正比例函数图象位置与象限判断方法深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：位置 原理

• 核心概念：同学们好！我是阿星。今天我们来聊聊平面直角坐标系里的“位置”。想象一下，我们的平面被“十”字路口分成了四个豪华包间，这就是四个象限。每个点就像一个小人，它的坐标 \((x, y)\) 就是它的门牌号。今天我们要认识一类特殊的“直线”家族——正比例函数 \(y = kx\)，它的图象就是一条经过原点的直线。这个“k”是它的性格标签！
  • 当 \(k > 0\) 时，直线是一个阳光向上的少年，喜欢第一和第三象限。比如 \(y = 2x\)，你算几个点看看：(1,2) 在一象限，(-1,-2) 在三象限。
  • 当 \(k < 0\) 时，直线是一个忧郁低调的少年，喜欢第二和第四象限。比如 \(y = -x\)，算几个点：(1,-1) 在四象限，(-1,1) 在二象限。

  所以，看“k”的符号，就能秒懂这条直线常驻哪两个“包间”（象限）！

• 计算秘籍：
  1. 识别函数是否为 \(y = kx\) 形式（正比例函数）。
  2. 提取系数 \(k\)。
  3. 判断 \(k\) 的符号：
     • 若 \(k > 0\)，图象经过一、三象限。
     • 若 \(k < 0\)，图象经过二、四象限。
• 阿星口诀：系数k，定走向，正一三，负二四，零轴心，记心上！

📐 图形解析

下面我们画出两个典型例子，直观感受“k”的符号如何决定直线的“位置”：

上图清晰地展示了阿星说的规律：函数 \(y = 2x\) （\(k=2>0\)）的图象（蓝线）穿过一、三象限；函数 \(y = -2x\) （\(k=-2<0\)）的图象（红线）穿过二、四象限。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为图象经过“一、三象限”就是指整条直线都在一三象限，不包括坐标轴。
  ✅ 正解：直线是无限延伸的，我们说“经过一三象限”，是指它从第三象限穿过原点进入第一象限。原点是坐标轴的交点，它既不属于任何象限，又同时被所有经过它的直线共享。
• ❌ 错误2：看到函数 \(y = -2x + 1\)，因为 \(k=-2<0\)，就判断它经过二、四象限。
  ✅ 正解：阿星的口诀只适用于正比例函数 \(y = kx\) ！\(y = -2x + 1\) 是一次函数，它的图象也是一条直线，但因为加了“+1”，整个图象向上平移了，它可能经过一、二、四象限。切记先看函数形式！

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 正比例函数 \(y = 7x\) 的图象经过第______象限。
2. 正比例函数 \(y = -\frac{2}{3}x\) 的图象经过第______象限。
3. 若 \(y = kx\) （\(k \neq 0\)）的图象经过点 \((1, -3)\)，则这个图象经过第______象限。
4. 若正比例函数图象经过第二、四象限，请写出一个符合的解析式：______。
5. 若正比例函数 \(y = kx\) 中，y随x增大而减小，则它的图象经过第______象限。
6. 判断：正比例函数 \(y = kx\)，当 \(k > 0\) 时，图象一定不经过第二象限。 ( )
7. 点 \(P(a, b)\) 在正比例函数 \(y = -4x\) 图象上，且 \(a > 0\)，则点 \(P\) 在第______象限。
8. 正比例函数 \(y = (a^2 + 1)x\) 的图象经过第______象限。（提示：\(a^2 + 1\) 恒为正）
9. 若函数 \(y = (m-2)x^{|m|-1}\) 是正比例函数，且图象经过第一、三象限，求 \(m\) 的值。
10. 已知 \(y = (p+1)x\) 是正比例函数，且图象不经过第四象限，求 \(p\) 的取值范围。

第二关：中考挑战（10道）

1. （综合题）在平面直角坐标系中，正比例函数 \(y = kx\) （\(k \neq 0\)）和一次函数 \(y = x + b\) 的图象都经过点 \(A(1， 2)\)，则它们与x轴围成的三角形面积是______。
2. （比较题）已知正比例函数 \(y_1 = k_1x\) 和 \(y_2 = k_2x\)，且 \(k_1 > k_2 > 0\)。当 \(x < 0\) 时，\(y_1\) 与 \(y_2\) 的大小关系是______。
3. （几何结合）如图，正方形OABC的边长为2，边OA、OC分别在x轴、y轴正半轴上。正比例函数 \(y = kx\) 的图象将正方形面积平分，则 \(k\) 的值为______。（需配简图）
   
4. （推理题）正比例函数 \(y = kx\) 的图象经过点 \(P(a, b)\)，且 \(a， b\) 满足 \((a-2)^2 + \sqrt{b+4} = 0\)，则 \(k=\) ______，图象经过______象限。
5. （规律题）在平面直角坐标系中，点 \(A_1(1， 0), A_2(2， 3), A_3(3， 8), A_4(4， 15), ...\)，则正比例函数 \(y = kx\) 的图象最有可能经过这组点中的点______。
6. （动态题）已知正比例函数 \(y = (3-m)x\)，当 \(m\) ______ 时，图象经过一、三象限；当 \(m\) ______ 时，y随x增大而增大。
7. （面积题）正比例函数 \(y = x\) 和 \(y = 3x\) 的图象与直线 \(x = 2\) 分别交于点A、B，求三角形OAB的面积（O为原点）。
8. （图象题）在同一坐标系中，画出 \(y = \frac{1}{2}x\)， \(y = x\)， \(y = 2x\) 的大致图象。它们都经过______象限，且 \(k\) 越大，直线越______（填“陡”或“缓”）。
9. （定义题）若定义新运算“*”：\(a * b = 2ab\)。则正比例函数 \(y = (x * 1)\) 的图象经过第______象限。
10. （实际题）匀速行驶的汽车，路程 \(s\) (km)与时间 \(t\) (h)的关系是 \(s = 60t\)。在 \(s-t\) 坐标系中，它的图象是一条经过______的直线，位于第______象限（考虑实际意义，\(t \ge 0, s \ge 0\)）。

第三关：生活应用（5道）

1. （购物折扣）某商店“买一送一”，相当于商品单价变为原价 \(p\) 元的一半。若购买数量为 \(x\)，总价 \(y\) 元，则 \(y =\) ______，其函数图象经过第______象限。
2. （工程绘图）在CAD制图中，将图形放大2倍，相当于每个点的坐标 \((x, y)\) 变为 \((2x, 2y)\)。新图形与原图形对应点坐标之间成正比例关系吗？若是，比例系数 \(k=\) ______？
3. （物理结合）在弹性限度内，弹簧的伸长量 \(\Delta L\) (cm)与所受拉力 \(F\) (N)成正比，即 \(\Delta L = kF\)。若测得 \(F=2N\) 时，\(\Delta L=1cm\)，则 \(k=\) ______。在 \(\Delta L-F\) 坐标系中，图象经过第______象限。
4. （方位角）在雷达屏幕上，以正东方向为0度，方位角 \(\theta\) 与目标坐标 \((x, y)\) 满足 \(\tan \theta = y/x\)。若目标沿 \(y=0.8x\) 的路径移动，则其方位角恒定。请问目标主要从哪个方向飞来？
5. （经济趋势）简单模型中，一国GDP总量 \(Y\) 与其资本投入 \(K\) 成正比例 \(Y = A \cdot K\)，A为常数（技术系数）。若A值提高（技术进步），在 \(Y-K\) 坐标系中，图象的斜率会变______，图象位置（象限）会改变吗？______。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 一、三
2. 二、四
3. 将 \((1, -3)\) 代入得 \(k = -3 < 0\)，所以图象经过二、四象限。
4. \(y = -x\) （答案不唯一，\(k<0\) 即可）
5. “y随x增大而减小”等价于 \(k<0\)，所以图象经过二、四象限。
6. ✅ 正确。因为 \(k>0\) 时，图象经过原点、一、三象限，确实不经过第二象限。
7. 由 \(y=-4x\)，且 \(a>0\)，则 \(b = -4a < 0\)，所以点 \(P\) 在第四象限。
8. 因为 \(a^2 \ge 0\)，所以 \(a^2+1 \ge 1 > 0\)，即 \(k>0\)，图象经过一、三象限。
9. 由正比例函数定义，\(|m|-1=1\) 且 \(m-2 \neq 0\)。解得 \(|m|=2\)，即 \(m=\pm2\)。又图象经过一、三象限，要求 \(k=m-2>0\)，即 \(m>2\)。故 \(m=2\)（舍去，不满足 \(m>2\) 且 \(m-2\neq0\)）。检查：若 \(m=-2\)，则 \(k=-4<0\)，图象过二四象限，不符。所以本题无解。这是一个易错点！
10. 图象不经过第四象限 ⇒ 图象可能经过一、三象限，或一、三象限及原点（即就是正比例函数的标准情况），也允许经过原点和y轴正半轴（此时k=0，是x轴，但这不是正比例函数）。由于是正比例函数 \(y=(p+1)x\)，所以只可能经过一三或二四象限。要不经过第四象限，则必须经过一三象限，即 \(p+1 > 0\)，所以 \(p > -1\)。

第二关：中考挑战

1. 由 \(A(1,2)\) 在 \(y=kx\) 上得 \(k=2\)，在 \(y=x+b\) 上得 \(b=1\)。两函数为 \(y=2x\) 和 \(y=x+1\)。求 \(y=x+1\) 与x轴交点 \(B(-1, 0)\)。三角形OAB的底 \(OB=1\)，高为A点纵坐标 \(2\)，面积 \(S=\frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1\)。
2. \(k_1 > k_2 > 0\)，当 \(x<0\) 时，\(y_1=k_1x\)， \(y_2=k_2x\)，因为 \(x\) 为负，\(k_1x < k_2x < 0\)，即 \(y_1 < y_2\)。
3. 平分正方形面积的直线必过正方形中心 \(M(1， 1)\)。将 \(M(1,1)\) 代入 \(y=kx\) 得 \(k=1\)。
4. 由非负数和为0得 \(a=2, b=-4\)，所以 \(P(2， -4)\)，代入得 \(k=-2<0\)，图象经过二、四象限。
5. 观察点规律：\(A_n(n, n^2-1)\)。若点在 \(y=kx\) 上，则需 \(n^2-1 = k \cdot n\)，即 \(k = n - \frac{1}{n}\)，不是常数，所以不可能所有点都在同一条正比例函数图象上。但点 \(A_2(2,3)\) 代入 \(y=kx\) 得 \(k=1.5\)；点 \(A_1(1,0)\) 代入得 \(k=0\)（不是正比例函数）。点 \(A_3(3,8)\) 代入得 \(k=8/3 \approx 2.67\)，k值不一致。因此没有一个点能和其他所有点满足同一个正比例关系。但题目问“最有可能经过”，可以粗略看哪个点接近 \(y=x\) 线？都不接近。或计算每个点对应的“瞬时k值”：对于 \(A_n\)，若视其满足 \(y=kx\)，则 \(k_n = (n^2-1)/n = n - 1/n\)。\(n=2\)时 \(k=1.5\)，\(n=3\)时 \(k\approx2.67\)，\(n=4\)时 \(k=3.75\)，一直在变。所以严格来说，没有一个点能在同一条过原点的直线上。但若只选一个点，任意一个点与原点都能确定一条正比例函数图象，所以题目可能想表达这个意思，答案是“任意一点”或“例如 \(A_2\)”。这是一道有歧义的题，主要考察观察和尝试能力。更合理的理解是：哪个点与原点连线的斜率最接近一个“简单”的值？\(A_2(2,3)\) 斜率1.5， \(A_3(3,8)\) 斜率约2.67， \(A_4(4,15)\)斜率3.75。没有特别简单的。可能答案是 \(A_2\)，因为1.5相对简单。
6. 图象经过一、三象限 ⇒ \(3-m > 0 \Rightarrow m < 3\)。 y随x增大而增大 ⇒ \(3-m > 0 \Rightarrow m < 3\)。所以两空答案相同。
7. 当 \(x=2\) 时，对于 \(y=x\)，得 \(A(2,2)\)；对于 \(y=3x\)，得 \(B(2,6)\)。三角形OAB的底为 \(AB=4\)，高为点O到直线 \(x=2\) 的距离 \(2\)，所以面积 \(S=\frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4\)。
8. 都经过一、三象限。且 \(k\) 越大，直线越“陡”。
9. \(y = x * 1 = 2 \times x \times 1 = 2x\)，所以 \(k=2>0\)，图象经过一、三象限。
10. 图象经过原点。由于 \(t \ge 0, s \ge 0\)，所以图象是位于第一象限的一条射线（从原点出发）。

第三关：生活应用

1. \(y = \frac{p}{2} x\)，\(k = \frac{p}{2} > 0\) (p为原价)，所以图象经过第一、三象限（实际只取第一象限部分）。
2. 是正比例关系，对应点的横、纵坐标分别成比例，且比例系数相同 \(k=2\)。
3. \(k = \frac{\Delta L}{F} = \frac{1}{2} = 0.5\) (cm/N)。在弹性限度内，\(F>0, \Delta L>0\)，所以图象是第一象限内的一条射线（从原点出发）。
4. 由 \(y=0.8x\) 得 \(k=0.8>0\)，所以目标在一、三象限方向移动。但雷达屏幕通常只显示方位角 \(0^\circ\) 到 \(360^\circ\)，对应第一象限（东北方向）和第三象限（西南方向）。由于路径是直线，可以说它从东北向西南（或反向）飞来。更具体地，\(\tan \theta = 0.8\)， \(\theta \approx 38.7^\circ\) 或 \(218.7^\circ\)。
5. 斜率 \(k = A\)，A值提高，斜率变大，图象变陡。图象位置（象限）不会改变，因为 \(K>0, Y>0\)，图象始终在第一象限。