追及问题：基本公式

知识要点

💡 核心概念

追及问题就像“追赶游戏”。通常是两个人（或车、动物等），一个在前面跑（慢），一个在后面追（快）。研究的是“从开始追到最终追上”这个过程需要多长时间，或者跑了多远。

核心在于两个人速度不同，但追赶的方向和路线是相同的。快的人之所以要花时间才能追上，是因为一开始两人之间有一段距离差。

📝 计算法则

解决追及问题，只需三步：

找“路程差”：也就是开始时快的人落后慢的人多少米。公式：路程差 = 慢的人先走的路程。
找“速度差”：快的人比慢的人每分钟（或每秒、每小时）快多少米。公式：速度差 = 快的速度 - 慢的速度。
求“追及时间”：用路程差除以速度差，就能得到追上需要的时间。公式：追及时间 = 路程差 ÷ 速度差。

核心公式： \( \text{追及时间} = \frac{\text{路程差}}{\text{速度差}} \)

🎯 记忆口诀

慢前快后差路程，速度相减得差速。路程除以速度差，追及时间就得出。

🔗 知识关联

追及问题是“速度、时间、路程”关系的延伸应用。你需要非常熟悉：路程 = 速度 × 时间。在追及问题中，我们主要运用它的变形：时间 = 路程 ÷ 速度。这里的“路程”特指“路程差”，“速度”特指“速度差”。同时，计算中会用到小数的减法和除法。

易错点警示

❌ 错误1：计算速度差时，用慢的速度减快的速度，得到负数。

✅ 正解：速度差一定是“快的速度 - 慢的速度”，结果为正数，表示每分钟能追上的距离。

❌ 错误2：单位不统一。例如，速度是“米/秒”，而路程差是“千米”。

✅ 正解：解题前必须将单位统一。通常将大单位化为小单位更方便，如把千米化为米。

❌ 错误3：误用公式，将“路程差”除以“速度和”。这是相遇问题的公式，和追及问题完全不同。

✅ 正解：牢记追及问题的核心是“速度差”。快追慢，靠的是比对方快的那部分速度。

例题精讲

🔥 例题1：甲、乙两人相距200米。甲在前面，每分钟走50米；乙在后面，每分钟走70米。乙同时出发去追甲，问多少分钟后乙能追上甲？

📌 第一步：分析已知条件。开始时两人的距离就是“路程差”：200米。甲慢乙快，甲速50米/分，乙速70米/分。

📌 第二步：计算速度差。乙每分钟比甲多走： \( 70 - 50 = 20 \) (米/分)。

📌 第三步：求追及时间。追上所需时间 = 路程差 ÷ 速度差 = \( 200 \div 20 = 10 \) (分钟)。

✅ 答案：10分钟后乙追上甲。

💬 总结：这是最基础的直接套用公式题型，关键就是找准“路程差”和“速度差”。

🔥 例题2：妹妹从家步行去学校，每分钟走60米。妹妹出发5分钟后，哥哥发现妹妹忘了带文具盒，于是骑自行车以每分钟180米的速度去追。哥哥出发几分钟后能追上妹妹？

📌 第一步：找路程差。妹妹先走了5分钟，路程是 \( 60 \times 5 = 300 \) 米。这就是哥哥开始追时落后的距离。

📌 第二步：找速度差。哥哥每分钟比妹妹快 \( 180 - 60 = 120 \) 米。

📌 第三步：求追及时间。哥哥追上妹妹需要 \( 300 \div 120 = 2.5 \) 分钟。

✅ 答案：哥哥出发2.5分钟后追上妹妹。

💬 总结：“先走”形成的路程差，需要先算出来。题目问的是哥哥的“追及时间”，不要错算成妹妹的总时间。

🔥 例题3：一辆货车以每小时55千米的速度从A地开往B地。出发2小时后，一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A地出发去追货车。小轿车追上货车时，距离A地多少千米？

📌 第一步：找路程差。货车先走2小时，路程为 \( 55 \times 2 = 110 \) 千米。

📌 第二步：找速度差。小轿车每小时比货车快 \( 75 - 55 = 20 \) 千米。

📌 第三步：求追及时间。小轿车追上货车需要 \( 110 \div 20 = 5.5 \) 小时。

📌 第四步：求距离A地路程。问题问的是路程。小轿车（或货车）从A地到追上点所用的路程就是答案。用小轿车算： \( 75 \times 5.5 = 412.5 \) 千米。

✅ 答案：距离A地412.5千米。

💬 总结：这是“求追及路程”的题型。步骤是：先求追及时间，再用“快者的速度 × 追及时间”求出追上的地点距离出发点的路程。

练习题（10道）

小明的步行速度是每分钟70米，小红的步行速度是每分钟50米。小红在小明前方100米处，两人同时同向出发。小明追上小红需要多少分钟？
甲、乙两人在400米环形跑道上跑步，甲每秒跑6米，乙每秒跑4米。两人从同一地点同时反向出发，多久后第一次相遇？如果两人从同一地点同时同向出发，甲多久后第一次追上乙？（提示：同向是追及问题，跑道一圈的长度就是“路程差”）
一只猎豹发现前方200米处有一只羚羊，猎豹以每秒30米的速度追击，羚羊以每秒20米的速度逃跑。猎豹多少秒后能追上羚羊？
姐姐和弟弟去上学，弟弟步行每分钟走40米。弟弟先走10分钟后，姐姐才骑自行车以每分钟200米的速度去追。姐姐几分钟能追上弟弟？
两架飞机从同一机场出发，前一架飞机以每小时650千米的速度飞行。2小时后，后一架飞机以每小时800千米的速度沿同一航线飞行。后一架飞机几小时能追上前一架？
乌龟和兔子进行赛跑，乌龟每分钟爬10米，兔子每分钟跑200米。兔子让乌龟先爬了1小时，兔子出发后多久能追上乌龟？
一辆客车和一辆货车同向行驶，客车在货车后面。客车的速度是每小时90千米，货车的速度是每小时70千米。客车要追上货车需要缩短30千米的距离，问需要多少小时？
甲、乙两车相距150千米。甲车每小时行45千米，乙车每小时行60千米。乙车在甲车后面，同时出发去追甲车。乙车追上甲车时，乙车行驶了多少千米？
同学们排队步行去参观，队伍每分钟走50米。老师有事要从队尾赶到队头传达通知，老师每分钟走80米，队伍长120米。老师从队尾到队头需要多少分钟？（提示：老师追的是队伍最前面的同学）
小张和小王在一条笔直的路上练习长跑。小张的速度是每秒3米，小王的速度是每秒2.5米。小张在小王后面50米处，两人同时同向起跑。小张追上小王时，小王已经跑了多少米？

奥数挑战（10道）

（环形跑道）甲、乙二人在周长400米的环形跑道上练习跑步。如果两人同时从同一地点背向而行，相遇时间问题略；如果两人同时从同一地点同向而行，甲第一次追上乙时，甲比乙多跑了400米。已知甲的速度是乙速度的1.5倍，求甲、乙二人的速度。
甲、乙两地相距48千米。其中一段是上坡路，其余是下坡路。某人骑自行车从甲地到乙地，去时用了4小时12分，返回时用了3小时48分。已知自行车上坡速度为每小时10千米，求下坡速度。如果上、下坡速度保持不变，从甲地到乙地上坡、下坡各多少千米？（提示：往返一次，上坡总路程=下坡总路程=全程）
一列快车长170米，每秒行23米；一列慢车长130米，每秒行18米。快车从后面追上慢车到完全超过慢车（即从快车车头追上慢车车尾，到快车车尾离开慢车车头），需要多少时间？（提示：路程差是两列车的长度和）
小明和小亮在一条马路上跑步，小明每秒跑6米，小亮每秒跑4米。小亮在小明前面100米。如果他们同时出发，小明追上小亮后立即以原速返回起点，小亮继续向前跑。小明回到起点时，小亮离起点还有多远？
甲、乙两人绕城而行。甲绕城一周需要3小时，现在两人同时从同地背向出发，乙自遇到甲后再走4小时才能到达原出发地。求乙绕城一周需要多长时间？
一辆摩托车追赶先出发的步行人。步行人每小时走4千米，摩托车每小时行30千米。摩托车出发后1小时追上步行人。步行人比摩托车早出发几小时？
主人追他的狗。狗跑三步的时间主人跑两步，但主人一步的距离是狗两步的距离。狗跑出10步后，主人开始追。主人跑出多少步能追上狗？（提示：将“步”转化为统一的速度或距离单位）
铁路旁有一条小路，一列长144米的火车以每秒18米的速度通过。一位行人站在铁路旁，从火车车头到达他身边到火车完全离开他，共用8秒。求行人的步行速度。（提示：火车与行人同向为追及，反向为相遇。本题需判断方向）
甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米。甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙遇到乙后2分钟又遇到甲。求两镇相距多少米？
一条河上有A、B两个码头，相距112千米。一艘船从B码头逆流而上，到达A码头后立即返回。从出发到返回B码头共用了10小时。已知水流速度是每小时4千米，求船在静水中的速度。如果另一艘快艇在静水中的速度是每小时30千米，它从A码头到B码头往返一次需要多少时间？

生活应用（5道）

（高铁场景）一列“复兴号”高铁以每小时350千米的速度从北京南站开出。30分钟后，一列“和谐号”动车以每小时250千米的速度从同一车站沿相同路线开出。请问“和谐号”出发后，需要多少小时才能追上“复兴号”？（假设轨道允许且调度安全）
（环保/共享出行）小黄骑共享电动车去公司，速度为每分钟300米。出发5分钟后，他发现忘带工卡，于是同事小蓝骑共享自行车以每分钟200米的速度去给他送。小蓝需要骑多久才能追上小黄？
（AI物流）一个仓储AGV（自动导引运输车）以每秒1米的速度沿轨道运送货物。10秒后，另一个速度更快的AGV以每秒1.5米的速度从同一起点出发去追赶前者，以便合并任务。快AGV需要多少秒追上慢AGV？追上时，它们离起点多远？
（航天科普）中国空间站（天宫）在距地面约400公里的轨道上，以每秒约7.68公里的速度绕地球飞行。一艘货运飞船从地面发射，为了与空间站对接，需要进入相近轨道并逐步追近。假设在最后阶段，飞船在空间站后方100公里处，且飞船轨道速度比空间站快0.1公里/秒。问飞船需要多少秒才能追上前100公里的距离？（本题忽略复杂变轨，只做理想直线追及计算）
（网购配送）上午9:00，A快递车从仓库出发，以平均每小时40公里的速度向某小区送货。上午9:30，仓库发现A车漏掉一个包裹，立即派出B摩托车以平均每小时60公里的速度去追A车并送达包裹。B车最快什么时候能追上A车？

参考答案与解析

【练习题答案】

时间 = \( 100 \div (70-50) = 5 \) 分钟。

相遇问题： \( 400 \div (6+4) = 40 \) 秒。追及问题： \( 400 \div (6-4) = 200 \) 秒。

时间 = \( 200 \div (30-20) = 20 \) 秒。

路程差 = \( 40 \times 10 = 400 \) 米，时间 = \( 400 \div (200-40) = 2.5 \) 分钟。

路程差 = \( 650 \times 2 = 1300 \) 千米，时间 = \( 1300 \div (800-650) \approx 8.67 \) 小时（或 \( \frac{26}{3} \) 小时）。

路程差 = \( 10 \times 60 = 600 \) 米，时间 = \( 600 \div (200-10) = \frac{600}{190} \approx 3.16 \) 分钟（或 \( \frac{60}{19} \) 分钟）。

时间 = \( 30 \div (90-70) = 1.5 \) 小时。

追及时间 = \( 150 \div (60-45) = 10 \) 小时，乙车路程 = \( 60 \times 10 = 600 \) 千米。

将队伍看作一个整体在移动，老师要追队伍最前头这个“点”。追及时间 = \( 120 \div (80-50) = 4 \) 分钟。

追及时间 = \( 50 \div (3-2.5) = 100 \) 秒，小王跑的路程 = \( 2.5 \times 100 = 250 \) 米。

【奥数挑战答案】

解析：设乙速为 \( v \) 米/秒，则甲速为 \( 1.5v \) 米/秒。同向追及时，速度差为 \( 0.5v \)，路程差为400米。由公式： \( 400 \div (0.5v) = \) 追及时间。但题目未给时间。实际上，已知“甲第一次追上乙时，甲比乙多跑了400米”是环形追及的结论。由“速度差×时间=路程差（400米）”和“乙的路程=乙速×时间”，可列方程。更直接：时间相同，甲路程是乙的1.5倍，且甲路程-乙路程=400。设乙跑了 \( s \) 米，则 \( 1.5s - s = 400 \)，得 \( s=800 \)，甲跑了1200米。时间 = \( 800 / v = 1200 / (1.5v) \)，可解得 \( v = \frac{800}{时间} \)。需要知道一圈时间？实际上，乙跑800米被追上，而一圈400米，说明乙跑了2圈。时间 = 乙跑2圈的时间 = \( 800 / v \)。同时，甲跑了3圈（1200米）。两人跑的时间相同： \( 800/v = 1200/(1.5v) \) 恒成立。缺少一个条件（如时间）才能求具体速度。原题可能隐含“甲第一次追上乙用了5分钟”之类条件。此处假设已知追及时间为 \( t \) 秒，则 \( v = 800/t \)， \( 1.5v = 1200/t \)。

参考答案与解析

答案：路程差为两列车长之和： \( 170 + 130 = 300 \) 米。速度差为 \( 23 - 18 = 5 \) 米/秒。时间 = \( 300 \div 5 = 60 \) 秒。

解析：小明追上小亮用时： \( 100 \div (6-4) = 50 \) 秒。此时小明跑了 \( 6 \times 50 = 300 \) 米，小亮跑了 \( 4 \times 50 = 200 \) 米。小明立即折返，速度不变。小明回到起点还需 \( 300 \div 6 = 50 \) 秒。在这后50秒里，小亮继续以4米/秒向前跑，又跑了 \( 4 \times 50 = 200 \) 米。所以当小明回到起点时，小亮的位置是从起点出发共跑了 \( 200 + 200 = 400 \) 米，因此离起点400米。

解析：设城周为 \( s \)，则甲速为 \( s/3 \)。设乙绕城一周需 \( t \) 小时，则乙速为 \( s/t \)。两人背向相遇，相遇时间为 \( s \div (s/3 + s/t) = 1 \div (1/3 + 1/t) = \frac{3t}{t+3} \) 小时。相遇时乙走了 \( (s/t) \times \frac{3t}{t+3} = \frac{3s}{t+3} \)。相遇后乙再用4小时走完剩下的路回到原点，说明相遇点距原点（出发地）乙还需走4小时，即距离为 \( 4 \times (s/t) = \frac{4s}{t} \)。这个距离应等于乙相遇前已走的路程（因为绕一圈回到起点）。所以 \( \frac{3s}{t+3} = \frac{4s}{t} \)。两边约去 \( s \)，得 \( \frac{3}{t+3} = \frac{4}{t} \)，解得 \( 3t = 4(t+3) \)， \( 3t = 4t + 12 \)， \( t = -12 \)？出现负数，说明逻辑有误。实际上，背向出发相遇后，乙继续走到原出发地，这段路程不一定是乙已走路程。正确关系：相遇后乙走4小时的路程，加上相遇前乙走的路程，正好等于城周长 \( s \)。即 \( \frac{3s}{t+3} + \frac{4s}{t} = s \)。两边除以 \( s \)，得 \( \frac{3}{t+3} + \frac{4}{t} = 1 \)。解方程：两边乘 \( t(t+3) \)： \( 3t + 4(t+3) = t(t+3) \)， \( 3t + 4t + 12 = t^2 + 3t \)， \( 7t + 12 = t^2 + 3t \)， \( t^2 - 4t - 12 = 0 \)， \( (t-6)(t+2)=0 \)，取正根 \( t=6 \)。所以乙绕城一周需6小时。

解析：摩托车出发时，步行人已领先：步行人速度4千米/时，摩托车追及时间1小时，速度差为 \( 30-4=26 \) 千米/时。所以路程差 = \( 26 \times 1 = 26 \) 千米。这26千米是步行人提前走出来的，所以他提前出发的时间为 \( 26 \div 4 = 6.5 \) 小时。

解析：设狗一步长为 \( L_d \)，则主人一步长为 \( 2L_d \)。狗跑三步的时间主人跑两步，设这个共同时间为 \( T \)。则狗速 = \( 3L_d / T \)，主人速 = \( 2 \times (2L_d) / T = 4L_d / T \)。速度差 = \( (4L_d - 3L_d) / T = L_d / T \)。狗先跑10步，路程差 = \( 10L_d \)。追及时间 = \( (10L_d) \div (L_d / T) = 10T \)。在这个时间内，主人跑的步数 = 主人跑的路程 ÷ 主人步长。主人路程 = 主人速 × 时间 = \( (4L_d / T) \times 10T = 40L_d \)。主人步数 = \( 40L_d \div (2L_d) = 20 \) 步。

解析：“火车完全离开”共8秒，这是火车车尾与人相遇（或追及）的过程。火车长144米。若行人与火车同向，则火车追行人，相对速度 = 火车速 - 人速，时间 = \( 144 \div (18 - v_{\text{人}}) = 8 \)，解得 \( 18 - v_{\text{人}} = 18 \)， \( v_{\text{人}} = 0 \)（静止）。若行人与火车反向，则为相遇，相对速度 = 火车速 + 人速，时间 = \( 144 \div (18 + v_{\text{人}}) = 8 \)，解得 \( 18 + v_{\text{人}} = 18 \)， \( v_{\text{人}} = 0 \)。所以无论同向反向，解出的行人速度都是0。题目可能默认行人静止站立。所以答案：行人速度为0（即静止）。

解析：设丙遇到乙时，用了 \( t \) 分钟。此时，乙丙合走了全程 \( s \)： \( s = (67.5+75) \times t = 142.5t \)。丙遇到甲时，用了 \( t+2 \) 分钟。此时，甲丙合走了全程 \( s \)： \( s = (60+75) \times (t+2) = 135 \times (t+2) \)。所以 \( 142.5t = 135(t+2) \)， \( 142.5t = 135t + 270 \)， \( 7.5t = 270 \)， \( t = 36 \)。代入得 \( s = 142.5 \times 36 = 5130 \) 米。

解析：设船在静水中速度为 \( v \) 千米/时。逆流速度 = \( v-4 \)，顺流速度 = \( v+4 \)。往返时间： \( \frac{112}{v-4} + \frac{112}{v+4} = 10 \)。解方程：两边除以2： \( \frac{56}{v-4} + \frac{56}{v+4} = 5 \)，通分： \( \frac{56(v+4) + 56(v-4)}{(v-4)(v+4)} = 5 \)， \( \frac{112v}{v^2-16} = 5 \)， \( 5v^2 - 80 = 112v \)， \( 5v^2 - 112v - 80 = 0 \)。解一元二次方程：判别式 \( \Delta = 112^2 + 4\*5\*80 = 12544 + 1600 = 14144 \)， \( \sqrt{\Delta} \approx 118.93 \)， \( v = \frac{112 \pm 118.93}{10} \)，取正根 \( v \approx \frac{230.93}{10} = 23.093 \) 千米/时。第二问：快艇静水速度30千米/时，顺流速度34千米/时，逆流速度26千米/时。往返时间 = \( \frac{112}{34} + \frac{112}{26} \approx 3.294 + 4.308 \approx 7.602 \) 小时。

【生活应用答案】

路程差 = \( 350 \times 0.5 = 175 \) 千米，速度差 = \( 350 - 250 = 100 \) 千米/时，时间 = \( 175 \div 100 = 1.75 \) 小时。

路程差 = \( 300 \times 5 = 1500 \) 米，速度差 = \( 300 - 200 = 100 \) 米/分，时间 = \( 1500 \div 100 = 15 \) 分钟。（注意：小蓝速度慢，永远追不上小黄。此题设计有误，应保证追的人速度更快。若小蓝骑电动车，速度更快才能追上。此处假设小蓝速度改为每分钟400米，则速度差100米/分，时间15分钟。原题数据错误，予以修正解析）

路程差 = \( 1 \times 10 = 10 \) 米，速度差 = \( 1.5 - 1 = 0.5 \) 米/秒，时间 = \( 10 \div 0.5 = 20 \) 秒。距离起点 = 快AGV路程 = \( 1.5 \times 20 = 30 \) 米。

路程差 = 100公里，速度差 = 0.1公里/秒，时间 = \( 100 \div 0.1 = 1000 \) 秒。

A车9:30出发时，已行驶 \( 40 \times 0.5 = 20 \) 千米。速度差 = \( 60 - 40 = 20 \) 千米/时。追及时间 = \( 20 \div 20 = 1 \) 小时。所以B车在9:30+1小时=10:30追上A车。

PDF 练习题打印版

下载 PDF 打印版

PDF 版本已就绪，可直接打印

行程追及问题解题技巧与经典例题详解：速度差与时间差公式推导 | 奥数应用题PDF下载

追及问题：基本公式

知识要点

易错点警示

例题精讲

练习题（10道）

奥数挑战（10道）

生活应用（5道）

参考答案与解析

【练习题答案】

【奥数挑战答案】

参考答案与解析

【生活应用答案】

📚 更多奥数解题技巧练习题

流水行船问题解法详解：顺水逆水船速水速公式与奥数题型解析

两车错车问题解析：公式、解题步骤与奥数练习题下载

火车过人问题解题技巧详解：公式、例题与练习题下载 | 奥数行程问题

鸟头模型解题技巧详解：面积倍数关系公式与练习题PDF下载

几何求周长解题技巧：平移法详解与练习题下载（含答案）

找次品问题解题技巧：三分法、公式与10道奥数练习题详解（含PDF下载）