行程问题追及与相遇题型全解析 画线段图解题方法深度讲解专项练习题库

💡 阿星精讲：行程问题 原理

• 核心概念：想象一下，你和你朋友在一条直路上运动，就像两个小人在赛跑。行程问题的核心就是研究这两个小人之间的“空间关系”如何随时间变化。主要有两大经典剧情：“追及”（一个快小人从后面追慢小人）和“相遇”（两个小人从两头面对面走来）。这一切都基于一个魔法公式：路程 = 速度 × 时间，阿星称之为“解题万能钥匙”。而把抽象的剧情画成直观的“线段图”，就是帮你看清所有关系的“解题神器”！
• 计算秘籍：
  • 相遇问题：总路程 = 速度和 × 相遇时间 → \( S_{总} = (v_1 + v_2) \times t_{遇} \)
  • 追及问题：路程差 = 速度差 × 追及时间 → \( S_{差} = (v_{快} - v_{慢}) \times t_{追} \)
  • 解题三步法：1. 设未知数（通常是时间 \( t \) 或速度 \( v \)）。2. 根据题意和线段图，找出等量关系（通常是路程相等或路程差已知）。3. 列出方程 \( \) 并求解。
• 阿星口诀：相遇速度和，追及速度差；画好线段图，等量关系抓。

📐 图形解析

让我们用线段图把“追及”和“相遇”剧情可视化：

相遇问题模型：总路程是两段路程之和。\( S_{总} = S_甲 + S_乙 = v_甲 \times t + v_乙 \times t \)

追及问题模型：追上前，两人路程差就是初始距离差。\( S_{差} = S_{快} - S_{慢} = (v_{快} - v_{慢}) \times t \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：混淆“速度和”与“速度差”。相遇用加，追及用减，傻傻分不清。
  ✅ 正解：紧盯运动方向！相向而行（面对面）用速度和，因为他们在共同缩短距离；同向而行（一前一后）用速度差，因为快者只能以相对慢的速度去缩短差距。
• ❌ 错误2：单位不统一。题目中速度是千米/时，时间是分钟，直接代入公式计算。
  ✅ 正解：计算前必须统一单位！通常将分钟化为小时（除以60），或将千米/时化为米/分（乘以 \( \frac{1000}{60} \)）。养成先统一单位再列式的好习惯。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 小红以 \( 4 \) 米/秒的速度步行去学校，\( 15 \) 分钟后到达。她家离学校多远？（注意单位换算）
2. 两列火车从相距 \( 570 \) 千米的两地同时相对开出。甲车速度 \( 110 \) 千米/时，乙车速度 \( 80 \) 千米/时。几小时后相遇？
3. 阿星骑车速度是 \( 250 \) 米/分，小明步行速度是 \( 80 \) 米/分。阿星在小明后面 \( 1700 \) 米，同时同向出发。阿星几分钟追上小明？
4. 兄妹二人在周长 \( 300 \) 米的圆形花坛边玩。妹妹每分钟走 \( 40 \) 米，哥哥每分钟走 \( 60 \) 米。他们从同一地点同时同向出发，哥哥第一次追上妹妹需要多久？
5. 甲、乙两地相距 \( 54 \) 千米。张飞从甲地步行去乙地，每小时走 \( 5 \) 千米；关羽从乙地骑自行车去甲地，速度是 \( 13 \) 千米/时。两人同时出发，几小时后相遇？相遇点距甲地多远？
6. 一艘轮船在静水中的速度是 \( 20 \) 千米/时，水流速度是 \( 3 \) 千米/时。该船从A码头顺流而下到B码头用了 \( 4 \) 小时。求A、B两码头间的距离。
7. 阿星从家到图书馆，如果每分钟走 \( 70 \) 米，可以提前 \( 5 \) 分钟到；如果每分钟走 \( 50 \) 米，则要迟到 \( 3 \) 分钟。阿星家到图书馆的路程是多少米？
8. 小明和小华在环形跑道上跑步。小明跑一圈要 \( 8 \) 分钟，小华跑一圈要 \( 12 \) 分钟。如果他们从同一地点同时同向出发，多少分钟后两人第一次在起点相遇？
9. 一辆汽车前 \( 2 \) 小时行驶了 \( 120 \) 千米，后 \( 3 \) 小时行驶了 \( 180 \) 千米。这辆汽车全程的平均速度是多少千米/时？
10. 甲、乙两人从A地到B地。甲的速度是 \( 10 \) 千米/时，乙的速度是 \( 8 \) 千米/时。甲比乙晚出发 \( 1 \) 小时，结果两人同时到达B地。求A、B两地的距离。

第二关：中考挑战（10道）

1. （相遇+追及综合）甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，相遇后甲用 \( 2 \) 小时到达B地，乙用 \( 4.5 \) 小时到达A地。问甲、乙两人速度之比是多少？
2. （流水行船）一艘船往返于A、B两码头之间。顺水速度是 \( 30 \) 千米/时，逆水速度是 \( 20 \) 千米/时。求船在静水中的速度和水流速度。
3. （环形多次追及）在 \( 400 \) 米环形跑道上，甲、乙两人同时同地同向跑步。甲速为 \( 6 \) 米/秒，乙速为 \( 4 \) 米/秒。甲第 \( 5 \) 次追上乙时，乙一共跑了多少米？
4. （车过桥/隧道）一列火车通过一座长 \( 1200 \) 米的大桥用了 \( 50 \) 秒，以同样速度通过一座长 \( 800 \) 米的隧道用了 \( 35 \) 秒。求这列火车的长度和速度。
5. （往返相遇）甲、乙两人在一条长 \( 100 \) 米的直道上往返跑步。甲的速度是 \( 6 \) 米/秒，乙的速度是 \( 4 \) 米/秒。如果他们同时从两端出发，不计转向时间，那么 \( 10 \) 分钟内他们共相遇多少次？
6. （变速问题）某人从山脚上山到山顶，速度为 \( 2 \) 千米/时，从山顶原路下山，速度为 \( 3 \) 千米/时。求他上下山的平均速度。（不是 \( (2+3)/2 \) 哦！）
7. （发车间隔）公交车以匀速行驶，每隔相同时间发一辆车。有人沿公交车线路匀速行走，他发现每隔 \( 6 \) 分钟从后面开来一辆公交车，每隔 \( 4 \) 分钟迎面遇到一辆公交车。求公交车的发车间隔时间。
8. （方程思想）A、B两站相距 \( 450 \) 千米。一列慢车从A站出发，速度为 \( 60 \) 千米/时；一列快车从B站出发，速度为 \( 90 \) 千米/时。两车同时开出，相向而行。问多少小时后，两车相距 \( 150 \) 千米？（注意：有两解）
9. （比例法）甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，相遇时，甲、乙所行路程比是 \( 3:2 \)。相遇后，甲的速度提高 \( 20\% \)，乙的速度提高 \( 30\% \)，甲到达B地时，乙离A地还有 \( 28 \) 千米。求A、B两地的全程。
10. （时钟问题）在 \( 3 \) 点和 \( 4 \) 点之间，钟表上的分针和时针在什么时刻重合？

第三关：生活应用（5道）

1. （工程队协作）两个工程队要铺设一段 \( 12 \) 千米的光缆。甲队每天铺设 \( 500 \) 米，乙队每天铺设 \( 700 \) 米。甲队先单独工作 \( 3 \) 天后，两队合作，还需多少天才能完成任务？
2. （无人机追拍）一架无人机A在 \( 200 \) 米高度以 \( 10 \) 米/秒的速度水平飞行。另一架无人机B从地面垂直起飞，以 \( 15 \) 米/秒的速度追赶A。假设B起飞时，A正好在其正上方。问B起飞后多久能追上A？（考虑实际位移差）
3. （接力赛跑）在 \( 4 \times 100 \) 米接力赛中，交接棒必须在 \( 20 \) 米的接力区内完成。已知接棒运动员起跑时的速度为 \( 8 \) 米/秒，交棒运动员在接力区始端的速度为 \( 10 \) 米/秒。若他们要完成交接，交棒运动员最多能在接棒运动员起跑后多久追上他？（提示：这是追及问题，但初始距离是变化的）
4. （地铁间隔）地铁列车以恒定速度在相邻两站间运行。测得相邻两列同向列车到达同一站台的时间间隔为 \( 4 \) 分钟。如果你在站台上随机时刻等候，平均需要等待多久才能坐上下一班车？
5. （物资调运）A、B两个救灾物资仓库相距 \( 300 \) 千米。A库有物资 \( 90 \) 吨，B库有物资 \( 60 \) 吨。现需要将物资集中到一个仓库。一辆载重 \( 30 \) 吨的卡车从A库出发到B库运送物资，速度为 \( 60 \) 千米/时，装卸货时间各需 \( 0.5 \) 小时。问将所有物资集中到A库最少需要多少小时？（提示：卡车需要多次往返）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关答案精选解析：

1. 解析：\( 15 \) 分钟 = \( 0.25 \) 小时。路程 \( S = 4 \times 0.25 = 1 \)（千米）。或 \( 15 \) 分钟 = \( 900 \) 秒， \( S = 4 \times 900 = 3600 \) 米 = \( 3.6 \) 千米。（注意单位统一）
2. 解析：相遇时间 \( t = \frac{570}{110+80} = \frac{570}{190} = 3 \)（小时）。
3. 解析：追及时间 \( t = \frac{1700}{250-80} = \frac{1700}{170} = 10 \)（分钟）。
4. 解析：追及时间 \( t = \frac{300}{60-40} = \frac{300}{20} = 15 \)（分钟）。
5. 解析：相遇时间 \( t = \frac{54}{5+13} = 3 \)（小时）。距甲地距离为张飞的路程：\( 5 \times 3 = 15 \)（千米）。
6. 解析：顺水速度 \( = 20+3 = 23 \) 千米/时。距离 \( S = 23 \times 4 = 92 \)（千米）。
7. 解析：设准时到达需要时间 \( t \) 分钟。路程相等：\( 70(t-5) = 50(t+3) \)。解得 \( t = 25 \)。路程为 \( 70 \times (25-5) = 1400 \)（米）。
8. 解析：此题求最小公倍数时间。小明每圈 \( 8 \) 分，小华每圈 \( 12 \) 分。\( [8, 12] = 24 \)。所以 \( 24 \) 分钟后两人第一次在起点相遇。
9. 解析：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间 = \( (120+180) \div (2+3) = 300 \div 5 = 60 \)（千米/时）。
10. 解析：设A、B距离为 \( S \) 千米。甲用时 \( \frac{S}{10} \)，乙用时 \( \frac{S}{8} \)。由题意 \( \frac{S}{8} - \frac{S}{10} = 1 \)。解得 \( S = 40 \)（千米）。

（第二关、第三关答案及详细解析因篇幅所限，可由老师或系统后续提供。）