销售利润问题应用题解题技巧 打折与利润率计算深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：销售问题 原理

• 核心概念：想象你是一位小老板，每天都得在“老板账本”上记两笔账：你进货花了多少钱（进价），东西卖出去收了多少钱（售价）。老板账本就是你的生意密码本！阿星告诉你：利润=售价-进价。这是最根本的，比如你 \(10\) 块钱进货，\(15\) 块卖出，那利润就是 \(15 - 10 = 5\) 元。再看看利润率，这是衡量你生意“赚钱效率”的指标，计算公式是利润率=利润/进价。还是刚才的例子，利润率就是 \(5 / 10 = 0.5 = 50\%\)。请注意，分母是进价，可不是售价哦！有时候为了促销，你会打折。记住阿星的提醒：打折是按原价打的。 原价（也叫标价）乘以折扣，才等于你实际收的钱（即售价）。
• 计算秘籍：
  1. 牢记基本公式链：利润 \(=\) 售价 \(-\) 进价， 利润率 \(= \frac{\text{利润}}{\text{进价}} \times 100\%\)。
  2. 公式变形是关键：
     • 已知进价 \(a\) 和利润率 \(p\%\)，求售价：售价 \(= a + a \times p\% = a \times (1 + p\%)\)。
     • 已知售价 \(b\) 和利润率 \(p\%\)，求进价：由 \(b = a \times (1 + p\%)\) 得，进价 \(a = \frac{b}{1 + p\%}\)。
  3. 处理打折：设原价为 \(m\)，打 \(n\) 折（即 \(n/10\)），则售价 \(= m \times \frac{n}{10}\)。之后再将此售价代入上述公式进行计算。
• 阿星口诀：本上两个金公式，一加一除要记牢。若遇打折别慌乱，原价乘折再计算。

📐 图形解析

虽然销售问题本身是代数问题，但我们可以用一个“老板的财富天平”来形象理解进价、利润、售价三者的关系，以及利润率的含义。

核心关系：\( \text{售价} = \text{进价} + \text{利润} \)

如图所示，天平左边是“进价”（成本），右边是“利润”（赚头），两者加起来支撑起了整个“售价”。而“利润率”衡量的是右边“利润”相对于左边“进价”的“高度”或比例。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：计算利润率时，误将分母写成“售价”。例如，进价 \(100\)元，售价 \(150\)元，错误计算为 \( (150-100)/150 \approx 33.3\%\)。
  ✅ 正解：利润率的分母永远是进价（成本）。正确计算应为 \( (150-100)/100 = 50\%\)。
• ❌ 错误2：处理打折问题时，误将折后价当作“原价”代入利润率公式计算。例如，一件衣服按标价打8折后以 \(240\)元卖出，利润率为 \(20\%\)，错误地直接用 \(240\) 元作为原价求进价。
  ✅ 正解：打折是针对原价（标价）的。 应首先根据“售价=原价×折扣”求出原价：设原价为 \(x\)，则 \(x \times 0.8 = 240\)，得 \(x = 300\)元。然后再根据利润率公式求进价：设进价为 \(a\)，则 \( (240 - a) / a = 20\%\)，解得 \(a = 200\)元。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 一支钢笔进价 \(8\) 元，以 \(10\) 元售出，利润是 \_\_\_\_ 元，利润率是 \_\_\_\_。
2. 一个书包进价 \(60\) 元，期望获得 \(30\%\) 的利润率，售价应定为 \_\_\_\_ 元。
3. 一个水杯售价 \(45\) 元，利润率是 \(50\%\)，它的进价是 \_\_\_\_ 元。
4. 若商品进价为 \(200\) 元，利润为 \(50\) 元，则利润率是 \_\_\_\_。
5. 已知利润率为 \(25\%\)，利润为 \(15\) 元，则进价为 \_\_\_\_ 元。
6. 一件衣服标价 \(500\) 元，打9折出售，则售价为 \_\_\_\_ 元。
7. 一本书打7折后卖 \(35\) 元，这本书的原价是 \_\_\_\_ 元。
8. 进价 \(80\) 元的商品，标价 \(120\) 元，打几折出售才能保证利润为 \(16\) 元？
9. 某商品标价 \(m\) 元，打 \(n\) 折后的售价用公式表示为 \_\_\_\_ 元。
10. 判断：利润率不可能超过 \(100\%\)。（ ）

第二关：中考挑战（10道）

1. 某商品进价为 \(x\) 元，提价 \(50\%\) 后打8折出售，则出售此商品是（ ）A. 盈利 B. 亏损 C. 不盈不亏
2. 一种商品每件进价为 \(a\) 元，按进价增加 \(25\%\) 定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利\_\_\_\_元。
3. 某商店以每件 \(120\) 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 \(20\%\)，另一件亏损 \(20\%\)，那么商店卖出这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
4. 某商场将一款品牌时装先按进价加价 \(50\%\) 作为标价，再按标价的8折出售，结果每件时装仍可获利 \(200\) 元，则这款时装每件的进价是多少元？
5. 春节期间，某超市出售某种品牌大米，进价为每袋 \(40\) 元，标价为每袋 \(60\) 元，为了促销，决定同时进行两种优惠活动：
   • 活动一：按标价的八折出售；
   • 活动二：购买超过 \(3\) 袋，超出部分每袋再降价 \(5\) 元。

   某顾客购买 \(x\) (\(x>3\)) 袋这种大米，按活动一付款的金额为 \(y_1\) 元，按活动二付款的金额为 \(y_2\) 元。分别写出 \(y_1, y_2\) 关于 \(x\) 的关系式。

6. 某书店推出购书优惠方案：①一次性购书不超过 \(100\) 元，不享受优惠；②一次性购书超过 \(100\) 元但不超过 \(200\) 元，一律打九折；③一次性购书超过 \(200\) 元，一律打八折。如果小明同学一次性购书付款 \(162\) 元，那么他所购书的原价可能是 \_\_\_\_ 元。
7. 某商品的进价是 \(1000\) 元，标价为 \(1500\) 元，商店要求以利润率不低于 \(5\%\) 的售价打折出售，售货员最低可以打\_\_\_\_折出售此商品。
8. 某文具店第一次用 \(1000\) 元购进一批文具，很快售完；第二次又用 \(2400\) 元购进该品种文具，但数量是第一次的 \(2\) 倍，且单价比第一次贵了 \(2\) 元。求第一次购进文具的单价。
9. 某经销商销售一批电话手表，第一个月以 \(550\) 元/块的价格售出 \(60\) 块，第二个月起降价，以 \(500\) 元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了 \(5.5\) 万元。这批电话手表至少有多少块？
10. 某超市用 \(3000\) 元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨 \(9000\) 元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了 \(20\%\)，购进干果数量是第一次的 \(2\) 倍还多 \(300\) 千克。求该种干果的第一次进价是每千克多少元？

第三关：生活应用（5道）

1. （满减计算）某网店“双十一”促销：全场满 \(299\) 减 \(50\)。你看中一件原价 \(350\) 元的卫衣和一条原价 \(180\) 元的裤子。如何凑单最省钱？最终实际付款多少？相当于打了几折？（精确到 \(0.1\) 折）
2. （充值优惠）奶茶店推出活动：单杯售价 \(15\) 元。若充值 \(100\) 元，本次消费及以后消费均享受 \(8.5\) 折。如果你预计未来会喝 \(10\) 杯，是每次单买划算还是充值划算？
3. （团购与优惠券）某餐厅套餐，单人价 \(68\) 元，团购价（\(3\) 人起）每人 \(58\) 元。你还有一张“满 \(150\) 减 \(30\)”的优惠券。现在有 \(4\) 个朋友聚餐，怎样支付最省钱？人均花费多少？
4. （复合折扣）商场活动：“店庆8折，会员再享9.5折”。你是会员，看中一件标价 \(1200\) 元的大衣。最终你需要支付多少钱？综合折扣相当于打了几折？
5. （利润规划）你想在学校门口卖冷饮。每瓶饮料从批发市场进货需 \(2.5\) 元，你计划售价 \(4\) 元。摊位费每天固定 \(50\) 元。你每天至少需要卖出多少瓶，才能保证不亏本？如果想每天赚 \(100\) 元，又需要卖出多少瓶？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 利润：\(10-8=2\)元，利润率：\(2/8=25\%\)。
2. 售价：\(60 \times (1+30\%) = 78\)元。
3. 进价：\(45 / (1+50\%) = 30\)元。
4. 利润率：\(50/200 = 25\%\)。
5. 进价：\(15 / 25\% = 60\)元。
6. 售价：\(500 \times 0.9 = 450\)元。
7. 原价：\(35 / 0.7 = 50\)元。
8. 设打 \(d\) 折，则 \(120 \times (d/10) - 80 = 16\)，解得 \(d=8\)。打8折。
9. 售价：\(m \times (n/10)\) 或 \(0.1mn\)。
10. 错误。利润率可以超过 \(100\%\)（如进价 \(1\) 元，卖 \(3\) 元，利润率为 \(200\%\)）。

第二关：中考挑战（精选解析）

1. 售价为 \(x \times (1+50\%) \times 0.8 = 1.2x\)，利润为 \(1.2x - x = 0.2x > 0\)，选A（盈利）。
2. 标价 \(a(1+25\%)=1.25a\)，售价 \(1.25a \times 0.9=1.125a\)，盈利 \(1.125a - a = 0.125a\)元。
3. 盈利衣服进价：\(120/(1+20\%)=100\)元；亏损衣服进价：\(120/(1-20\%)=150\)元。总进价 \(250\)元，总售价 \(240\)元，亏损 \(10\)元。
4. 设进价 \(x\) 元。标价 \(1.5x\)，售价 \(1.5x \times 0.8 = 1.2x\)。利润方程：\(1.2x - x = 200\)，解得 \(x=1000\)。
5. \(y_1 = 60 \times 0.8 \times x = 48x\)； \(y_2 = 60 \times 3 + (60-5)(x-3) = 180 + 55(x-3) = 55x + 15\)。
6. 设原价为 \(y\) 元。若在方案②下：\(0.9y=162\)，\(y=180\)；若在方案③下：\(0.8y=162\)，\(y=202.5\)。故可能是 \(180\) 或 \(202.5\) 元。
7. 设打 \(z\) 折。最低售价需满足：\(1500 \times (z/10) \geq 1000 \times (1+5\%) = 1050\)。解得 \(z \geq 7\)。最低打7折。
8. 设第一次单价 \(x\) 元，则第二次单价 \((x+2)\) 元。数量关系：\(2400/(x+2) = 2 \times (1000/x)\)。解得 \(x=10\)。经检验，是原方程的解且符合题意。
9. 设至少有 \(t\) 块。总额：\(550 \times 60 + 500(t-60) > 55000\)。解得 \(t > 104\)。所以至少有 \(105\) 块。
10. 设第一次进价 \(w\) 元/千克。则第二次进价 \(1.2w\) 元/千克。数量关系：\(9000/(1.2w) = 2 \times (3000/w) + 300\)。解得 \(w=5\)。

第三关：生活应用（思路点睛）

1. 最省凑单法：只买卫衣 \(350\)元，已满 \(299\)，实付 \(300\)元。相当于 \(300/350 \approx 0.857\)，约 \(8.6\) 折。
2. 单买：\(15 \times 10 = 150\)元。充值：先付 \(100\)元，10杯总价 \(15 \times 10 \times 0.85 = 127.5\)元，但卡内余额需覆盖，充值后卡内金额为 \(100+赠送?\)，此题通常理解为充值后消费直接打折，故总支出 \(100+(127.5-100?)\)逻辑略复杂，典型结论是超过一定杯数后充值划算。简化：若充值后每杯价 \(15 \times 0.85 = 12.75\)元，10杯需 \(127.5\)元，比单买省 \(22.5\)元，但需先付 \(100\)元，划算。
3. 方案A：按团购价 \(4 \times 58 = 232\)元，用券减 \(30\)，实付 \(202\)元，人均 \(50.5\)元。方案B：按原价 \(4 \times 68 = 272\)元，用券减 \(30\)，实付 \(242\)元，人均 \(60.5\)元。团购+用券最省。
4. 支付：\(1200 \times 0.8 \times 0.95 = 912\)元。综合折扣：\(912 / 1200 = 0.76\)，即 \(7.6\) 折。
5. 设卖出 \(n\) 瓶。不亏本：\(4n \geq 2.5n + 50\)，解得 \(n \geq \frac{50}{1.5} \approx 33.33\)，即至少 \(34\) 瓶。赚 \(100\)元：\(4n - (2.5n + 50) = 100\)，解得 \(n = 100\)。