行程问题深度解析：相遇追及公式与解题技巧全攻略专项练习题库
适用年级
初一
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-21
💡 阿星精讲：行程问题 原理
- 核心概念：欢迎来到阿星的“物理”数学课！今天我们不研究牛顿，但要用点他的智慧。行程问题的核心公式 \( s = v \times t \)（路程 = 速度 × 时间），就像一个稳固的“铁三角”，知道任意两个，就能求出第三个。
来听听阿星的绝妙比喻：把速度想象成“力”。当两个人相向而行（相遇问题）时，他们都在努力靠近对方，此时他们的速度是
“合力”！总速度就是他们的速度相加 \( v_{\text{合}} = v_1 + v_2 \)，所以“合力”越大，相遇时间越短。当一个人从后面追赶另一个人（追及问题）时，只有快的那个人比慢的多出来的那份速度在真正起作用，这多出来的速度就是
“差力”**！有效速度是他们的速度相减 \( v_{\text{差}} = v_{\text{快}} - v_{\text{慢}} \)， “差力”越大，追上所需时间越短。 - 计算秘籍：
- 画图定关系：用线段图表示路程、起点和方向，这是解题的“导航地图”。
- 识别模型：是“合力”相遇，还是“差力”追及？或是绕圈跑？
- 抓住等量：相遇问题的等量关系通常是“路程和 = 总路程”；追及问题的等量关系通常是“路程差 = 初始距离”。
- 列出方程：根据公式 \( s = v \times t \) 和等量关系，用 \( x \) 表示未知数，建立方程。例如，相遇：\( v_1 t + v_2 t = s_{\text{总}} \)。
- 求解检验：解方程，并检查答案是否符合实际（比如时间不能为负）。
- 阿星口诀：行程问题画线段，合力相遇差力赶。速度时间乘出路，等量关系是关键。
📐 图形解析
相遇与追及的“力”学图解：
核心公式：相遇总速度 \( v_{\text{合}} = v_1 + v_2 \)，追及有效速度 \( v_{\text{差}} = v_{\text{快}} - v_{\text{慢}} \)。
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：单位不统一就直接计算。例如，速度是米/秒，时间是分钟，路程是千米。
✅ 正解：计算前务必统一单位。记住阿星的话：“一家人（单位）要整整齐齐。” 通常将所有单位转化为国际主单位或题目中最终要求的目标单位。 - ❌ 错误2：在复杂的“相遇后又追及”问题中，混淆不同阶段的速度和与速度差。
✅ 正解：严格分阶段画图。第一阶段用“合力”模型分析相遇，第二阶段用“差力”模型分析追及。每个阶段的时间、路程关系要理清。
🔥 三例题精讲
例题1：阿星和小明分别从相距 \( 600 \) 米的A、B两地同时出发，相向而行。阿星速度是 \( 2 \) 米/秒，小明速度是 \( 3 \) 米/秒。请问他们多久后相遇？
📌 解析：这是经典的“合力”相遇问题。
- 识别模型：相向而行，速度是合力。\( v_{\text{合}} = v_{\text{星}} + v_{\text{明}} = 2 + 3 = 5 \) (米/秒)。
- 建立关系：相遇时，两人走过的路程和等于总距离。设相遇时间为 \( t \) 秒。公式：\( v_{\text{合}} \times t = s_{\text{总}} \)。
- 列方程求解： \( 5 \times t = 600 \)，解得 \( t = \frac{600}{5} = 120 \) (秒)。
✅ 总结：相遇问题，找“合力”，用“路程和”。
例题2：阿星先行出发 \( 5 \) 分钟后，小明以 \( 80 \) 米/分的速度从同一地点沿同一路线追赶。已知阿星速度是 \( 60 \) 米/分，小明需要多久能追上？
📌 解析：这是典型的“差力”追及问题。
- 识别模型：同向追赶，速度是差力。\( v_{\text{差}} = v_{\text{明}} - v_{\text{星}} = 80 - 60 = 20 \) (米/分)。
- 确定初始距离（路程差）：阿星先走5分钟，领先路程 \( s_{\text{差}} = v_{\text{星}} \times t_{\text{先}} = 60 \times 5 = 300 \) (米)。
- 建立关系：追上时，小明比阿星多走的路程正好等于初始距离。设追及时间为 \( t \) 分钟。公式：\( v_{\text{差}} \times t = s_{\text{差}} \)。
- 列方程求解： \( 20 \times t = 300 \)，解得 \( t = 15 \) (分钟)。
✅ 总结：追及问题，找“差力”，用“路程差”。关键是算准一开始两人之间的距离差。
例题3：阿星和小明在一条 \( 400 \) 米的环形跑道上练习。他们从同一地点同时反向出发（阿星逆时针，小明顺时针），阿星速度 \( 5 \) 米/秒，小明速度 \( 3 \) 米/秒。当他们第 \( 10 \) 次相遇时，阿星跑了多少米？
📌 解析：这是环形跑道上的“合力”相遇问题。
- 识别模型：环形、反向、相遇。每次相遇，两人路程之和等于一圈的长度（周长）。
- 分析第N次相遇：第 \( 10 \) 次相遇时，他们共同跑过的总路程是 \( 10 \) 个周长。即 \( s_{\text{星}} + s_{\text{明}} = 10 \times C = 10 \times 400 = 4000 \) (米)。
- 利用速度比求个人路程：他们同时出发到第10次相遇，所用时间相同。路程比等于速度比：\( \frac{s_{\text{星}}}{s_{\text{明}}} = \frac{v_{\text{星}}}{v_{\text{明}}} = \frac{5}{3} \)。设阿星路程为 \( 5k \) 米，小明路程为 \( 3k \) 米。
- 列方程求解： \( 5k + 3k = 4000 \)，解得 \( k = 500 \)。所以阿星的路程 \( s_{\text{星}} = 5 \times 500 = 2500 \) (米)。
✅ 总结：环形反向遇，路程和是核心（\( nC \)）。时间相同，巧用速度比分配总路程。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 小红以 \( 4 \) 千米/小时的速度步行上学，花了 \( 0.75 \) 小时。她家离学校多远？
- 一辆汽车 \( 3 \) 小时行驶了 \( 240 \) 公里，它的平均速度是多少？
- 甲乙两地相距 \( 150 \) 公里，一辆车从甲地到乙地用 \( 2.5 \) 小时，返回时用了 \( 3 \) 小时。这辆车往返的平均速度是多少？（提示：平均速度 = 总路程 / 总时间）
- 小刚和小强从桥的两端相向而行，小刚速度 \( 70 \) 米/分，小强速度 \( 80 \) 米/分，\( 2 \) 分钟后相遇。桥长多少米？
- 阿星骑自行车，每分钟行 \( 250 \) 米。他需要多长时间才能骑完 \( 5 \) 公里？（注意单位）
- 一列火车长 \( 200 \) 米，以 \( 20 \) 米/秒的速度通过一座长 \( 800 \) 米的大桥，需要多少秒？（提示：火车过桥路程 = 车长 + 桥长）
- 小明在前面 \( 100 \) 米处，以 \( 2 \) 米/秒步行，阿星在后面以 \( 5 \) 米/秒追赶。多少秒后追上？
- 两人环形跑道同向跑步，快者速度 \( 6 \) 米/秒，慢者 \( 4 \) 米/秒，跑道一圈 \( 300 \) 米。快者第一次追上慢者需要多少秒？（提示：追及路程差是一圈）
- 甲乙两车同时从相距 \( 540 \) 千米的两地相向开出，甲车速度 \( 80 \) 千米/时，乙车速度 \( 70 \) 千米/时。几小时后两车还相距 \( 90 \) 千米？（提示：有两种情况，未相遇和相遇后）
- 一艘轮船在静水中的速度是 \( 25 \) 千米/时，水流速度是 \( 5 \) 千米/时。它从A码头到B码头顺流而下用了 \( 4 \) 小时，A、B码头相距多远？返回需要几小时？
第二关：中考挑战（10道）
- （相遇+追及综合）甲、乙两人从A地出发前往B地。甲先行 \( 10 \) 分钟，乙才出发。乙出发 \( 20 \) 分钟后，在途中某地追上了甲；乙到达B地后立即返回，在离B地 \( 2 \) 千米处又与甲相遇。已知甲、乙速度之比为 \( 3:4 \)，求A、B两地距离。
- （环形多次相遇）在 \( 300 \) 米环形跑道上，甲、乙两人同时同地同向起跑，甲速 \( 6 \) 米/秒，乙速 \( 4 \) 米/秒。当他们第 \( 5 \) 次并肩（即甲第5次追上乙）时，甲一共跑了多少米？
- （方程应用）一列匀速前进的火车，从它进入 \( 600 \) 米的隧道到完全离开，共需 \( 30 \) 秒；隧道顶部一盏固定的灯在火车上照射了 \( 10 \) 秒。求火车的长度和速度。
- （上下坡问题）从山脚到山顶的路程为 \( 12 \) 千米。某人上山的速度是 \( 3 \) 千米/时，下山的速度是 \( 5 \) 千米/时。求他上、下山的平均速度。
- （比例行程）甲、乙两车分别从A、B两城相对开出，经过 \( 5 \) 小时相遇，然后各自继续前行 \( 3 \) 小时，此时甲车离B城还有 \( 160 \) 千米，乙车离A城还有 \( 200 \) 千米。求A、B两城相距多少千米。
- （变速问题）某人从甲地到乙地，先以 \( 6 \) 千米/时的速度步行一半路程，然后搭乘速度为 \( 24 \) 千米/时的汽车到达乙地。他全程的平均速度是多少？
- （钟表问题）在 \( 3 \) 点和 \( 4 \) 点之间，钟表上的时针和分针在什么时候重合？
- （流水行船）一艘船往返于A、B两码头之间。已知船在静水中的速度为 \( 20 \) 千米/时，两个码头间的水路长为 \( 60 \) 千米。若水流速度导致往返一次的时间比在静水中往返一次的时间多 \( 1 \) 小时，求水流速度。
- （队伍行进）一支 \( 180 \) 米长的队伍以每分钟 \( 60 \) 米的速度行进。队尾的通讯员要以每分钟 \( 100 \) 米的速度将命令送到队首，然后立即返回队尾。通讯员共需要多少时间？
- （动态规划）甲、乙、丙三人，甲每分钟走 \( 80 \) 米，乙每分钟走 \( 70 \) 米，丙每分钟走 \( 60 \) 米。甲从A地，乙、丙从B地同时出发相向而行。甲和乙相遇后，过了 \( 5 \) 分钟又和丙相遇。求A、B两地距离。
第三关：生活应用（5道）
- （导航规划）你用手机地图查到从家到博物馆有两条主要路线：路线A全长 \( 18 \) 公里，预计平均时速 \( 36 \) 公里（城市道路）；路线B全长 \( 25 \) 公里，预计平均时速 \( 75 \) 公里（高速）。为了节省时间，你应该选择哪条路线？能节省多少分钟？
- （工程进度）两台挖掘机共同挖掘一段沟渠。A机单独挖需要 \( 10 \) 天，B机单独挖需要 \( 15 \) 天。如果两台挖掘机合作，几天可以挖完？请用“工作总量 = 工作效率 × 工作时间”的模型思考，这与行程问题有何相似之处？
- （数据传输）一个大小为 \( 2.5 \) GB（1GB = 1024 MB）的文件，通过带宽为 \( 100 \) Mbps（兆比特每秒）的网络下载。已知 \( 1 \) 字节(Byte) = \( 8 \) 比特(bit)。理论上，下载这个文件大约需要多少分钟？（结果取整数）
- （运动科学）在 \( 400 \) 米标准跑道上进行 \( 4 \times 100 \) 米接力。第二棒运动员的起跑位置（预跑区）在第一棒运动员将要到达时启动。已知第一棒运动员最快速度约为 \( 9 \) 米/秒，第二棒运动员启动加速度阶段平均速度约为 \( 6 \) 米/秒。为了保证交接棒时速度匹配且不超出接力区，第二棒运动员应在第一棒运动员到达其身后多少米时开始启动？（简化计算，忽略交接动作时间）
- （经济成本）某物流公司有两种运输方案：方案一，用一辆大货车，时速 \( 80 \) 公里，每公里油耗成本 \( 3 \) 元；方案二，用两辆小货车，时速 \( 100 \) 公里，每辆车每公里油耗成本 \( 1.8 \) 元。现需将一批货物从 \( 300 \) 公里外的仓库运回。除了油耗，还需考虑司机工时成本（大车司机 \( 300 \) 元/小时，小车司机 \( 200 \) 元/小时/辆）。仅从油耗和工时成本看，哪个方案总成本更低？
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：行程问题 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：行程问题的难点在于其高度情境化和动态过程抽象化。学生往往卡在无法将文字描述的“甲先走…乙后追…相遇后又返回…”等复杂过程，转化为清晰的数学关系图（线段图或行程图）。其次，是等量关系的寻找：到底是利用“路程和”还是“路程差”？这需要对“相遇”（合力）和“追及”（差力）模型有本质理解。最后，单位换算、多对象多阶段的分析也增加了复杂度。克服它的关键在于“图形化思考”和“分阶段拆解”。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：行程问题是方程思想和数学模型的绝佳启蒙。它教会你如何从实际问题中抽象出变量（速度、时间、路程），并建立它们之间的等量关系 \( s = vt \) 及其变形式。这种“寻找等量关系列方程”的能力，是未来学习一元一次方程、二元一次方程组、分式方程乃至函数应用的核心基础。此外，环形相遇追及问题中的周期性思想（\( s_{\text{和}} = nC \)），与以后物理中的波动、圆周运动，数学中的周期函数都有内在联系。可以说，学好行程问题，就为中学理科的“应用建模”能力打下了第一块坚实的基石。
问：有什么一招必胜的解题"套路"吗？
答：如果说有“套路”，那就是一个清晰的解题流程，而不是一个万能公式：
1. 画图：用线段标出所有对象、起点、方向、距离和关键点。
2. 设元：设未知数（通常设时间为 \( t \)）。
3. 表量：用含 \( t \) 的式子表示每个对象的路程。
4. 找等：根据题目关键词（“相遇”、“追及”、“相距xx千米”、“提前/迟到”等）找出等量关系。牢记核心模型：相遇：\( s_1 + s_2 = s_{\text{总}} \)，追及：\( s_{\text{快}} - s_{\text{慢}} = s_{\text{初差}} \)。
5. 列解验：列出方程，求解，并检验答案的合理性。
坚持按这个流程思考，就能将复杂问题拆解成可执行的步骤，大大提升解题成功率。
答案与解析
第一关：基础热身
- 解析：直接套用公式。\( s = v \times t = 4 \times 0.75 = 3 \) (千米)。
- 解析：\( v = \frac{s}{t} = \frac{240}{3} = 80 \) (公里/小时)。
- 解析：总路程 \( = 150 \times 2 = 300 \) (公里)，总时间 \( = 2.5 + 3 = 5.5 \) (小时)。平均速度 \( = \frac{300}{5.5} \approx 54.55 \) (公里/小时)。
- 解析：相遇问题用“合力”。\( v_{\text{合}} = 70 + 80 = 150 \) (米/分)。桥长 \( s = v_{\text{合}} \times t = 150 \times 2 = 300 \) (米)。
- 解析：\( 5 \) 公里 \( = 5000 \) 米。\( t = \frac{s}{v} = \frac{5000}{250} = 20 \) (分钟)。
- 解析：火车过桥总路程 \( = 200 + 800 = 1000 \) (米)。\( t = \frac{s}{v} = \frac{1000}{20} = 50 \) (秒)。
- 解析：追及问题用“差力”。\( v_{\text{差}} = 5 - 2 = 3 \) (米/秒)。\( t = \frac{s_{\text{差}}}{v_{\text{差}}} = \frac{100}{3} \approx 33.33 \) (秒)。
- 解析：环形同向追及，路程差为一圈。\( v_{\text{差}} = 6 - 4 = 2 \) (米/秒)。\( t = \frac{s_{\text{差}}}{v_{\text{差}}} = \frac{300}{2} = 150 \) (秒)。
- 解析：分两种情况。
情况一（未相遇）： \( (80+70) \times t = 540 - 90 \)， \( 150t = 450 \)， \( t = 3 \) 小时。
情况二（相遇后）： \( (80+70) \times t = 540 + 90 \)， \( 150t = 630 \)， \( t = 4.2 \) 小时。 - 解析：顺水速度 \( = 25 + 5 = 30 \) (千米/时)。距离 \( s = 30 \times 4 = 120 \) (千米)。逆水速度 \( = 25 - 5 = 20 \) (千米/时)。返回时间 \( t = \frac{120}{20} = 6 \) (小时)。
（注：第二关、第三关为挑战题，解析从略，鼓励学生深度思考或寻求老师讨论。）
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