行程问题之追及怎么学？奥数数学提分指南 | 星火网专项练习题库

💡 阿星精讲：行程问题之追及 原理

• 核心概念：想象一下你最喜欢的吃豆人游戏！后面的吃豆人（追击者）要追上前面乱跑的小鬼（被追者），关键是它俩的速度差。如果吃豆人每分钟比小鬼多走10米，那么每分钟，它们之间的距离就会缩短10米。原来的距离，就是你们之间的“安全区”。用速度差这个“大嘴”去“吃掉”这段安全距离，需要的时间就是：距离差 ÷ 速度差。所以，追及问题不是比谁跑得快，而是比谁“吃”得快！
• 阿星口诀：要解追及不用慌，速度差是万能枪。原距除以速度差，所求时间里面藏。同地出发是基础，注意时差和方向。
• 公式推导：
  设追击者速度为 \( v_1 \)，被追者速度为 \( v_2 \) （且 \( v_1 > v_2 \)），初始距离差为 \( S \)。
  1. 追击者相对于被追者的速度（即每分钟能“吃掉”的距离）为：$$ v_{\text{差}} = v_1 - v_2 $$
  2. 要追及，需要“吃掉”全部初始距离 \( S \)，所以所需时间 \( t \) 为：$$ t = \frac{S}{v_{\text{差}}} = \frac{S}{v_1 - v_2} $$
  3. 在时间 \( t \) 内，追击者走的路程为：$$ S_1 = v_1 \times t = \frac{v_1 \cdot S}{v_1 - v_2} $$

📐 图形解析（行程问题之追及 可视化）

【图形思路：用一个数轴表示道路，用两个点表示龟和兔，用带箭头的线段表示它们运动的方向和速度，重点标出“初始距离”和“速度差”缩短距离的过程。】

⚠️ 易错警示：星火避坑指南

🔥 经典题型：三阶通关

🚀 课后挑战

• 青铜挑战（基础）：甲、乙两人相距 12 千米，甲每小时走 5 千米，乙每小时走 4 千米。两人同时相向而行，几小时相遇？如果乙先出发2小时，甲才出发去追乙，几小时能追上？
• 王者挑战（拓展）：在 400 米环形跑道上，A、B两点相距 100 米。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米。请问，甲第一次追上乙时，甲跑了多少米？

🤔 专家问答 FAQ

参考答案

• 青铜挑战：
  1. 相遇：速度和为 9 千米/时，时间 = \( 12 / 9 = \frac{4}{3} \) 小时。
  2. 追及：乙先走2小时，距离差 \( S = 4 \times 2 = 8 \) 千米。速度差 \( v_{\text{差}} = 5 - 4 = 1 \) 千米/时。时间 = \( 8 / 1 = 8 \) 小时。
• 王者挑战： 甲要追上乙，必须比乙多跑“AB两点间的距离”100米。速度差为 1 米/秒。所以追及时间 \( t = 100 / 1 = 100 \) 秒。甲跑的路程 = \( 5 \times 100 = 500 \) 米。