一次不等式怎么解？看图找上方图像范围深度解析与阶梯训练专项练习题库

💡 阿星精讲：上下 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！我们把一次不等式 \( ax + b > 0 \) 想象成一个“海拔高度计”。左边的 \( ax+b \) 就是一个函数 \( y = ax + b \)，它的图像是一条直线。这条直线有的部分“高高在上”（在x轴上方，\( y > 0 \)），有的部分“深藏水下”（在x轴下方，\( y < 0 \)）。所以，求解不等式，其实就是一场“寻宝游戏”：我们要找到这条直线“在上方”的那段山路（x的范围）。口诀就是：看图说话，上方为家。
• 计算秘籍：
  1. 解方程定边界： 先解方程 \( ax + b = 0 \)，找到直线与x轴的交点，也就是“海平面”的位置，解为 \( x = -\frac{b}{a} \)。
  2. 看方向定上下： 观察直线斜率 \( a \)。
     • 若 \( a > 0 \)，直线“向上爬坡”。交点的右边部分在山坡上方。解集为 \( x > -\frac{b}{a} \)。
     • 若 \( a < 0 \)，直线“向下滑梯”。交点的左边部分在山坡上方。解集为 \( x < -\frac{b}{a} \)。
• 阿星口诀：“不等式，像山坡，交点先把位置锁。a正向右跑，a反向左躲，上方的x就是解果！”

📐 图形解析

我们以 \( y = 2x - 4 \) （即 \( 2x - 4 > 0 \)）为例，来看看“上方”的视觉意义。

直线 \( y = 2x - 4 \) 与x轴交于点 \( (2, 0) \)。因为斜率 \( a=2>0 \)，直线向右上方延伸，所以交点右侧（图中红色虚线及右侧填充区域）的直线部分全部在x轴上方，即 \( y > 0 \)。因此，不等式 \( 2x - 4 > 0 \) 的解就是 \( x > 2 \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：解 \( -3x + 6 > 0 \)，移项得 \( -3x > -6 \)，然后两边直接除以-3得到 \( x > 2 \)。
  ✅ 正解：不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向必须改变！正确步骤：\( -3x > -6 \) → 两边除以-3得 \( x < 2 \)。从图像看，斜率 \( a=-3<0 \)，直线向下，解集应在交点左侧。
• ❌ 错误2：找到解集 \( x > 2 \) 后，在数轴上从2开始往右画线，但忘记了空心点或实心点的区别。
  ✅ 正解：严格区分“大于/小于”（>或<）和“大于等于/小于等于”（≥或≤）。对于“>”或“<”，在对应数字处画空心圈，表示不包含这个点；对于“≥”或“≤”，则画实心点。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 解不等式 \( x + 5 > 0 \)。
2. 解不等式 \( 2x - 8 < 0 \)。
3. 解不等式 \( -x + 3 \ge 0 \)。
4. 解不等式 \( 4x \le 20 \)。
5. 解不等式 \( \frac{1}{2}x + 1 > 2 \)。
6. 直线 \( y = x - 7 \) 在x轴上方时，x的取值范围是什么？
7. 直线 \( y = -2x + 4 \) 在x轴下方时，x的取值范围是什么？
8. 不等式 \( 3x + 9 \le 0 \) 的解集，在数轴上表示正确的是？（可描述：实心点向左 / 空心点向右等）
9. 若点 \( (2, a) \) 在直线 \( y=3x-5 \) 上，且位于x轴上方，判断 \( a \) 的符号。
10. 根据口诀“a正向右跑”，判断不等式 \( 7x - 21 > 0 \) 的解集方向。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中等）解不等式 \( 2(1-x) < 4 \)，并把解集在数轴上表示出来。
2. （中等）关于x的不等式 \( ax - b > 0 \) 的解集是 \( x < -1 \)，则直线 \( y = ax - b \) 不经过第几象限？
3. （中等）直线 \( y = kx + b \)（\( k \neq 0 \)）经过点 \( A(0, 2) \) 和 \( B(1, 0) \)，则不等式 \( kx + b > 0 \) 的解集是？
4. （综合）已知一次函数 \( y = (m-2)x + 3 \) 的函数值y随x的增大而减小，求关于x的不等式 \( (m-2)x + 3 > 0 \) 的解集。
5. （综合）如图，直线 \( y = ax + b \) 过点 \( A(0, 2) \) 和 \( B(-3, 0) \)，则不等式 \( ax + b \le 0 \) 的解集是？
6. （综合）若不等式 \( 2x + a \ge 0 \) 的负整数解是 -2， -1，求a的取值范围。
7. （综合）直线 \( l_1: y = 2x - 1 \) 与直线 \( l_2: y = x + 2 \) 交于点P，则当 \( y_1 > y_2 \) 时，x的取值范围是？
8. （综合）关于x的不等式组 \( \begin{cases} x > m \\ 2x - 1 < 3 \end{cases} \) 有解，则m的取值范围是？
9. （综合）已知一次函数 \( y = kx + b \) 的图像如图所示（可描述：过一、二、四象限），则不等式 \( kx + b < 0 \) 的解集是？
10. （综合）某商场销售一种商品，进价为20元/件，售价为x元/件。日销售量 \( p \)（件）与售价 \( x \)（元）满足关系 \( p = 200 - 2x \)。若日销售利润 \( y \)（元）要超过1000元，求售价x的范围。（利润 = (售价 - 进价) × 销售量）

第三关：生活应用（5道）

1. 手机套餐：某套餐月租30元，通话费每分钟0.2元。若本月预算话费总额不超过50元，求最多可通话多少分钟？
2. 出租车计费：某市出租车起步价10元（3公里内），超过3公里后，每公里加收2元。小明打车花费大于16元但不超过20元，请估算乘车距离的范围。
3. 水箱水位：一个水箱原有水100升，以每分钟5升的速度均匀进水。若要使水箱内的水量超过250升，求进水时间的范围。
4. 购物打折：某商店促销：“满200减30”。小刘想买一些单价为60元的商品，问他至少买多少件才能享受优惠？
5. 温度转换：摄氏温度（℃）与华氏温度（℉）的换算关系为 \( F = \frac{9}{5}C + 32 \)。某地天气预报说，明天的华氏温度将低于 50 ℉，那么明天的摄氏温度大概在多少度以下？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( x > -5 \)
2. \( x < 4 \)
3. \( x \le 3 \)（注意：\( -x+3 \ge 0 \Rightarrow -x \ge -3 \Rightarrow x \le 3 \)）
4. \( x \le 5 \)
5. \( \frac{1}{2}x > 1 \Rightarrow x > 2 \)
6. \( x > 7 \)
7. \( -2x+4 < 0 \Rightarrow -2x < -4 \Rightarrow x > 2 \)
8. 在 \( x = -3 \) 处画实心点，并向左画射线。
9. \( a = 3 \times 2 - 5 = 1 > 0 \)，符号为正。
10. \( a=7>0 \)，解集向右，为 \( x > 3 \)。

第二关：中考挑战

1. \( 2 - 2x < 4 \Rightarrow -2x < 2 \Rightarrow x > -1 \)。数轴上在-1处画空心圈向右。
2. 解集 \( x < -1 \) 意味着分界点 \( x_0 = -1 \)，且方向向左。根据“a负向左跑”，可知 \( a < 0 \)。又因为解集是“>0”且向左，说明直线向下 (\(a<0\))，且与y轴交于负半轴 (\(-b<0 \Rightarrow b>0\))。故直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
3. 由两点可求直线：代入A得 \( b=2 \)；代入B得 \( 0 = k+2 \Rightarrow k = -2 \)。所以 \( y = -2x + 2 \)。解 \( -2x+2 > 0 \Rightarrow -2x > -2 \Rightarrow x < 1 \)。
4. “y随x增大而减小”说明 \( m-2 < 0 \)。解不等式 \( (m-2)x + 3 > 0 \)，移项得 \( (m-2)x > -3 \)。因为 \( m-2 < 0 \)，两边除以负数要变号：\( x < -\frac{3}{m-2} \)。
5. 由两点A(0,2), B(-3,0)可知直线向下 (\( a < 0 \))，与x轴交于(-3,0)。不等式 \( ax+b \le 0 \) 对应x轴及下方部分，对于向下的直线，这是交点右侧部分（包括交点）。所以解集为 \( x \ge -3 \)。
6. 解不等式得 \( x \ge -\frac{a}{2} \)。其负整数解为-2,-1，说明 \( -\frac{a}{2} \) 必须在-2和-1之间（且能取到-2）。即 \( -2 \le -\frac{a}{2} < -1 \)。解得 \( 2 < a \le 4 \)。
7. 联立方程求P点：\( 2x-1 = x+2 \Rightarrow x=3, y=5 \)。要使 \( y_1 > y_2 \)，即直线 \( l_1 \) 在 \( l_2 \) 上方，由图可知，在交点左侧，\( l_1 \) 在下方，右侧在上方。所以 \( x > 3 \)。
8. 解第二个不等式得 \( x < 2 \)。不等式组有解，意味着 \( m < 2 \)（m必须小于2，才能与 \( x<2 \) 有公共部分）。
9. （描述性答案）过一、二、四象限的直线，斜率 \( k<0 \)，与y轴交点 \( b>0 \)。不等式 \( kx+b < 0 \) 的解集，即直线在x轴下方的部分对应的x范围。由于直线向下，这部分在交点右侧。所以解集为 \( x > -\frac{b}{k} \)（其中 \( -\frac{b}{k} > 0 \)）。
10. 利润 \( y = (x-20) \times p = (x-20)(200-2x) = -2x^2 + 240x - 4000 \)。令 \( y > 1000 \)，即 \( -2x^2 + 240x - 4000 > 1000 \)，化简得 \( -2x^2 + 240x - 5000 > 0 \Rightarrow x^2 - 120x + 2500 < 0 \)。解方程 \( x^2 - 120x + 2500 = 0 \) 得 \( x = 50 \) 或 \( x = 70 \)。因为抛物线开口向下，不等式小于0，解集为两根之间：\( 50 < x < 70 \)。（注意实际售价需高于进价20元，且通常为整数）。

第三关：生活应用

1. 设通话t分钟。\( 30 + 0.2t \le 50 \Rightarrow 0.2t \le 20 \Rightarrow t \le 100 \)。最多通话100分钟。
2. 设乘车距离为s公里（\( s > 3 \)）。花费 \( = 10 + 2(s-3) = 2s + 4 \)。由 \( 16 < 2s+4 \le 20 \) 得 \( 12 < 2s \le 16 \)，即 \( 6 < s \le 8 \)。距离在6公里到8公里之间（超过6公里，不超过8公里）。
3. 设进水t分钟。水量 \( = 100 + 5t \)。由 \( 100 + 5t > 250 \) 得 \( 5t > 150 \Rightarrow t > 30 \)。需要进水超过30分钟。
4. 设买n件。总价 \( 60n \)。由 \( 60n \ge 200 \) 得 \( n \ge \frac{200}{60} \approx 3.33 \)。因为n是整数，所以至少买4件。
5. 由 \( F < 50 \) 得 \( \frac{9}{5}C + 32 < 50 \Rightarrow \frac{9}{5}C < 18 \Rightarrow C < 10 \)。摄氏温度低于10℃。