小数除法
知识要点
1. 💡 核心概念
小数除法的本质和整数除法一样，都是“平均分”。我们通过移动小数点，把“新朋友”（小数除法）变成“老朋友”（整数除法）来计算。关键是要弄清楚“谁除以谁”，以及商的小数点应该点在哪里。
2. 📝 计算法则
- 一看：看清除数有几位小数。
- 二移：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数。如果被除数的小数位数不够，就在末尾用“0”补足。
- 三算：按照整数除法的法则进行计算。
- 四点：商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐。
- 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”继续除。
3. 🎯 记忆口诀
小数除法不难算，小数点对齐是关键。
整数部分不够除，商“0”点“点”再除。
除数若为小数看，转变整数最当先。
被除数随除数变，相同位数向右移。
如果末尾有余数，添“0”继续除下去。
4. 🔗 知识关联
- 整数除法：小数除法的计算基础。
- 小数点的移动：来源于小数乘除法中“积的变化规律”和“商的变化规律”。
- 小数的意义和性质：理解为什么可以在被除数末尾添“0”继续除。
易错点警示
❌ 错误1：只移动除数的小数点，忘记移动被除数的。
错误做法：计算 \( 2.38 \div 0.7 \) 时，只把 0.7 变成 7，直接用 \( 2.38 \div 7 \) 计算。
✅ 正解：应同时移动。 \( 2.38 \div 0.7 \) → 同时向右移动一位 → \( 23.8 \div 7 \)。
❌ 错误2：商的小数点位置点错，没有和被除数的新小数点对齐。
错误做法：计算 \( 1.26 \div 3 \) 时，算出 \( 126 \div 3 = 42 \)，直接在 42 中间点上小数点得 4.2。
✅ 正解：商的小数点必须和被除数的小数点对齐。被除数是 1.26，商的小数点应点在 4 的后面，即 \( 0.42 \)。
❌ 错误3：余数的小数点忘记处理。
错误做法：计算 \( 5.6 \div 2.5 \) 时，转化成 \( 56 \div 25 = 2 \) 余 6，于是认为答案是 2 余 6。
✅ 正解：被除数和除数同时扩大10倍，余数也扩大了10倍，所以真正的余数要缩小10倍。正确过程是 \( 5.6 \div 2.5 = 2 \) 余 \( 0.6 \)（或添0继续除得 \( 2.24 \)）。
三例题精讲
🔥 例题1：一根跳绳长 8.4 米，把它平均剪成 4 段，每段长多少米？
📌 第一步：列式。把 8.4 米平均分成 4 份，列式为 \( 8.4 \div 4 \)。
📌 第二步：计算。先算整数部分，\( 8 \div 4 = 2 \)，在商的个位写 2。点上小数点，与被除数的小数点对齐。落下十分位上的 4，\( 4 \div 4 = 1 \)，在商的十分位写 1。
📌 第三步：得出结果。
✅ 答案： \( 8.4 \div 4 = 2.1 \)（米）
💬 总结：小数除以整数，按整数除法算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
🔥 例题2：一辆新能源汽车行驶 36 公里消耗电能 7.2 千瓦时，平均每公里耗电多少千瓦时？
📌 第一步：列式。求单耗，用总耗电量除以路程，列式为 \( 7.2 \div 36 \)。
📌 第二步：计算。整数部分 7 除以 36 不够商 1，在个位商 0，点上小数点。落下十分位的 2，看成 72 个十分之一，\( 72 \div 36 = 2 \)，在商的十分位写 2。
✅ 答案： \( 7.2 \div 36 = 0.2 \)（千瓦时）
💬 总结：整数部分不够商1，要在商的个位写“0”占位，并点上小数点。
🔥 例题3：一个环保小组收集了 9.6 千克废旧报纸，如果每 0.8 千克可以换一支环保笔，一共可以换多少支？
📌 第一步：列式。求 9.6 里面包含几个 0.8，用除法，列式为 \( 9.6 \div 0.8 \)。
📌 第二步：转化。除数 0.8 是一位小数，将除数和被除数的小数点同时向右移动一位，变成 \( 96 \div 8 \)。
📌 第三步：计算。\( 96 \div 8 = 12 \)。
✅ 答案： \( 9.6 \div 0.8 = 12 \)（支）
💬 总结：除数是小数的除法，先移动小数点使其变成整数，被除数的小数点也要移动相同的位数。
练习题（10道）
- 直接写出得数：\( 6.4 \div 2 = \) （） ， \( 2.7 \div 9 = \) （）。
- 计算：\( 4.8 \div 0.6 \) ， \( 34.5 \div 0.5 \)。
- 计算：\( 0.546 \div 0.06 \) ， \( 42 \div 0.14 \)。
- 妈妈买了 2.5 千克苹果，总共花了 20 元。平均每千克苹果多少元？
- 一辆玩具车 0.4 小时行驶了 6.4 米，它的平均速度是每小时多少米？
- 计算并验算：\( 10.8 \div 4.5 \)。
- 一个长方形的面积是 \( 15.75 \) 平方米，宽是 \( 2.5 \) 米，长是多少米？
- 一桶豆油连桶重 10.5 千克，用去一半后，连桶重 5.5 千克。原来桶里的豆油重多少千克？
- 小华在计算一个数除以 1.2 时，误将除号看成了乘号，结果得 7.2。正确的结果应该是多少？
- 已知 \( a = 0.00\ldots 08 \)（小数点后有 2023 个 0），\( b = 0.00\ldots 02 \)（小数点后有 2024 个 0），求 \( a \div b \)。
奥数挑战（10道）
- 在 \( (\quad) \div 0.5 = 6.8 \) 中，如果被除数缩小到原来的 \( \frac{1}{10} \)，除数扩大到原来的 10 倍，商是（ ）。
- 已知 \( A \times 0.8 = B \div 0.8 \)（A、B 均不为 0），那么 A 与 B 的大小关系是（ ）。
- 小明在计算一道除法题时，把被除数 25.6 看成了 256，结果得到的商比正确的商大 16.2。正确的除数是多少？
- 计算：\( 0.00\ldots 045 \) （小数点后有 2022 个 0） \( \div 0.00\ldots 09 \) （小数点后有 2023 个 0）。
- 一个数与自己相加、相减、相乘、相除后，把四个结果加起来等于 10.24，这个数是多少？
- 如果 \( a \div b = 2.4 \) ，那么 \( (a \times 10) \div (b \div 10) = \) （ ）。
- 在算式 \( 2.8 \div 1.1 \) 中，商的小数点后第 100 位数字是几？
- 小马虎在计算一道小数除法题时，漏掉了被除数的小数点，得到的商是 150。已知正确的除数是 0.25，正确的商应该是多少？
- 已知 \( 1 \div 7 = 0.\dot{1}4285\dot{7} \)，那么 \( 2 \div 7 \)， \( 3 \div 7 \) 的商是什么？你能发现什么规律？
- 把一根绳子对折 3 次后，从中间剪一刀，会变成几段？如果每段长 0.125 米，这根绳子原来长多少米？
生活应用（5道）
- （高铁）“复兴号”高铁行驶 182 公里用时 0.5 小时。它的平均时速是多少公里/时？
- （航天）嫦娥五号探测器带回的月壤样本重 1.731 千克。如果每 0.15 千克封装在一个实验舱内，至少需要准备多少个这样的实验舱？
- （AI）一个人工智能模型训练一次需要消耗 48.6 千瓦时的电力。如果该数据中心使用绿色能源，每千瓦时可减少 0.78 千克碳排放。训练一次这个模型，可以减少多少千克碳排放？（得数保留一位小数）
- （环保）一个智能垃圾分类站，处理 8.5 吨可回收垃圾，可以节约 17 吨的自然资源。处理 1 吨这样的垃圾，平均可以节约多少吨自然资源？
- （网购）“双十一”期间，某品牌智能手表在“满 300 减 40”的优惠后，实付 528 元。已知这块手表原价是 0.8 折优惠后的价格，那么这块手表的原价是多少元？
参考答案与解析
【练习题答案】
\( 3.2 \) ； \( 0.3 \)
\( 8 \) ； \( 69 \)
\( 9.1 \) ； \( 300 \)
\( 20 \div 2.5 = 8 \)（元）
\( 6.4 \div 0.4 = 16 \)（米/时）
\( 2.4 \) ，验算：\( 2.4 \times 4.5 = 10.8 \)
\( 15.75 \div 2.5 = 6.3 \)（米）
思路：半桶油重量 = \( 10.5 - 5.5 = 5 \)（千克），一桶油重 \( 5 \times 2 = 10 \)（千克）。
思路：先求被除数，\( 7.2 \div 1.2 = 6 \)。正确结果为 \( 6 \div 1.2 = 5 \)。
解析：将 a, b 写作 \( a = 8 \times 10^{-(2023+2)} \)，\( b = 2 \times 10^{-(2024+2)} \)。\( a \div b = (8 \div 2) \times 10^{[-(2024+2) - (-(2023+2))]} = 4 \times 10^1 = 40 \)。
【奥数挑战答案】
答案： \( 0.068 \) 解析： 被除数缩小10倍，除数扩大10倍，商一共缩小 \( 10 \times 10 = 100 \) 倍。原商为 \( 6.8 \)，变化后为 \( 6.8 \div 100 = 0.068 \)。
答案： \( A < B \) 解析： 由 \( A \times 0.8 = B \div 0.8 \) 得 \( A \times 0.8 = B \times 1.25 \)（因为除以0.8等于乘以1.25）。要两边相等，乘0.8的A必须比乘1.25的B大，所以 A > B 不对。实际上是 \( A = B \times (1.25 \div 0.8) = B \times 1.5625 \)，所以 A 是 B 的1.5625倍，\( A > B \)。等等，这里要仔细：\( A \times 0.8 = B \times 1.25 \) => \( A = B \times (1.25 / 0.8) = B \times 1.5625 \)。所以 A 比 B 大。我之前说反了。正确答案应为 \( A > B \)。
答案： \( 1.6 \) 解析： 被除数看成了原来的10倍（\( 25.6 \times 10 = 256 \)），所以商也变成原来的10倍。错误的商比正确的商大 16.2，即正确的商的 \( 10 - 1 = 9 \) 倍是 16.2。所以正确商为 \( 16.2 \div 9 = 1.8 \)。除数为 \( 25.6 \div 1.8 \approx 14.222... \) ？不对，再算。设除数为 x。正确的式子是 \( 25.6 \div x \)。错误的式子是 \( 256 \div x \)。两者差 16.2，即 \( 256/x - 25.6/x = 16.2 \)，\( (256-25.6)/x = 16.2 \)，\( 230.4 / x = 16.2 \)，所以 \( x = 230.4 \div 16.2 = 14.222... \) 这个数除不尽。检查：正确商=25.6/14.222=1.8，错误商=256/14.222=18，18-1.8=16.2。对的。答案是 \( 14.\dot{2} \) 或 \( \frac{128}{9} \)。题目可能设计为整数，检查数字：25.6看成256，是10倍，差9倍商。9倍商=16.2，商=1.8。除数=25.6/1.8=256/18=128/9。没错。
答案： \( 0.5 \) 解析： \( 0.00...045 \)（2022个0）可以看作 \( 4.5 \times 10^{-(2022+2)} \)，\( 0.00...09 \)（2023个0）可以看作 \( 9 \times 10^{-(2023+2)} \)。两者相除，\( (4.5 \div 9) \times 10^{[-(2023+2)+(2022+2)]} = 0.5 \times 10^{-1} = 0.05 \)。我得重新数一下指数。a的小数点后2022个0，然后45，所以总的小数位数是2022+2=2024位。科学计数法为 \( 4.5 \times 10^{-2024} \)。b的小数点后2023个0，然后9，总小数位数2023+1=2024位，为 \( 9 \times 10^{-2024} \)。相除：\( (4.5 \times 10^{-2024}) \div (9 \times 10^{-2024}) = 4.5 \div 9 = 0.5 \)。所以答案是 0.5。
答案： \( 2.4 \) 或 \( -4.4 \) 解析： 设这个数为 x。相加得 2x，相减得 0，相乘得 \( x^2 \)，相除得 1。所以 \( 2x + 0 + x^2 + 1 = 10.24 \)，即 \( x^2 + 2x - 9.24 = 0 \)。解得 \( (x+4.4)(x-2.4)=0 \)，所以 \( x = 2.4 \) 或 \( x = -4.4 \)。
答案： \( 240 \) 解析： 根据商的变化规律，被除数乘10，商乘10；除数除以10（即缩小到1/10），商乘10。所以总共商乘 \( 10 \times 10 = 100 \) 倍。新商为 \( 2.4 \times 100 = 240 \)。
答案： \( 4 \) 解析： \( 2.8 \div 1.1 = 2.\dot{5}\dot{4} \)（循环节是54）。小数点后第1位是5，第2位是4，然后循环。求第100位，去掉不循环的第1位，从第2位开始进入循环。\( (100-1) \div 2 = 49 \) 余 1。即在循环节“54”中，第1个数字是5。所以第100位是5？等等，我算错了。2.8÷1.1=2.5454...，循环节是从十分位开始的“54”？计算一下：2.8÷1.1=28÷11=2.5454...。循环节“54”是从小数点后第一位开始的。第1位是5，第2位是4，第3位是5... 所以位数直接除以2即可。100÷2=50，能整除，说明第100位是循环节的第二个数字，即“4”。
答案： \( 1.5 \) 解析： 漏掉小数点，被除数扩大到原来的10倍、100倍或... 设原被除数为 x，漏掉小数点后变为 100x（假设是两位小数）。错误的商：100x ÷ 0.25 = 150。所以 100x = 150 × 0.25 = 37.5，则 x = 0.375。正确的商：0.375 ÷ 0.25 = 1.5。或者更直接：被除数扩大100倍导致商也扩大100倍。错误的商150是正确商的100倍，所以正确商为 150 ÷ 100 = 1.5。
答案： \( 2 \div 7 = 0.\dot{2}8571\dot{4} \)，\( 3 \div 7 = 0.\dot{4}2857\dot{1} \)。解析： 规律：\( 1 \div 7 \) 的循环节是 142857，\( 2 \div 7 \) 的循环节是 285714，\( 3 \div 7 \) 的循环节是 428571... 它们都是由“142857”这个数字环顺次移动得到的。并且 \( 1+8=9, 4+5=9, 2+7=9 \)。
答案： 9 段； 1 米。解析： 对折3次，绳子被分成 \( 2^3 = 8 \) 股。从中间剪一刀，会剪断 8 股，每段变成两截，所以总段数为 \( 8 \times 2 = 16 \) ？不对，中间有连着的。实际是 \( 2^n + 1 \) 的变形。具体操作：对折3次后，共8层，从中间剪，会剪成 \( 8 \times 1 + 1 = 9 \) 段（因为两端不是连着的，中间有连接点）。最短的段（在两端）是原长的 \( 1/16 \)，题中说每段长0.125米，应指剪出的每一段？这里表述模糊。假设“每段”指剪出的所有段，且等长（实际上不等长，只有对折N次后从正中剪，所有段才等长），那么每段长0.125米，共9段，原长=0.125×9=1.125米？这与对折3次不符。经典结论：对折n次，从中点剪，总段数为 \( 2^n + 1 \)，所有段长有两种，其中 \( 2^n -1 \) 段是“长”段（原长的 \( 1/2^n \)），2段是“短”段（原长的 \( 1/2^{n+1} \)）。题中“每段长0.125米”可能指“长段”的长度。对折3次，n=3，长段长度=原长 × \( 1/8 \) =0.125米，所以原长=1米。此时长段有 \( 2^3-1=7 \) 段，短段有2段，每段长0.0625米，总段数9段。所以答案是：变成9段，原长1米。
【生活应用答案】
\( 182 \div 0.5 = 364 \)（公里/时）
\( 1.731 \div 0.15 = 11.54 \)，需要“进一法”取整，所以至少需要 12 个。
\( 48.6 \times 0.78 = 37.908 \approx 37.9 \)（千克）（保留一位小数）
\( 17 \div 8.5 = 2 \)（吨）
思路：“0.8折”即原价的 80%（或8折）。实付528元是满减后的价格。满减前价格为 \( 528 + 40 = 568 \) 元（因为568元满足满300条件）。这568元是原价的80%，所以原价为 \( 568 \div 0.8 = 710 \) 元。