行程问题s-t图和v-t图深度解析：看轴看拐点解题秘籍与中考真题专项练习题库

💡 阿星精讲：行程 原理

• 核心概念：想象你是一名侦探，而“行程图”就是案发现场的监控录像。阿星：看轴！这是你的第一要务。横轴永远是时间 \( t \)，它就像录像带的播放进度条。纵轴呢？它可能是路程 \( s \)，也可能是速度 \( v \)，这决定了你看的是什么“频道”！路程-时间图 \( s\text{-}t \) 告诉你“位置故事”，速度-时间图 \( v\text{-}t \) 告诉你“活力故事”。图像上的每一个“拐点”，都是一个关键剧情转折——从匀速到加速，从运动到停止，状态在此改变！
• 计算秘籍：
  1. 识图定轴：先看纵轴标签，确定是 \( s\text{-}t \) 图还是 \( v\text{-}t \) 图。
  2. 拐点分段：用虚线标出每个拐点对应的时间，将整个运动分成若干“匀速阶段”。
  3. 看图说话：
     • 在 \( s\text{-}t \) 图中，斜率 = 速度。直线越陡（斜率 \( k \) 的绝对值越大），速度越快。\( v = k = \frac{\Delta s}{\Delta t} \)。水平线代表静止 (\( v=0 \))。
     • 在 \( v\text{-}t \) 图中，图形面积 = 路程。时间段内图线与横轴围成的面积（梯形、矩形等），其数值就等于走过的路程 \( s \)。水平线代表匀速。
  4. 列式求解：根据题目问题，利用公式 \( s = v \times t \)、\( v = \frac{s}{t} \)、\( t = \frac{s}{v} \) 或图形特征建立方程。
• 阿星口诀：横时竖路先看清，拐点状态必变更。斜率高来速度大，面积之和是路程。

📐 图形解析

让我们通过两个核心的SVG图形，直观理解“看轴”与“拐点”。

路程-时间图 (s-t) 解析： 斜率代表速度 \( v \)。线段 \( OA \) 斜率 \( k_{OA} = \frac{80}{2} = 40 \)。

图中：

• O→A (0~2小时)： 路程从0到80km，匀速运动。速度 \( v_1 = \frac{80-0}{2-0} = 40 \) km/h。
• A→B (2~3小时)： 路程不变（水平线），代表静止。速度 \( v_2 = 0 \)。
• B→C (3~5小时)： 路程从80km增加到160km，匀速运动。速度 \( v_3 = \frac{160-80}{5-3} = 40 \) km/h。
• C→D (5~6小时)： 路程不变，再次静止。

速度-时间图 (v-t) 解析： 阴影面积代表路程 \( s \)。总路程 \( s_{总} = S_{矩形1} + S_{矩形2} = 60 \times 2 + 30 \times 3 \)。

图中：

• 0~2小时： 以 \( v_1 = 60 \) km/h 匀速运动。路程 \( s_1 = 60 \times 2 = 120 \) km。
• 2~5小时： 以 \( v_2 = 30 \) km/h 匀速运动。路程 \( s_2 = 30 \times 3 = 90 \) km。
• 总路程： \( s_{总} = s_1 + s_2 = 120 + 90 = 210 \) km。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：不看纵轴，把 \( s\text{-}t \) 图当成 \( v\text{-}t \) 图，用“面积”去求路程。
  ✅ 正解： 牢记“纵轴定乾坤”。只有 \( v\text{-}t \) 图的面积才表示路程。在 \( s\text{-}t \) 图中，应通过“斜率”求速度。
• ❌ 错误2：在 \( s\text{-}t \) 图中，看到“线段下降”就认为是“反向运动”，但忽略坐标正负。
  ✅ 正解： “下降”只表示路程 \( s \) 在减小（可能返回起点）。要判断方向，需结合起点和终点坐标。若 \( s \) 始终为正，下降表示向起点移动；若纵轴 \( s \) 有正负，则下降穿过横轴可能代表运动反向。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 根据给定的简单 \( s\text{-}t \) 图（一条从原点出发的斜线），求物体的运动速度。
2. 根据给定的 \( v\text{-}t \) 图（一条水平线），求在 \( t \) 时间内物体运动的路程。
3. 小美以 \( 5 \) m/s的速度匀速跑了 \( 100 \) 米，画出她的 \( s\text{-}t \) 图示意图。
4. 汽车以 \( 80 \) km/h的速度行驶了 \( 0.5 \) 小时，画出 \( v\text{-}t \) 图并求路程。
5. 判断：在 \( s\text{-}t \) 图中，曲线表示物体做变速运动。（ ）
6. 判断：在 \( v\text{-}t \) 图中，图线在横轴下方表示物体在向后运动。（ ）
7. 看图（一个两段折线的 \( s\text{-}t \) 图，一段斜向上，一段水平）填空：物体在第______段静止。
8. 一个 \( v\text{-}t \) 图由两个矩形组成，第一个高 \( 10 \)，宽 \( 2 \)；第二个高 \( 5 \)，宽 \( 3 \)（单位：m/s, s）。求总路程。
9. 甲、乙都在做匀速直线运动，甲的 \( s\text{-}t \) 图斜率比乙的大，谁的速度快？
10. 描述：一个 \( s\text{-}t \) 图是一条从左上到右下的直线，这表示物体在做什么运动？

第二关：中考挑战（10道）

1. （相遇问题）A、B两地相距 \( 180 \) km，甲车从A地，乙车从B地同时出发相向而行。两车的 \( s\text{-}t \) 图相交于 \( (2, 100) \)。求两车速度。
2. （追及问题）甲、乙同向而行，甲在乙前面 \( 100 \) m。两人 \( s\text{-}t \) 图均为直线，甲线斜率 \( 4 \)，乙线斜率 \( 5 \) (m/s)。问多久后乙追上甲？
3. （分段行程）某人开车上班，其 \( v\text{-}t \) 图显示：0-10min以 \( 30 \) km/h行驶，10-15min停车，15-25min以 \( 40 \) km/h行驶。求他家到公司的距离。
4. （图像转换）已知匀速运动的 \( s\text{-}t \) 图是一条过原点的直线，请画出对应的 \( v\text{-}t \) 图。
5. （多物体）龟兔赛跑的 \( s\text{-}t \) 图如图所示（兔有水平段），问：兔子睡了多久？比赛结果谁赢了？
6. （平均速度）物体先以 \( v_1 \) 运动 \( t_1 \) 时间，再以 \( v_2 \) 运动 \( t_2 \) 时间。求整个过程的平均速度。（用 \( v_1, v_2, t_1, t_2 \) 表示）
7. （图像判断）下列四个 \( s\text{-}t \) 图中，哪一个表示物体运动最快？
8. （综合）甲、乙从同一地点出发，甲的 \( s\text{-}t \) 图是 \( s=4t \)，乙的 \( s\text{-}t \) 图是 \( s=2t+5 \) (\( s \) 单位：m, \( t \) 单位：s)。问：乙是否在甲出发时同时出发？出发时乙在甲前面多远？甲能否追上乙？
9. （实际应用）出租车收费 \( s\text{-}t \) 图：起步价包含 \( 3 \) km，之后每公里单价固定。已知图像上两点 \( (3, 10) \) 和 \( (8, 22.5) \)（单位：km, 元），求每公里单价。
10. （动态过程）一个物体从静止开始加速，其 \( v\text{-}t \) 图是一条过原点的斜线（匀加速）。请问它的 \( s\text{-}t \) 图是什么形状？

第三关：生活应用（5道）

1. （打车规划） 你使用打车软件，软件根据实时路况预估了行程的 \( v\text{-}t \) 图：前5分钟平均速度 \( 20 \) km/h，中间堵车10分钟速度降为 \( 5 \) km/h，最后5分钟高架路段速度为 \( 60 \) km/h。预估的总路程是多少公里？
2. （物流调度） 快递车从仓库到配送点，去程满载的 \( s\text{-}t \) 图斜率为 \( 40 \) (km/h)，回程空载的斜率为 \( 60 \) (km/h)。若来回总用时 \( 5 \) 小时，求仓库与配送点间的距离。
3. （马拉松配速） 一位马拉松选手的目标是 \( 4 \) 小时完成 \( 42.195 \) km。他以恒定速度跑了半程后，体力下降，后半程速度降为前半程的 \( 80\% \)。他需要以前半程多少的速度奔跑才能达成目标？（结果保留两位小数）
4. （导航算法） 导航显示两条路线：A路线全长 \( 15 \) km，全程预计平均速度 \( 30 \) km/h；B路线全长 \( 20 \) km，全程预计平均速度 \( 50 \) km/h。你应选择哪条路线以节省时间？能节省多少分钟？
5. （电梯调度） 办公楼电梯从1楼到20楼的运动近似分为三段：匀加速上升、匀速上升、匀减速上升。如果画出它的 \( v\text{-}t \) 图，大致形状是怎样的？如果总上升高度为 \( 60 \) 米，总时间为 \( 30 \) 秒，匀速阶段的速度是 \( 4 \) m/s，请问匀速运动了多久？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 速度 = 纵坐标变化量 / 横坐标变化量。
2. 路程 = 速度 \( \times \) 时间 = 矩形面积。
3. 一条从原点出发，斜率为 \( 5 \) 的直线，终点在 \( t=20 \) s, \( s=100 \) m处。
4. 一条在 \( v=80 \) 处的水平线段，从 \( t=0 \) 到 \( t=0.5 \)。路程 \( s = 80 \times 0.5 = 40 \) km。
5. ✅ 正确。
6. ⚠️ 小心！在v-t图中，横轴下方只表示速度方向与规定正方向相反。在s-t图中，曲线才表示变速。
7. 水平的那一段。
8. 总路程 \( s = 10 \times 2 + 5 \times 3 = 20 + 15 = 35 \) m。
9. 甲的速度快。因为斜率大。
10. 表示物体沿与规定正方向相反的方向做匀速直线运动，并最终通过原点（出发点）。

第二关：中考挑战

1. 设甲车速度为 \( v_甲 \)，乙车速度为 \( v_乙 \)。从A看，甲2小时走了 \( 100 \) km，\( v_甲 = \frac{100}{2} = 50 \) km/h。乙从B出发，2小时走了 \( 180-100=80 \) km，\( v_乙 = \frac{80}{2} = 40 \) km/h。
2. 设 \( t \) 秒后追上。乙比甲多走 \( 100 \) m。列方程：\( 5t - 4t = 100 \)，解得 \( t = 100 \) s。
3. 分段计算路程：\( s_1 = 30 \times \frac{10}{60} = 5 \) km, \( s_2 = 0 \), \( s_3 = 40 \times \frac{10}{60} \approx 6.67 \) km。总距离 \( s \approx 5 + 0 + 6.67 = 11.67 \) km。
4. 一条水平直线，高度等于s-t图中直线的斜率。
5. 看兔子s-t图的水平段对应的时间差。乌龟的s-t图线先到达终点，乌龟赢。
6. 平均速度 \( \bar{v} = \frac{总路程}{总时间} = \frac{v_1 t_1 + v_2 t_2}{t_1 + t_2} \)。注意不是 \( (v_1+v_2)/2 \)！
7. 比较相同时间内路程变化大的，或者相同路程变化内用时短的，即斜率最大的。
8. 乙的s-t图在 \( t=0 \) 时，\( s=5 \) m，说明乙在起点前方5m处。甲追上乙时，\( 4t = 2t+5 \)，解得 \( t=2.5 \) s。能追上。
9. 两点间路程差 \( \Delta s = 8-3=5 \) km，费用差 \( \Delta f = 22.5-10=12.5 \) 元。单价 \( = 12.5 / 5 = 2.5 \) 元/km。
10. 是一条抛物线（二次函数曲线）。因为路程 \( s \) 与时间 \( t \) 的平方成正比（匀加速运动）。

第三关：生活应用

1. 换算单位：\( 20 \) km/h = \( \frac{1}{3} \) km/min，\( 5 \) km/h = \( \frac{1}{12} \) km/min，\( 60 \) km/h = \( 1 \) km/min。路程 \( s = \frac{1}{3} \times 5 + \frac{1}{12} \times 10 + 1 \times 5 = \frac{5}{3} + \frac{5}{6} + 5 = \frac{10}{6} + \frac{5}{6} + \frac{30}{6} = \frac{45}{6} = 7.5 \) km。
2. 设距离为 \( d \) km。去程时间 \( \frac{d}{40} \)，回程时间 \( \frac{d}{60} \)。方程：\( \frac{d}{40} + \frac{d}{60} = 5 \)。解得 \( \frac{3d+2d}{120} = 5 \)，\( 5d=600 \)，\( d=120 \) km。
3. 设前半程速度为 \( v \) km/h。前半程时间 \( t_1 = \frac{21.0975}{v} \)，后半程速度 \( 0.8v \)，时间 \( t_2 = \frac{21.0975}{0.8v} \)。总时间 \( t_1+t_2=4 \)。代入得 \( \frac{21.0975}{v} + \frac{21.0975}{0.8v} = 4 \)。解得 \( \frac{21.0975 \times (1+1.25)}{v} = 4 \)，\( v = \frac{21.0975 \times 2.25}{4} \approx 11.87 \) km/h。
4. A路线时间 \( t_A = \frac{15}{30} = 0.5 \) h = 30 min。B路线时间 \( t_B = \frac{20}{50} = 0.4 \) h = 24 min。选择B路线，节省 \( 30-24=6 \) 分钟。
5. v-t图大致是一个梯形（或两个三角形中间夹一个矩形）。设匀速时间为 \( t_1 \)，加速和减速总时间 \( t_2 = 30 - t_1 \)。梯形面积（总路程）\( S = \frac{1}{2} \times (t_2 + t_2 + t_1) \times 4 = 60 \)。化简得 \( \frac{1}{2} \times (30 + t_1) \times 4 = 60 \)，解得 \( 2 \times (30 + t_1) = 60 \)，\( 30 + t_1 = 30 \)，\( t_1 = 0 \) s？这不可能。检查：梯形面积公式应为 \( S = \) 平均速度 \( \times \) 总时间。匀速时 \( v_{均} = 4 \) m/s，则 \( S = 4 \times 30 = 120 \) m，与60米矛盾。说明假设有误，电梯并非全程以4m/s为最大速度。若设最大速度为 \( v \)，匀加速和匀减速时间相等，则 \( S = \frac{1}{2}v \times \frac{t_2}{2} \times 2 + v \times t_1 = v(t_2/2 + t_1) = v \times (30 - t_1/2) = 60 \)。且 \( v = 4 \) m/s，代入得 \( 4 \times (30 - t_1/2) = 60 \)，\( 120 - 2t_1 = 60 \)，\( t_1 = 30 \) s。但总时间才30s，所以匀速时间为 \( 30 - t_2 \)。重新计算：设加速时间 \( t_a \)，减速时间 \( t_d \)，匀速时间 \( t_c \)，\( t_a+t_c+t_d=30 \)，最大速度 \( v_m=4 \)。总路程 \( S = \frac{1}{2}v_m t_a + v_m t_c + \frac{1}{2}v_m t_d = v_m(t_c + \frac{t_a+t_d}{2}) = 4 \times (t_c + \frac{30-t_c}{2}) = 4 \times (15 + \frac{t_c}{2}) = 60 \)。解得 \( 60 + 2t_c = 60 \)，\( t_c = 0 \) s。这意味着电梯没有匀速阶段，直接加速到4m/s然后立刻开始减速。这是一个对称的匀加速匀减速过程（v-t图是三角形）。此时，\( S = \frac{1}{2} \times v_m \times T = \frac{1}{2} \times 4 \times 30 = 60 \) m，符合条件。