销售问题利润计算与打折应用题全解析：阿星精讲核心公式专项练习题库

💡 阿星精讲：销售问题 原理

• 核心概念：阿星来啦！想象一下生意场就是一个家庭。商品的进价就像是商品的“妈妈”（成本），售价就像是商品的“爸爸”（收入）。那么，他们生出来的宝宝是什么呢？没错，就是利润！所以，阿星说：“利润=售价-进价，这个家庭关系一定要理清。”那“打折”是什么呢？打折可不是给“妈妈”（进价）化妆，而是专门给“爸爸”（售价）做造型！在售价的基础上打折，这才是正确的“美容”方式。
• 计算秘籍：
  1. 基本利润公式： \( \text{利润} = \text{售价} - \text{进价} \)
  2. 利润率公式：通常指相对于成本的利润率。 \( \text{利润率} = \frac{\text{利润}}{\text{进价}} \times 100\% = \frac{\text{售价} - \text{进价}}{\text{进价}} \times 100\% \)
  3. 折扣公式： \( \text{折扣价} = \text{原价} \times \text{折扣率} \)。例如，打八折就是 \( \text{售价} = \text{标价} \times 80\% \) 或 \( \text{售价} = \text{标价} \times 0.8 \)。
• 阿星口诀：进价妈妈售价爸，利润是娃家里挂；打折专找爸爸化，分清对象别犯傻！

📐 图形解析

虽然销售问题核心是代数，但我们可以用条形图来直观理解售价、进价与利润的关系。下图展示了利润是如何从售价中“减去”进价后产生的“盈余”。

核心关系：\( \text{利润} = \text{售价} - \text{进价} \)

📐 公式说明：\( \text{P}_s \)，\( \text{P}_l \)，\( \text{P}_c \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：计算打折后利润时，误将折扣用在进价上。例如：“进价100元，标价200元打8折，利润是多少？”错误计算：\( 100 \times 0.8 - 100 = -20 \)。
  ✅ 正解：打折只针对售价（标价）。正确计算：售价 = \( 200 \times 0.8 = 160 \)元，利润 = \( 160 - 100 = 60 \)元。
• ❌ 错误2：计算利润率时，错误地将分母用成了售价。例如：上例中利润60元，错误利润率 = \( \frac{60}{160} \times 100\% = 37.5\% \)。
  ✅ 正解：除非特别说明“销售利润率”，否则利润率通常指成本利润率，分母是进价。正确利润率 = \( \frac{60}{100} \times 100\% = 60\% \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 一个文具盒进价 \( 12 \) 元，售价 \( 20 \) 元，利润是多少元？利润率是多少？
2. 一支钢笔售价 \( 15 \) 元，利润 \( 5 \) 元，进价是多少元？
3. 若商品进价 \( 40 \) 元，想要获得 \( 30\% \) 的利润率，售价应定为多少元？
4. 一件商品原价 \( 200 \) 元，打七折出售，现价多少元？
5. 现价 \( 56 \) 元是原价 \( 80 \) 元打的几折？
6. 售价 \( 120 \) 元，利润率 \( 50\% \)，求进价。
7. 进价 \( 60 \) 元，售价 \( 90 \) 元，后因滞销打八折，打折后利润是多少元？
8. 一本书按标价 \( 45 \) 元卖出可赚 \( 12.5\% \)，这本书进价多少元？
9. 一个书包进价 \( 80 \) 元，标价 \( 120 \) 元，双十一活动打八五折，活动期间的利润率是多少？
10. 若一双鞋打六折后售价为 \( 240 \) 元，它的原标价是多少元？

第二关：中考挑战（10道）

1. （列方程解应用题）某商场将一款品牌服装按进价提高 \( 50\% \) 后标价，再按标价的八折销售，售价为 \( 360 \) 元。求每件服装的进价。
2. （方案选择）某文具店有A、B两种促销方案：A方案为“买一支钢笔送一本笔记本”；B方案为“钢笔和笔记本均按总价的九折付款”。钢笔每支 \( 20 \) 元，笔记本每本 \( 5 \) 元。若需要买 \( 4 \) 支钢笔和 \( x \) 本笔记本（\( x \ge 4 \)），通过计算说明，当 \( x \) 在什么范围内时，选择A方案更划算。
3. 某商品现在的售价为每件 \( 60 \) 元，每周可卖出 \( 300 \) 件。市场调查发现：每降价 \( 1 \) 元，每周可多卖出 \( 20 \) 件。已知商品进价为每件 \( 40 \) 元，若设每件降价 \( x \) 元，每周销售该商品的总利润为 \( y \) 元。求 \( y \) 与 \( x \) 之间的函数关系式。
4. （利润率比较）两件商品，甲商品进价 \( 100 \) 元，售价 \( 125 \) 元；乙商品进价 \( 80 \) 元，售价 \( 100 \) 元。请问哪件商品的利润率更高？
5. 某商店以每件 \( 6 \) 元的价格购进一批商品，售价为每件 \( 8 \) 元。卖出一部分后，剩下的商品决定打折促销。若要求总利润率不低于 \( 20\% \)，则最多可以打几折？

第三关：生活应用（5道）

1. （服装店）阿星的服装店购进一批新款T恤，每件进价 \( 80 \) 元。他计划在标价的基础上先打八折作为开业优惠价，并希望这个优惠价还能带来 \( 25\% \) 的利润率。他应该给这批T恤标价多少元？
2. （书店促销）书店举办“满 \( 100 \) 减 \( 20 \)”活动。一套丛书原价共 \( 180 \) 元，相当于打了几折？（结果精确到 \( 0.1 \) 折）
3. （水果损耗）水果店以每千克 \( 4 \) 元的价格购进一批苹果。在运输和储存中，有 \( 5\% \) 的苹果损坏不能出售。若想要实现 \( 30\% \) 的整体利润率，则完好的苹果每千克至少应该卖多少元？
4. （批量采购）某工厂向供应商采购零件。方案一：每次采购 \( 1000 \) 个，单价 \( 10 \) 元；方案二：若一次性采购超过 \( 3000 \) 个，则超出部分单价打九折。工厂需要采购 \( 5000 \) 个零件，哪个方案总价更低？低多少元？
5. （投资与回报）小星投资 \( 50000 \) 元开了一家网店。一年后，扣除所有成本（进货、包装、人工、运费等），账户净收入为 \( 65000 \) 元。请问他这一年的投资回报率是多少？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 利润：\( 20-12=8 \)元；利润率：\( 8/12 \times 100\% \approx 66.7\% \)。
2. 进价：\( 15-5=10 \)元。
3. 售价：\( 40 \times (1+30\%) = 52 \)元。
4. 现价：\( 200 \times 0.7 = 140 \)元。
5. 折扣：\( 56 / 80 = 0.7 \)，即七折。
6. 设进价 \( a \)元，则 \( (120-a)/a = 0.5 \)，解得 \( a=80 \)元。
7. 打折后售价：\( 90 \times 0.8 = 72 \)元；利润：\( 72-60=12 \)元。
8. 设进价 \( b \)元，则 \( (45-b)/b = 0.125 \)，解得 \( b=40 \)元。
9. 活动售价：\( 120 \times 0.85 = 102 \)元；利润：\( 102-80=22 \)元；利润率：\( 22/80 \times 100\% = 27.5\% \)。
10. 原价：\( 240 / 0.6 = 400 \)元。

第二关：中考挑战

1. 设进价为 \( x \)元。标价为 \( x(1+50\%)=1.5x \)元，售价为 \( 1.5x \times 0.8 = 1.2x \)元。列方程 \( 1.2x = 360 \)，解得 \( x=300 \)。进价300元。
2. A方案总价：\( 4 \times 20 + (x-4) \times 5 = 80 + 5x -20 = 60+5x \)。B方案总价：\( (4\times 20 + 5x) \times 0.9 = (80+5x)\times 0.9 = 72+4.5x \)。令A更划算：\( 60+5x < 72+4.5x \)，解得 \( 0.5x < 12 \)，\( x < 24 \)。因为 \( x \ge 4 \)，所以当 \( 4 \le x < 24 \) 时，A方案更划算。
3. 降价后每件利润为 \( (60-x)-40 = 20-x \)元，每周销量为 \( 300+20x \)件。总利润 \( y = (20-x)(300+20x) \)。（通常化简为 \( y = -20x^2 + 100x + 6000 \)）
4. 甲利润率：\( (125-100)/100 = 25\% \)；乙利润率：\( (100-80)/80 = 25\% \)。两者利润率相同。
5. 设打折折扣为 \( m \)。设商品总数为1，总进价为 \( 6 \)。要求总收入 \( \ge 6 \times (1+20\%) = 7.2 \)。设一部分卖了 \( a \)件（原价8元），剩下的 \( 1-a \)件打 \( m \)折（售价 \( 8m \)元）。总收入 \( 8a + 8m(1-a) \ge 7.2 \)。这是一个关于 \( a \) 和 \( m \) 的不等式。为求 \( m \) 的底线，考虑最坏情况：所有商品都打折卖出（即 \( a=0 \)）。则 \( 8m \ge 7.2 \)，\( m \ge 0.9 \)。所以最多可以打九折。

第三关：生活应用

1. 设标价为 \( y \)元。优惠价（售价）为 \( 0.8y \)元。根据利润率公式：\( (0.8y - 80) / 80 = 0.25 \)。解得 \( 0.8y - 80 = 20 \)，\( 0.8y = 100 \)，\( y = 125 \)。应标价125元。
2. 实付价格：\( 180 - 20 = 160 \)元。折扣率：\( 160 / 180 \approx 0.889 \)，约相当于八八点九折或八点九折。
3. 设购进苹果 \( 1 \) 千克，成本 \( 4 \)元。损坏 \( 5\% \)，可出售部分为 \( 0.95 \)千克。设售价为 \( z \) 元/千克。总收入为 \( 0.95z \)。总利润率为 \( 30\% \)，即总收入应为成本的 \( 130\% \)：\( 0.95z = 4 \times 1.3 = 5.2 \)。解得 \( z \approx 5.47 \)元。至少卖约 \( 5.47 \) 元/千克。
4. 方案一总价：\( 1000 \times 10 = 10000 \)元（每次采购1000个，需5次，单价不变）。方案二总价：\( 3000 \times 10 + (5000-3000) \times 10 \times 0.9 = 30000 + 2000 \times 9 = 30000 + 18000 = 48000 \)元。方案二更低，低 \( 10000 \times 5 - 48000 = 50000 - 48000 = 2000 \)元。（注：此题原题设置不合理，已按合理商业逻辑修改为大批量采购场景）。
5. 净利润：\( 65000 - 50000 = 15000 \)元。投资回报率：\( 15000 / 50000 \times 100\% = 30\% \)。