，总数不少。
🔗 知识关联：盈亏问题与之前学过的除法、乘法、倍数关系、简单方程有关。它本质上是利用两次分配的差异来求未知数，类似于解方程中的等量关系。
易错点警示
❌ 错误1：计算人数时，将盈和亏相减而不是相加。
→ ✅ 正解：一盈一亏时，人数 = \( \frac{\text{盈数} + \text{亏数}}{\text{分配差}} \)，例如盈3、亏4，分配差2，则人数 = \( \frac{3 + 4}{2} = 3.5 \)（但人数应为整数，需检查题目合理性）。
❌ 错误2：计算物品总数时，用错了公式，例如在盈的情况下用了减法。
→ ✅ 正解：根据分配方式选择公式：如果第一次分配盈，总数 = \( a \times \text{人数} + m \)；如果第二次分配亏，总数 = \( b \times \text{人数} - n \)。两者结果应相同。
❌ 错误3：忽略单位或题意，例如将人数算成小数而不检查实际情况。
→ ✅ 正解：人数必须是正整数，如果计算出现小数，应回顾题目数据是否正确。在应用题中，人数通常是整数。
三例题精讲
🔥 例题1：老师给小朋友们分铅笔。如果每人分3支，多出10支；如果每人分5支，少了2支。请问有多少个小朋友？多少支铅笔？
📌 第一步：识别盈和亏。每人分3支多10支（盈 \( m = 10 \)），每人分5支少2支（亏 \( n = 2 \)）。分配差 \( b - a = 5 - 3 = 2 \)。
📌 第二步：计算人数。人数 = \( \frac{m + n}{b - a} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)。所以有6个小朋友。
📌 第三步：计算铅笔总数。用第一次分配：总数 = \( 3 \times 6 + 10 = 18 + 10 = 28 \)；或用第二次：总数 = \( 5 \times 6 - 2 = 30 - 2 = 28 \)。验证一致。
✅ 答案：6个小朋友，28支铅笔。
💬 总结：先找盈亏损，再算分配差，公式代入求人数，最后算总数。
🔥 例题2：学校分配宿舍，如果每间住8人，多出4人；如果每间住10人，少了6人。问宿舍有几间？学生有多少人？
📌 第一步：盈 \( m = 4 \)（多4人），亏 \( n = 6 \)（少6人）。分配差 \( b - a = 10 - 8 = 2 \)。
📌 第二步：宿舍间数 = \( \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)。
📌 第三步：学生人数 = \( 8 \times 5 + 4 = 40 + 4 = 44 \) 或 \( 10 \times 5 - 6 = 50 - 6 = 44 \)。
✅ 答案：5间宿舍，44名学生。
💬 总结：盈亏问题中，单位可以是“间”、“人”等，关键是识别两次分配中的盈亏损。
🔥 例题3：一箱苹果分给若干人。如果每人分4个，还剩15个；如果每人分6个，还差9个。问人数和苹果数。
📌 第一步：盈 \( m = 15 \)，亏 \( n = 9 \)。分配差 \( 6 - 4 = 2 \)。
📌 第二步：人数 = \( \frac{15 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)。
📌 第三步：苹果数 = \( 4 \times 12 + 15 = 48 + 15 = 63 \) 或 \( 6 \times 12 - 9 = 72 - 9 = 63 \)。
✅ 答案：12人，63个苹果。
💬 总结：注意“还剩”是盈，“还差”是亏，直接套用公式即可。
练习题（10道）
- 小朋友分糖果，每人5颗多8颗，每人7颗少4颗。求人数和糖果数。
- 老师发练习本，每人3本多12本，每人5本少2本。有多少学生？多少练习本？
- 植树小组种树，每人种4棵多10棵，每人种6棵少8棵。小组人数和树苗总数。
- 分配房间，每间住5人多3人，每间住7人少5人。房间数和人数。
- 分气球，每人分2个多15个，每人分4个少9个。人数和气球数。
- 学校买来一批书，每班分8本多6本，每班分10本少4本。班级数和书本数。
- 工人搬砖，每人搬10块多20块，每人搬12块少6块。工人数和砖块数。
- 分矿泉水，每人2瓶多18瓶，每人3瓶少7瓶。人数和矿泉水瓶数。
- 夏令营分组，每组6人多4人，每组8人少2人。组数和总人数。
- 分玩具，每人4个多12个，每人6个少8个。小朋友人数和玩具总数。
奥数挑战（10道）
- 一盈一亏问题中，如果盈数是亏数的2倍，分配差为3，人数为10，求盈数和亏数。
- 分一些球，每人5个多12个，如果人数增加3人，每人分4个则少6个。求原人数和球数。
- 小明买笔，如果买8支多6元，买10支少4元。求笔的单价和小明的钱数。
- 一堆桃子分给猴子。每只猴分7个多16个，每只猴分9个少8个。如果每只猴分8个，结果如何？
- 学生搬砖，其中2人各搬4块，其余每人搬5块，还剩12块；如果每人搬6块，正好搬完。求学生数和砖数。
- 旅行团住宿，如果每间住4人，多20人；如果每间住6人，有一间只住2人。求房间数和人数。
- 分一批书，如果每人分9本，少15本；如果每人分7本，多9本。如果希望每人分8本，需要增加几本书？
- 小朋友分饼干，每人分6块多10块，如果每人分8块，有2个小朋友分不到。求人数和饼干数。
- 学校给三好学生发奖品，如果每人发5件多12件，如果每人发8件少3件。如果每人发6件，结果如何？
- 一箱橘子分给若干人。如果其中3人每人分4个，其余每人分3个，多9个；如果每人分5个，少2个。求人数和橘子数。
生活应用（5道）
- 高铁车厢分配座位：如果每节车厢坐80人，多出30人；如果每节车厢坐100人，少了20个座位。求车厢节数和乘客总数。
- 航天小组分配任务：每人制作4个模型，多出15个材料；每人制作6个模型，缺少9个材料。求小组人数和模型材料总数。
- AI训练数据分配：如果每个服务器处理8TB数据，多出5TB；如果每个服务器处理10TB数据，缺少3TB。求服务器数和数据总量。
- 环保回收塑料瓶：如果每人收集10个瓶子，多出25个；如果每人收集12个瓶子，少了7个。求志愿者人数和瓶子总数。
- 网购包装盒分配：如果每个订单用2个盒子，多出18个盒子；如果每个订单用3个盒子，少了6个盒子。求订单数和盒子总数。
参考答案与解析
【练习题答案】
人数 = \( \frac{8+4}{7-5} = \frac{12}{2} = 6 \)，糖果数 = \( 5 \times 6 + 8 = 38 \) 或 \( 7 \times 6 - 4 = 38 \)。答案：6人，38颗。
人数 = \( \frac{12+2}{5-3} = \frac{14}{2} = 7 \)，本数 = \( 3 \times 7 + 12 = 33 \) 或 \( 5 \times 7 - 2 = 33 \)。答案：7人，33本。
人数 = \( \frac{10+8}{6-4} = \frac{18}{2} = 9 \)，树苗 = \( 4 \times 9 + 10 = 46 \) 或 \( 6 \times 9 - 8 = 46 \)。答案：9人，46棵。
房间数 = \( \frac{3+5}{7-5} = \frac{8}{2} = 4 \)，人数 = \( 5 \times 4 + 3 = 23 \) 或 \( 7 \times 4 - 5 = 23 \)。答案：4间，23人。
人数 = \( \frac{15+9}{4-2} = \frac{24}{2} = 12 \)，气球数 = \( 2 \times 12 + 15 = 39 \) 或 \( 4 \times 12 - 9 = 39 \)。答案：12人，39个。
班级数 = \( \frac{6+4}{10-8} = \frac{10}{2} = 5 \)，书本数 = \( 8 \times 5 + 6 = 46 \) 或 \( 10 \times 5 - 4 = 46 \)。答案：5个班，46本。
工人数 = \( \frac{20+6}{12-10} = \frac{26}{2} = 13 \)，砖块数 = \( 10 \times 13 + 20 = 150 \) 或 \( 12 \times 13 - 6 = 150 \)。答案：13人，150块。
人数 = \( \frac{18+7}{3-2} = \frac{25}{1} = 25 \)，瓶数 = \( 2 \times 25 + 18 = 68 \) 或 \( 3 \times 25 - 7 = 68 \)。答案：25人，68瓶。
组数 = \( \frac{4+2}{8-6} = \frac{6}{2} = 3 \)，总人数 = \( 6 \times 3 + 4 = 22 \) 或 \( 8 \times 3 - 2 = 22 \)。答案：3组，22人。
人数 = \( \frac{12+8}{6-4} = \frac{20}{2} = 10 \)，玩具数 = \( 4 \times 10 + 12 = 52 \) 或 \( 6 \times 10 - 8 = 52 \)。答案：10人，52个。
【奥数挑战答案】
设亏数为 \( n \)，则盈数为 \( 2n \)。人数 = \( \frac{2n + n}{3} = \frac{3n}{3} = n = 10 \)。所以盈数20，亏数10。答案：盈20，亏10。
设原人数为 \( x \)，球数为 \( y \)。根据题意：\( 5x + 12 = y \)；人数增加3后为 \( x+3 \)，\( 4(x+3) - 6 = y \)。解方程：\( 5x + 12 = 4x + 12 - 6 \) → \( 5x + 12 = 4x + 6 \) → \( x = -6 \)（不合理）。检查：第二次是少6个，应为 \( 4(x+3) = y - 6 \)? 正确列式：\( 4(x+3) + 6 = y \)? 盈亏：每人4个少6个，所以 \( 4(x+3) = y + 6 \)? 标准：亏是少，所以 \( y - 4(x+3) = 6 \) → \( y = 4x + 18 \)。与 \( y = 5x + 12 \) 联立：\( 5x + 12 = 4x + 18 \) → \( x = 6 \)，\( y = 42 \)。答案：原6人，球42个。
设单价为 \( p \) 元，钱数为 \( m \) 元。买8支多6元：\( m - 8p = 6 \)；买10支少4元：\( 10p - m = 4 \)。相加：\( 2p = 10 \) → \( p = 5 \)，代入得 \( m = 46 \)。答案：单价5元，钱46元。
设猴子 \( x \) 只，桃子 \( y \) 个。\( 7x + 16 = y \)，\( 9x - 8 = y \)。联立：\( 7x + 16 = 9x - 8 \) → \( 2x = 24 \) → \( x = 12 \)，\( y = 100 \)。每只猴分8个：\( 8 \times 12 = 96 \)，与100比多4个。答案：多4个。
设学生数 \( x \)，砖数 \( y \)。第一种：2人各搬4块共8块，其余 \( x-2 \) 人各搬5块，总搬 \( 8 + 5(x-2) = 5x - 2 \)，还剩12块，所以 \( y = 5x - 2 + 12 = 5x + 10 \)。第二种：每人搬6块正好：\( y = 6x \)。联立：\( 6x = 5x + 10 \) → \( x = 10 \)，\( y = 60 \)。答案：10人，60块。
设房间数 \( x \)，人数 \( y \)。每间住4人多20人：\( y = 4x + 20 \)。每间住6人，一间只住2人：即 \( x-1 \) 间住满6人，一间住2人，总人数 \( y = 6(x-1) + 2 = 6x - 4 \)。联立：\( 4x + 20 = 6x - 4 \) → \( 2x = 24 \) → \( x = 12 \)，\( y = 68 \)。答案：12间，68人。
设人数 \( x \)，书数 \( y \)。\( 9x - 15 = y \)，\( 7x + 9 = y \)。联立：\( 9x - 15 = 7x + 9 \) → \( 2x = 24 \) → \( x = 12 \)，\( y = 93 \)。每人分8本需 \( 8 \times 12 = 96 \) 本，现有93本，需增加3本。答案：增加3本。
设人数 \( x \)，饼干数 \( y \)。每人分6块多10块：\( y = 6x + 10 \)。每人分8块，有2人分不到：即实际分的人为 \( x-2 \)，每人8块正好或？少？题目说“有2个小朋友分不到”，意味着饼干数不变，每人8块则少 \( 2 \times 8 = 16 \) 块？正确：每人8块，需要 \( 8x \) 块，但只有 \( y \) 块，所以少 \( 8x - y \)，而少的部分是因为2人没分到，所以 \( 8x - y = 16 \)。联立：\( y = 6x + 10 \) 和 \( 8x - y = 16 \) → \( 8x - (6x+10) = 16 \) → \( 2x = 26 \) → \( x = 13 \)，\( y = 88 \)。答案：13人，88块。
设人数 \( x \)，奖品数 \( y \)。\( 5x + 12 = y \)，\( 8x - 3 = y \)。联立：\( 5x + 12 = 8x - 3 \) → \( 3x = 15 \) → \( x = 5 \)，\( y = 37 \)。每人发6件：\( 6 \times 5 = 30 \)，现有37件，多7件。答案：多7件。
设人数 \( x \)，橘子数 \( y \)。第一种：3人各分4个共12个，其余 \( x-3 \) 人各分3个，总分数 \( 12 + 3(x-3) = 3x + 3 \)，多9个，所以 \( y = 3x + 3 + 9 = 3x + 12 \)。第二种：每人分5个少2个：\( y = 5x - 2 \)。联立：\( 3x + 12 = 5x - 2 \) → \( 2x = 14 \) → \( x = 7 \)，\( y = 33 \)。答案：7人，33个。
【生活应用答案】
车厢数 = \( \frac{30+20}{100-80} = \frac{50}{20} = 2.5 \)，但车厢应为整数，检查数据：可能多出30人，少20个座位即亏20人，所以人数 = \( \frac{30+20}{100-80} = 2.5 \) 不合理。实际中，亏20意味着如果每节100人，少了20个座位，即人数比座位多20？标准盈亏：座位数为总数。设车厢数 \( x \)，座位总数 \( y \)。每节80人多30人：人数 = \( 80x + 30 \)；每节100人少20个座位：人数 = \( 100x - 20 \)。联立：\( 80x + 30 = 100x - 20 \) → \( 20x = 50 \) → \( x = 2.5 \)。数据需调整，但按公式：人数 = \( 80 \times 2.5 + 30 = 230 \)。答案：2.5节（实际题目可能有误，但计算如此）。
小组人数 = \( \frac{15+9}{6-4} = \frac{24}{2} = 12 \)，材料总数 = \( 4 \times 12 + 15 = 63 \) 或 \( 6 \times 12 - 9 = 63 \)。答案：12人，63个材料。
服务器数 = \( \frac{5+3}{10-8} = \frac{8}{2} = 4 \)，数据总量 = \( 8 \times 4 + 5 = 37 \) TB 或 \( 10 \times 4 - 3 = 37 \) TB。答案：4台，37TB。
志愿者人数 = \( \frac{25+7}{12-10} = \frac{32}{2} = 16 \)，瓶子总数 = \( 10 \times 16 + 25 = 185 \) 或 \( 12 \times 16 - 7 = 185 \)。答案：16人，185个。
订单数 = \( \frac{18+6}{3-2} = \frac{24}{1} = 24 \)，盒子总数 = \( 2 \times 24 + 18 = 66 \) 或 \( 3 \times 24 - 6 = 66 \)。答案：24个订单，66个盒子。