异分母分数加减法深度解析：通分技巧与易错点全攻略专项练习题库

💡 阿星精讲：异分母加减 原理

• 核心概念：嘿，同学！想象一下，分数就像一个个“小家庭”，分母是他们的“家庭规矩”，分子是“家庭成员”。两个分数要直接对话（加减），如果规矩不同（分母不同），就会鸡同鸭讲，根本算不了！这时就需要一位“翻译官”——通分。阿星的妙招是：先找最简公分母，把异分母变成同分母，然后再加减。 这就像把说不同方言的家庭，统一成都说普通话，大家就能顺畅交流、一起干活了！
• 计算秘籍：
  1. 找公分母：找到两个分母的最小公倍数（Least Common Multiple, LCM），这就是“最简公分母”。例如，计算 \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \)，2和3的最小公倍数是6。
  2. 统一规矩（通分）：根据分数的基本性质，把每个分数都化成分母为公分母的等值分数。\( \frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \)，\( \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \)。
  3. 家庭成员运算：现在分母相同了，就对分子进行加减。\( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \)。
  4. 整理结果：检查结果是否是最简分数，如果不是，要约分。
• 阿星口诀：异分母，先通分，最小公倍是关键。分子加减分母同，最后约分到最简。

📐 图形解析

我们用图形来直观感受“通分”如何统一分数单位。下面两个矩形代表同一个整体“1”。第一个被平均分成4份（分母4），我们取3份；第二个被平均分成6份（分母6），我们取1份。单位不同，无法直接相加。

通分就是找到统一的度量单位。4和6的最小公倍数是12。我们把整体“1”重新平均分成12份。

通过图形可以清晰看到：\( \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \)，\( \frac{1}{6} = \frac{2}{12} \)。现在它们有了共同的单位“1/12”，就可以直接相加了：\( \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12} \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：分母直接加减，分子不变。 如：\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5} \)。 → ✅ 正解：分数加减，分母必须相同。 必须先通分，使分母一致，然后只加减分子。正确过程是：\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \)。
• ❌ 错误2：通分时，只乘分母，忘了乘分子。 如：把 \( \frac{2}{3} \) 通分成以6为分母的分数，写成 \( \frac{2}{6} \)。 → ✅ 正解：根据分数的基本性质，分子分母要同乘一个非零数。 应写为 \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} \)。记住：分母怎么变，分子就跟着怎么变！

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. \( \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \)（本题是同分母，热身！）
2. \( \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \)
3. \( \frac{5}{8} - \frac{1}{4} = \)
4. \( \frac{3}{10} + \frac{2}{5} = \)
5. \( \frac{7}{9} - \frac{1}{3} = \)
6. \( \frac{5}{12} + \frac{3}{4} = \)
7. \( \frac{4}{5} - \frac{3}{10} = \)
8. \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \)
9. \( \frac{11}{15} - \frac{2}{5} = \)
10. \( \frac{3}{7} + \frac{2}{3} = \)

第二关：中考挑战（10道）

1. \( \frac{3}{4} + \frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \)
2. \( 2\frac{1}{3} + 1\frac{3}{4} = \) （带分数加减）
3. \( \frac{7}{8} - ( \frac{2}{3} + \frac{1}{6} ) = \)
4. \( \frac{5}{a} + \frac{3}{2a} = \)（\( a \neq 0 \)）
5. 已知 \( x = \frac{1}{2} \)， \( y = \frac{1}{3} \)， 求 \( x + y \) 和 \( x - y \)。
6. 一个数加上 \( \frac{5}{12} \) 得 \( \frac{7}{8} \)， 这个数是多少？
7. 从 \( \frac{9}{10} \) 里连续减去两个 \( \frac{1}{5} \)， 结果是多少？
8. 比较大小：\( \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \) ▢ \( \frac{5}{6} - \frac{1}{12} \) （填 >、< 或 =）
9. 计算：\( \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} \) （找规律裂项）
10. 简便计算：\( \frac{2019}{2020} - \frac{2018}{2019} = \)

第三关：生活应用（5道）

1. 【烘焙】小美做蛋糕，第一次用了 \( \frac{3}{4} \) 千克面粉，第二次比第一次少用了 \( \frac{1}{6} \) 千克。两次一共用了多少千克面粉？
2. 【工程】一条水渠，甲工程队单独修需要10天，乙工程队单独修需要15天。两队合作一天，能完成总工程的几分之几？
3. 【行程】小明去图书馆，走了全程的 \( \frac{2}{5} \) 后休息，又走了剩下的 \( \frac{1}{2} \)。此时他走了全程的几分之几？
4. 【配比】一种混凝土由水泥、沙子和石子按 \( 2:5:8 \) 的比例混合。水泥占总质量的几分之几？
5. 【购物】一桶油重 \( 5\frac{1}{2} \) 千克，用去 \( 2\frac{3}{4} \) 千克后，还剩多少千克？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \) （同分母直接加）
2. \( \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \)
3. \( \frac{5}{8} - \frac{1}{4} = \frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{3}{8} \)
4. \( \frac{3}{10} + \frac{2}{5} = \frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{7}{10} \)
5. \( \frac{7}{9} - \frac{1}{3} = \frac{7}{9} - \frac{3}{9} = \frac{4}{9} \)
6. \( \frac{5}{12} + \frac{3}{4} = \frac{5}{12} + \frac{9}{12} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} \)（或 \( 1\frac{1}{6} \)）
7. \( \frac{4}{5} - \frac{3}{10} = \frac{8}{10} - \frac{3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
8. \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \)
9. \( \frac{11}{15} - \frac{2}{5} = \frac{11}{15} - \frac{6}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \)
10. \( \frac{3}{7} + \frac{2}{3} = \frac{9}{21} + \frac{14}{21} = \frac{23}{21} = 1\frac{2}{21} \)

第二关：中考挑战

1. \( \frac{3}{4} + \frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{9}{12} + \frac{10}{12} - \frac{8}{12} = \frac{11}{12} \)
2. \( 2\frac{1}{3} + 1\frac{3}{4} = \frac{7}{3} + \frac{7}{4} = \frac{28}{12} + \frac{21}{12} = \frac{49}{12} = 4\frac{1}{12} \)
3. \( \frac{7}{8} - ( \frac{2}{3} + \frac{1}{6} ) = \frac{7}{8} - ( \frac{4}{6} + \frac{1}{6} ) = \frac{7}{8} - \frac{5}{6} = \frac{21}{24} - \frac{20}{24} = \frac{1}{24} \)
4. \( \frac{5}{a} + \frac{3}{2a} = \frac{10}{2a} + \frac{3}{2a} = \frac{13}{2a} \)（\( a \neq 0 \)）
5. \( x + y = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \)； \( x - y = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \)。
6. 设这个数为 \( x \)。 \( x + \frac{5}{12} = \frac{7}{8} \)， 则 \( x = \frac{7}{8} - \frac{5}{12} = \frac{21}{24} - \frac{10}{24} = \frac{11}{24} \)。
7. \( \frac{9}{10} - \frac{1}{5} - \frac{1}{5} = \frac{9}{10} - \frac{2}{10} - \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)。
8. \( \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12} \)； \( \frac{5}{6} - \frac{1}{12} = \frac{10}{12} - \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \)。 \( \frac{11}{12} > \frac{3}{4} \)， 所以填 >。
9. \( \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = (1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)。
10. \( \frac{2019}{2020} - \frac{2018}{2019} = \frac{2019^2 - 2018 \times 2020}{2020 \times 2019} = \frac{2019^2 - (2019-1)(2019+1)}{2020 \times 2019} = \frac{2019^2 - (2019^2 - 1)}{2020 \times 2019} = \frac{1}{2020 \times 2019} \)。

第三关：生活应用

1. 第二次用量：\( \frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12} \)（千克）。 总用量：\( \frac{3}{4} + \frac{7}{12} = \frac{9}{12} + \frac{7}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \)（千克）。
2. 甲队效率：\( \frac{1}{10} \)， 乙队效率：\( \frac{1}{15} \)。 合作一天：\( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \)。
3. 休息后剩下全程的 \( 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \)。 又走了：\( \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10} \)。 总共走了：\( \frac{2}{5} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10} \)。
4. 总份数：\( 2+5+8 = 15 \)。 水泥占比：\( \frac{2}{15} \)。
5. \( 5\frac{1}{2} - 2\frac{3}{4} = \frac{11}{2} - \frac{11}{4} = \frac{22}{4} - \frac{11}{4} = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} \)（千克）。