燕尾模型：逆向求解 完整学习资料

知识要点

💡 核心概念：我们已经学过，在三角形中，如果从一个顶点向对边连线，并与内部另一条从顶点出发的线段构成“燕尾”，那么两个小三角形的面积比等于它们各自对边被分成的线段比。而“逆向求解”，就是反过来运用这个结论。当我们知道两个燕尾三角形的面积比，以及其中一个三角形的面积（或总面积），去求另一个三角形面积，或者去求那条“分界线”被分成的两段线段的比例。这就像侦探破案，根据已知的“结果”（面积比），去推理“原因”（线段比或其他面积）。

📝 计算法则：

1. 确认模型：在图形中识别出标准的燕尾结构——共用一个顶点的两个三角形，像燕子的尾巴。
2. 列出比例：根据燕尾模型定理，写出面积比等于对应的线段比。例如，在下图中，如果 \( S_{\triangle ABO} : S_{\triangle ACO} = BD : DC \)。
3. 逆向代入：将题目中已知的面积比或面积值代入上面列出的比例式中。
4. 建立方程：将含有未知数（要求的面积或线段长度）的比例式写成方程。
5. 解方程求解：解这个比例方程，求出未知量。

🎯 记忆口诀：
燕尾定理反向用，面积之比线段定。
已知面积或比例，代入方程求分明。

🔗 知识关联：

• 等高模型：燕尾模型的本质是两个“等高模型”的组合。逆向求解时，经常需要把燕尾三角形的面积关系拆分成等高模型来理解。
• 比例与方程：熟练掌握比例的基本性质（内项积等于外项积）是解这类方程的关键。
• 分数的计算：求一个图形的面积占整体面积的几分之几，是逆向求解中的常见步骤。

易错点警示

❌ 错误1：找错对应的线段比。
→ ✅ 正解：牢记“面积比 = 对应底边比”。燕尾三角形 \( \triangle ABO \) 和 \( \triangle ACO \) 的公共边是 \( AO \)，它们的“底”在直线 \( BC \) 上，所以它们的面积比等于 \( BC \) 被点 \( D \) 分成的两段 \( BD \) 与 \( DC \) 之比。

❌ 错误2：混淆“部分与部分之比”和“部分与整体之比”。
→ ✅ 正解：仔细读题，看清已知的面积是哪一个具体三角形的，还是整个大三角形的。在建立方程时，要使用统一的标准（要么都是部分比，要么都是部分与整体的比）。

❌ 错误3：逆向推理时，步骤顺序混乱。
→ ✅ 正解：严格按照“识别模型→写出比例式→代入已知量→解方程”的步骤进行，把逆向问题转化为正向的比例计算问题。

三例题精讲

🔥 例题1： 如图，在三角形 \( ABC \) 中，\( D \) 是 \( BC \) 上一点，连接 \( AD \)。已知三角形 \( ABD \) 的面积为 \( 12 \, \text{cm}^2 \)，三角形 \( ADC \) 的面积为 \( 18 \, \text{cm}^2 \)，且 \( BD = 4 \, \text{cm} \)。求 \( DC \) 的长度。

A

B

C

D

📌 第一步：识别模型。三角形 \( ABD \) 和三角形 \( ADC \) 组成一个以点 \( A \) 为顶点，\( BC \) 为底的燕尾模型。

📌 第二步：写出比例式。根据燕尾模型，\( S_{\triangle ABD} : S_{\triangle ADC} = BD : DC \)。

📌 第三步：代入已知量并求解。\( 12 : 18 = 4 : DC \)。即 \( \frac{12}{18} = \frac{4}{DC} \)，解得 \( DC = 4 \times \frac{18}{12} = 6 \, (\text{cm}) \)。

✅ 答案： \( DC = 6 \, \text{cm} \)。

💬 总结：这是最基础的逆向应用，直接套用公式反求线段长度。

🔥 例题2： 如图，在三角形 \( ABC \) 中，\( BE:EC = 2:3 \)，\( D \) 是 \( AE \) 的中点。三角形 \( ABE \) 的面积为 \( 20 \, \text{cm}^2 \)。求三角形 \( ABC \) 的面积。

A

B

C

E

D

📌 第一步：连接 \( DE \)。观察三角形 \( ABE \) 和三角形 \( ACE \)，它们构成燕尾模型吗？不，它们的底 \( BE \) 和 \( EC \) 在同一直线上，但顶点 \( A \) 是公共的，这其实就是燕尾模型（有时也叫风筝模型）。由 \( BE:EC = 2:3 \)，得 \( S_{\triangle ABE} : S_{\triangle ACE} = 2 : 3 \)。

📌 第二步：代入 \( S_{\triangle ABE} = 20 \)，得 \( 20 : S_{\triangle ACE} = 2 : 3 \)，解得 \( S_{\triangle ACE} = 30 \, \text{cm}^2 \)。所以 \( S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABE} + S_{\triangle ACE} = 20 + 30 = 50 \, \text{cm}^2 \)。

📌 第三步：题目中“D是AE的中点”这个条件在此题中是干扰项，与最终问题无关。解题时要学会辨别有用信息。

✅ 答案：三角形 \( ABC \) 的面积为 \( 50 \, \text{cm}^2 \)。

💬 总结：先利用已知线段比和部分面积，逆向求出另一个燕尾三角形的面积，再求和得到总面积。注意排除干扰条件。

🔥 例题3： 如图，在三角形 \( ABC \) 中，\( D、E \) 是 \( BC \) 边上的三等分点，\( F \) 是 \( AC \) 边上一点，且 \( AF:FC = 2:1 \)。连接 \( AD、AE、BF \)。若三角形 \( ABC \) 的面积为 \( 54 \)，求阴影部分四边形 \( EDFC \) 的面积。

A

B

C

D

E

F

📌 第一步：求 \( S_{\triangle ABF} \) 和 \( S_{\triangle CBF} \)。在三角形 \( ABC \) 中，\( B、F、C \) 构成燕尾？不对。应看三角形 \( ABF \) 和三角形 \( CBF \)，它们共顶点 \( B \)，底在 \( AC \) 上。由 \( AF:FC=2:1 \)，得 \( S_{\triangle ABF} : S_{\triangle CBF} = 2 : 1 \)。又 \( S_{\triangle ABF} + S_{\triangle CBF} = S_{\triangle ABC} = 54 \)。所以 \( S_{\triangle ABF} = 54 \times \frac{2}{3} = 36 \)，\( S_{\triangle CBF} = 18 \)。

📌 第二步：在三角形 \( BFC \) 中，\( D、E \) 是 \( BC \) 的三等分点，即 \( BD:DE:EC = 1:1:1 \)。连接 \( DF、EF \)。观察三角形 \( BDF \)、三角形 \( DEF \)、三角形 \( ECF \)，它们等高，底之比为 \( 1:1:1 \)，所以面积相等。因此 \( S_{\triangle BDF} = S_{\triangle DEF} = S_{\triangle ECF} = S_{\triangle CBF} \div 3 = 18 \div 3 = 6 \)。

📌 第三步：四边形 \( EDFC \) 由三角形 \( DEF \) 和三角形 \( ECF \) 组成，所以面积为 \( 6 + 6 = 12 \)。

✅ 答案：阴影部分面积为 \( 12 \)。

💬 总结：这是一道综合题。首先逆向与正向结合使用燕尾模型求出大三角形被分成的两部分面积；然后在局部再次利用等高模型（可看作燕尾模型的特例）进行面积分配。解题的关键是分层次、分步骤地运用模型。

练习题（10道）

1. 在三角形 \( ABC \) 中，\( D \) 在 \( BC \) 上，\( AD \) 将三角形分成两部分。已知 \( S_{\triangle ABD} = 15 \)，\( S_{\triangle ADC} = 25 \)，且 \( DC = 10 \, \text{cm} \)。求 \( BD \) 的长度。
2. 如图，在三角形 \( PQR \) 中，\( PS:SR = 1:2 \)，三角形 \( PQS \) 的面积为 \( 9 \)。求三角形 \( PQR \) 的面积。

3. 三角形 \( MNO \) 中，点 \( P \) 在 \( MO \) 上，点 \( Q \) 在 \( NO \) 上，连接 \( PQ \)。若 \( MP:PO = 2:1 \)，\( S_{\triangle MPQ} = 16 \)，求 \( S_{\triangle MNO} \)。(提示：需两次运用模型)
4. 一块三角形蛋糕被切了一刀，切口从一个顶点到对边。切出的两块小蛋糕面积分别是 \( 120 \, \text{cm}^2 \) 和 \( 180 \, \text{cm}^2 \)。已知较小那块蛋糕对应的底边长为 \( 12 \, \text{cm} \)，求整块蛋糕对应底边的总长。
5. 在四边形 \( ABCD \) 中，对角线 \( AC、BD \) 交于 \( O \) 点。已知 \( S_{\triangle AOB} = 8 \)，\( S_{\triangle AOD} = 12 \)，且 \( BO:OD = 2:3 \)。求 \( S_{\triangle BOC} \)。
6. 如图，长方形 \( ABCD \) 中，\( E \) 是 \( AD \) 中点，\( F \) 在 \( AB \) 上，且 \( AF:FB=3:1 \)。连接 \( CE、CF \)。若长方形面积为 \( 48 \)，求三角形 \( CEF \) 的面积。
7. 梯形 \( ABCD \)（\( AD \parallel BC \)）中，对角线 \( AC、BD \) 交于 \( O \) 点。已知 \( AD:BC = 2:5 \)，\( S_{\triangle AOD} = 6 \)。求 \( S_{\triangle BOC} \)。
8. 三角形 \( XYZ \) 中，\( YW:WZ = 3:4 \)，三角形 \( XYW \) 的面积比三角形 \( XWZ \) 的面积少 \( 10 \)。求三角形 \( XYZ \) 的面积。
9. 点 \( O \) 是三角形 \( ABC \) 内一点，连接 \( AO、BO、CO \) 并延长分别交对边于 \( D、E、F \)。若 \( S_{\triangle AOE} = 4 \)，\( S_{\triangle AOF} = 6 \)，\( S_{\triangle BOD} = 5 \)，求 \( S_{\triangle COD } \)。（提示：多次使用燕尾模型逆向与正向结合）
10. 一个三角形花园被一条小路（从顶点到对边）分成两个花圃。两个花圃的种植成本比等于它们的面积比。已知总成本为 \( 350 \) 元，较小花圃的成本为 \( 150 \) 元，且较小花圃对应的底边长为 \( 15 \) 米。求较大花圃对应的底边长。

奥数挑战（10道）

1. （迎春杯改编）如图，三角形 \( ABC \) 面积为 \( 1 \)。\( BD:DC = 2:1 \)，\( AE:EC = 1:3 \)。连接 \( AD、BE \) 交于 \( F \) 点。求四边形 \( CDFE \) 的面积。
2. （华杯赛难度）在三角形 \( ABC \) 中，\( D、E \) 分别在 \( AB、AC \) 上，且 \( AD:DB = 1:2 \)，\( AE:EC = 2:1 \)。\( BE \) 与 \( CD \) 交于 \( F \)。若 \( S_{\triangle ABC} = 42 \)，求 \( S_{\triangle BFC } \)。
3. 点 \( O \) 是三角形 \( ABC \) 内一点，\( AO、BO、CO \) 的延长线分别交对边于 \( D、E、F \)。已知 \( S_{\triangle AOE} = 3 \)，\( S_{\triangle AOF} = 4 \)，\( S_{\triangle BOF} = 5 \)，\( S_{\triangle BOD} = 6 \)。求三角形 \( ABC \) 的面积。
4. 四边形 \( ABCD \) 的对角线 \( AC、BD \) 交于 \( O \)，已知 \( S_{\triangle AOB} = 4 \)，\( S_{\triangle BOC} = 9 \)，\( S_{\triangle COD} = 6 \)。求 \( S_{\triangle AOD} \)。
5. 三角形 \( ABC \) 中，\( D、E、F \) 分别在 \( BC、CA、AB \) 上，且 \( BD:DC = CE:EA = AF:FB = 1:2 \)。连接 \( AD、BE、CF \) 两两相交于 \( P、Q、R \)。若 \( S_{\triangle ABC} = 63 \)，求 \( S_{\triangle PQR} \)。
6. （走美杯真题）如图，大三角形被分成九个小三角形，其中四个的面积已在图中标出。求三角形 \( ABC \) 的面积。

7. 平行四边形 \( ABCD \) 中，\( E \) 是 \( BC \) 中点，\( F \) 是 \( CD \) 上靠近 \( C \) 的三等分点。连接 \( AE、AF、BD \) 交于 \( G、H \)。若平行四边形面积为 \( 72 \)，求三角形 \( AGH \) 的面积。
8. 三角形 \( ABC \) 中，\( D、E \) 在 \( BC \) 上，\( F \) 在 \( AC \) 上。\( BD:DE:EC = 1:2:1 \)，\( AF:FC = 3:1 \)。连接 \( AD、AE、BF \) 交于 \( P、Q \)。若 \( S_{\triangle ABC} = 80 \)，求四边形 \( DEPQ \) 的面积。
9. （数学花园探秘）三角形 \( ABC \) 的三边 \( BC、CA、AB \) 上分别有点 \( D、E、F \)，使得 \( CD = 2BD \)，\( AE = 3CE \)，\( BF = 4AF \)。线段 \( AD、BE、CF \) 围成一个三角形。若 \( S_{\triangle ABC} = 210 \)，求所围成三角形的面积。
10. 设 \( O \) 为三角形 \( ABC \) 内任一点，\( AO、BO、CO \) 分别交对边于 \( D、E、F \)。证明：\( \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} \times \frac{AF}{FB} = 1 \)。（塞瓦定理的证明，可利用燕尾模型面积关系）

生活应用（5道）

1. （高铁调度）一个高铁调度站的轨道区域俯视图是一个三角形 \( ABC \)。一列备用车停放在顶点 \( A \) 处的轨道，需要被调度到 \( BC \) 轨道段上的某点 \( D \) 待命。调度过程中，它将三角形区域分成了两块临时隔离区，面积比为 \( 3:7 \)（对应不同安全等级）。已知高级别隔离区（面积较小）对应的轨道长度为 \( 150 \) 米，求整个 \( BC \) 轨道段的长度。
2. （航天燃料分配）某航天器的燃料箱横截面为三角形。两种不同密度的燃料被一层隔板 \( AD \) 分开，分别储存在 \( \triangle ABD \) 和 \( \triangle ADC \) 区域。已知两种燃料的质量比为 \( 5:8 \)，且它们的高度（从 \( A \) 到底边 \( BC \) 的垂线）相同。若较重的燃料对应的箱底宽度为 \( 2.4 \) 米，求较轻燃料对应的箱底宽度。
3. （AI图像分割）一个AI程序在识别三角形农田图片时，检测到从顶点到对边的一条田埂。它将农田分割成两块，AI计算出两块区域的像素点数量（可代表面积）比为 \( 9:11 \)。如果已知整块农田对应底边的实际长度为 \( 100 \) 米，求较小那块农田对应的实际底边长是多少米？
4. （环保绿化）一片待绿化的三角形荒地 \( ABC \)，计划从水源点 \( A \) 铺设两条不同颜色的灌溉管道分别服务 \( \triangle ABD \) 和 \( \triangle ADC \) 区域（\( D \) 在 \( BC \) 上）。由于植物种类不同，两区域所需的管道长度比等于面积比的倒数。若已知 \( BD \) 段长 \( 40 \) 米，且 \( \triangle ABD \) 区域需要的管道总长为 \( 120 \) 米，\( \triangle ADC \) 区域需要的管道总长为 \( 180 \) 米。求 \( DC \) 的长度。
5. （网购包装）一个三角形的减震泡沫垫用于保护易碎品。在运输测试中，从三角形一个顶点到对边的压痕将泡沫垫分成两部分。测试数据表明，两部分能承受的最大压强比是 \( 4:5 \)，且承受压强较小的部分其对应底边长度为 \( 16 \, \text{cm} \)。为了在包装上标注“脆弱边”的位置，需要知道整个底边的长度。