关于y轴对称怎么求？横反纵同法则深度解析与例题精讲专项练习题库

💡 阿星精讲：关于y轴对称 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们来聊聊“关于y轴对称”。想象一下，y轴就像一面巨大、光滑的竖着的镜子。任何一个点、图形，只要跑到这面镜子前照一照，就会变出一个“镜像”来。这个“镜像”和它自己，就叫做关于y轴对称。最核心的口令就是“横反纵同”！ 你看，一个点的坐标是 \( (x, y) \)，它照镜子后，竖直方向（纵坐标）不变，还是 \( y \)；但水平方向（横坐标）要跑到相反的方向去，变成 \( -x \)。所以，我们的变身法则就是：阿星魔法公式：\( (x, y) \rightarrow (-x, y) \)。
• 计算秘籍：
  1. 已知一个点 \( A \) 的坐标 \( (x_0, y_0) \)。
  2. 它的对称点 \( A‘ \) 的横坐标是原横坐标的相反数：\( x_{A'} = -x_0 \)。
  3. 它的对称点 \( A’ \) 的纵坐标与原纵坐标相同：\( y_{A‘} = y_0 \)。
  4. 得到对称点坐标：\( A'(-x_0, y_0) \)。
• 阿星口诀：“竖镜（y轴）当空照，横坐标要变号，纵坐标不动摇，对称点就找到！”

📐 图形解析

请看下面的示意图，点 \( A(2, 3) \) 关于 y 轴的对称点是 \( A'(-2, 3) \)。y轴就像镜子，两个点到镜子的“水平距离”相等（都是2），但方向相反。它们的高度（纵坐标）完全相同。

几何关系：对称点 \( A \) 和 \( A’ \) 的连线被 y 轴垂直平分。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：混淆关于x轴和y轴的对称。把 \( (x, y) \) 关于y轴对称错算成 \( (x, -y) \)。
  ✅ 正解：牢牢抓住“对谁对称谁不变，另一个就要变号”。关于y轴（竖轴）对称，横坐标（x）变号，纵坐标（y）不变，即 \( (-x, y) \)。关于x轴（横轴）对称，则是纵坐标（y）变号，横坐标（x）不变。
• ❌ 错误2：认为点 \( (x, y) \) 只要在y轴上，它就没有对称点。
  ✅ 正解：一个点如果本身就在y轴上，例如 \( (0, 5) \)，那么根据法则 \( (0, 5) \rightarrow (-0, 5) = (0, 5) \)，它的对称点就是它自己！这类点称为对称轴上的“不动点”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 点 \( (7, 4) \) 关于 y 轴的对称点坐标是______。
2. 点 \( (-2, -5) \) 关于 y 轴的对称点坐标是______。
3. 点 \( (0, 8) \) 关于 y 轴的对称点坐标是______。
4. 若点 \( A(3, m) \) 关于 y 轴的对称点是 \( A‘(-3, 5) \)，则 \( m = \) ______。
5. 点 \( P(a, 6) \) 与点 \( Q(-2, b) \) 关于 y 轴对称，则 \( a = \) ______，\( b = \) ______。
6. 点 \( (x, y) \) 关于 y 轴对称的点坐标为 \( (-7, 2) \)，则 \( x = \) ______，\( y = \) ______。
7. 在坐标系中，描出点 \( (1, 2) \)，\( (-1, 2) \)，\( (1, -2) \)，\( (-1, -2) \)。哪两个点关于y轴对称？
8. 请写出两个不同的点，使它们都关于 y 轴对称于点 \( (0, 10) \)。
9. 判断：点 \( (p, q) \) 和点 \( (-p, -q) \) 总是关于 y 轴对称。（ ）
10. 已知点 \( A \) 在第二象限，那么它关于 y 轴的对称点在第______象限。

第二关：中考挑战（10道）

1. （图形综合）已知平行四边形 \( ABCD \) 的顶点 \( A(-2, 3) \)，\( B(1, 5) \)，若点 \( C \) 与点 \( A \) 关于 y 轴对称，点 \( D \) 与点 \( B \) 关于 y 轴对称，求平行四边形 \( ABCD \) 的周长。
2. （代数综合）若点 \( P(2m + n, m-3) \) 和点 \( Q(4, n+1) \) 关于 y 轴对称，求 \( m^n \) 的值。
3. （几何变换）将直线 \( y = 2x + 1 \) 沿 y 轴翻折（即关于y轴对称）后，新的直线解析式是什么？
4. （图形与坐标）在坐标系中，矩形 \( OABC \) 的顶点 \( O \) 为原点，\( A(6,0) \)，\( C(0,4) \)。求矩形 \( OABC \) 关于 y 轴对称的图形 \( OA’B‘C’ \) 的顶点坐标。
5. （规律探究）在平面直角坐标系中，一电子狗从原点 \( O \) 出发，按“向右1格，向上1格”为一次运动，记为 \( (1, 1) \)。它运动到点 \( A_1(1,1) \) 后，再以 \( A_1 \) 为“原点”执行关于 y 轴的对称运动 \( (-1, 1) \) 到达 \( A_2 \)。求点 \( A_2 \) 的坐标。如果继续这个规律（每次都关于y轴对称上一次的运动向量），第5次运动后的终点坐标是多少？

第三关：生活应用（5道）

1. （建筑设计）某中式建筑的主体平面图关于中轴线（可视为y轴）完全对称。如果设计图上左侧有一个飞檐的端点坐标为 \( (-15, 8) \)（单位：米），请问右侧对应飞檐端点的坐标应设计为多少？
2. （镜面反射）小明站在平面直角坐标系的点 \( P(2, 1.5) \) 处（单位：米），他的正前方（x轴正方向）有一面巨大的竖直镜子（可视为y轴）。请问他在镜子中看到的自己的“像”的位置坐标是多少？这运用了什么数学原理？
3. （电路板布局）一块电路板上的元件焊点需要对称分布以减少信号干扰。若主芯片位于参考点 \( (0,0) \)，其中一个电容焊点坐标为 \( (3.2, -1.5) \)，请在y轴另一侧为其设计对称的电容焊点坐标。
4. （艺术图案）用计算机绘制一个心形图案，发现其左半部分的轮廓可以由函数 \( y = \sqrt{1 - (x+1)^2} + 1 \)（\( -2 \le x \le 0 \)）描述。如果要得到完整的心形，右半部分轮廓的函数表达式应如何写出？（提示：关于y轴对称）
5. （导航与测绘）一张局部地图采用坐标系，救援队A位于 \( (3500, -1200) \) 处，他们需要与关于y轴对称位置的救援队B汇合。请问救援队B的坐标是多少？两队之间的直线距离是多少？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( (-7, 4) \)
2. \( (2, -5) \)
3. \( (0, 8) \)（y轴上的点对称后是自身）
4. \( m = 5 \)（纵坐标相同）
5. \( a = 2 \)，\( b = 6 \)（由 \( a = -(-2) \) 且 \( 6 = b \) 得）
6. \( x = 7 \)，\( y = 2 \)（原像横坐标为对称点横坐标的相反数）
7. 点 \( (1, 2) \) 和点 \( (-1, 2) \) 关于y轴对称。
8. 答案不唯一，例如 \( (1, 10) \) 和 \( (-1, 10) \)。（任何一对横坐标互为相反数，纵坐标为10的点都符合）
9. 错误。关于y轴对称要求纵坐标相同，这里是纵坐标也变为相反数，所以是关于原点对称。
10. 第一象限。（第二象限点符号为 \( (-, +) \)，关于y轴对称后变为 \( (+, +) \)，即第一象限）

第二关：中考挑战

1. 由题意，\( C \) 是 \( A \) 的对称点，所以 \( C(2, 3) \)；\( D \) 是 \( B \) 的对称点，所以 \( D(-1, 5) \)。计算 \( AB = \sqrt{(1+2)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} \)，\( BC = \sqrt{(2-1)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \)。平行四边形周长为 \( 2 \times (\sqrt{13} + \sqrt{5}) \)。
2. 由关于y轴对称得：\( 2m+n = -4 \) 且 \( m-3 = n+1 \)。解方程组：由第二式得 \( m = n+4 \)，代入第一式：\( 2(n+4) + n = -4 \) → \( 3n + 8 = -4 \) → \( 3n = -12 \) → \( n = -4 \)，则 \( m = 0 \)。所以 \( m^n = 0^{-4} \) 无意义（或说未定义）。
3. 直线上任一点 \( (x, y) \) 关于y轴对称后为 \( (-x, y) \)。原解析式 \( y = 2x + 1 \)，将 \( x \) 替换为 \( -x \) 得到新解析式：\( y = 2(-x) + 1 \)，即 \( y = -2x + 1 \)。
4. \( O(0,0) \) 对称后仍为 \( O(0,0) \)。\( A(6,0) \) 对称后为 \( A‘(-6,0) \)。\( C(0,4) \) 对称后为 \( C’(0,4) \)。由矩形性质可得 \( B(6,4) \)，对称后为 \( B‘(-6,4) \)。
5. 从 \( O(0,0) \) 出发，运动 \( (1,1) \) 到 \( A_1(1,1) \)。以 \( A_1 \) 为参照，运动向量关于y轴对称变为 \( (-1, 1) \)，所以 \( A_2 = (1+(-1), 1+1) = (0, 2) \)。继续：从 \( A_2 \) 出发，向量再次关于y轴对称（此时 \( (-1,1) \) 的对称是 \( (1,1) \)），到达 \( A_3 = (0+1, 2+1) = (1,3) \)。规律是：运动向量在 \( (1,1) \) 和 \( (-1,1) \) 之间交替。起点为 \( O(0,0) \)，则 \( A_1(1,1) \)， \( A_2(0,2) \)， \( A_3(1,3) \)， \( A_4(0,4) \)， \( A_5(1,5) \)。所以第5次后终点为 \( (1, 5) \)。

第三关：生活应用

1. 右侧对应端点坐标应为 \( (15, 8) \)。应用“横反纵同”：\( (-15, 8) \rightarrow (15, 8) \)。
2. 镜中“像”的位置坐标为 \( (-2, 1.5) \)。运用了“关于y轴对称”（平面镜成像）的数学原理。
3. 对称焊点坐标为 \( (-3.2, -1.5) \)。
4. 右半部分轮廓关于y轴对称，所以将左半部分函数表达式中的 \( x \) 替换为 \( -x \) 即可：\( y = \sqrt{1 - (-x+1)^2} + 1 = \sqrt{1 - (x-1)^2} + 1 \)，定义域为 \( 0 \le x \le 2 \)。
5. 救援队B的坐标：\( (-3500, -1200) \)。两队直线距离：\( \sqrt{(3500 - (-3500))^2 + ((-1200) - (-1200))^2} = \sqrt{(7000)^2} = 7000 \)（单位）。