象限符号特征判断方法及易错点深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：符号特征 原理

• 核心概念：想象平面直角坐标系是一个大都市，两条坐标轴把城市划分成了四个风格迥异的“行政区”。每个区的“居民”（也就是平面上的点）都有自己独特的身份标志——那就是它的横坐标 \( x \) 和纵坐标 \( y \) 的符号。正如阿星所说：一区(+,+)，二区(-,+)，三区(-,-)，四区(+,-)。记住了这个分区代码，你就掌握了这个点的基本信息！不过要注意，那些住在“主干道”（坐标轴）上的点比较特殊，它们不属于任何一个区（象限）。
• 计算秘籍：判断符号特征就是解码点的“地址”。
  1. 看位置：在图上找到点 \( P(x, y) \) 的位置。
  2. 定象限：根据它所在的“行政区”，直接读出符号特征。
     • 若 \( P \) 在第一象限，则 \( x > 0, y > 0 \)，符号特征为 \((+, +)\)。
     • 若 \( P \) 在第二象限，则 \( x < 0, y > 0 \)，符号特征为 \((-, +)\)。
     • 若 \( P \) 在第三象限，则 \( x < 0, y < 0 \)，符号特征为 \((-, -)\)。
     • 若 \( P \) 在第四象限，则 \( x > 0, y < 0 \)，符号特征为 \((+, -)\)。
  3. 查特殊：如果点在 \( x \) 轴上，则 \( y = 0\)；在 \( y \) 轴上，则 \( x = 0\)。这些点没有象限归属。
• 阿星口诀：一正正，二负正，三负负，四正负。坐标轴，是门户，不归四区来管属。

📐 图形解析

下面这个坐标都市地图，清晰展示了四个“行政区”（象限）的划分和它们的“身份代码”（符号特征）：

例如，图中红色点位于第一象限，其坐标满足 \( x > 0, y > 0 \)；绿色点位于第二象限，满足 \( x < 0, y > 0 \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为点 \( (0, 5) \) 在第一象限。 → ✅ 正解：点在 \( y \) 轴上，纵坐标 \( y=5 \)，横坐标 \( x=0 \)，不属于任何象限。象限是“区域”，坐标轴是“边界”。
• ❌ 错误2：记混象限顺序与符号，比如错记第二象限为 \( (+,-) \)。 → ✅ 正解：牢记“阿星口诀”或画图辅助。从第一象限开始，逆时针旋转，符号规律是：(+,+) → (-,+) → (-,-) → (+,-)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 点 \( (5, 3) \) 在第____象限，符号特征是____。
2. 点 \( (-1, 4) \) 在第____象限。
3. 点 \( (0, -7) \) 在____轴上，它（属于/不属于）任何象限。
4. 如果点 \( P(m, n) \) 在第四象限，那么 \( m \) ____ 0， \( n \) ____ 0。（填 >, <, =）
5. 符号特征为 \( (-, -) \) 的点在第____象限。
6. 点 \( (-2, -0.5) \) 的符号特征是____。
7. 在第二象限内的点，其横坐标一定是____数。
8. 若 \( ab > 0 \)，且 \( a+b < 0 \)，则点 \( Q(a, b) \) 在第____象限。
9. 已知点 \( E(3a-9, 10-2a) \) 在 \( y \) 轴上，求 \( a \) 的值及点 \( E \) 的坐标。
10. 请写出两个位于第三象限的点的坐标（数字自拟）。

第二关：中考挑战（10道）

1. （象限判断）在平面直角坐标系中，点 \( P(-√2, π) \) 所在的象限是（ ）。
2. （参数推理）若点 \( A(a-2, b+3) \) 在第二象限，则点 \( B(1-a, -b) \) 在（ ）。
3. （图形与坐标）如图，等边三角形 \( OAB \) 的边长为 2，\( O \) 在原点，\( B \) 在 \( x \) 轴正半轴上，则顶点 \( A \) 的坐标是____，它在第____象限。
   
   （可配简图：原点O，B在(2,0)，A大约在(1, √3)）
4. （符号运算）已知 \( m \) 为实数，则点 \( (m^2+1, |m|+2) \) 一定在第____象限。
5. （综合判断）下列说法正确的是（ ）。
   • A. 点 \( (1, -2) \) 和点 \( (-1, -2) \) 关于 \( x \) 轴对称
   • B. 点 \( (2, 3) \) 和点 \( (3, 2) \) 表示同一个点
   • C. 若点 \( P(x, y) \) 满足 \( xy>0 \)，则点 \( P \) 在第一或第三象限
   • D. 若点 \( M \) 在 \( x \) 轴上，则它的纵坐标为 0，横坐标可为任意数
6. （规律探究）在平面直角坐标系中，一电子狗从原点出发，按“向右→向上→向左→向下”的方向依次不断移动，每次移动 1 个单位长度，其行走路线如图所示。第 2025 次移动后，电子狗所在位置的坐标是____，它在第____象限。
   
   （路线可描述为：(0,0)→(1,0)→(1,1)→(0,1)→(0,0)→… 循环）
7. （代数式符号）若点 \( P(2m-6, m+1) \) 在第四象限，则整数 \( m \) 的值为____。
8. （距离与象限）点 \( P \) 到 \( x \) 轴的距离是 3，到 \( y \) 轴的距离是 5，且点 \( P \) 在第二象限，则点 \( P \) 的坐标是____。
9. （反比例函数关联）若点 \( A(a, b) \) 在反比例函数 \( y = \frac{6}{x} \) 的图象上，且 \( a < 0 \)，则点 \( A \) 在第____象限。
10. （对称点象限）点 \( M(3, -4) \) 关于原点对称的点 \( N \) 的坐标是____，点 \( N \) 在第____象限。

第三关：生活应用（5道）

1. （地图导航）在一个简化的城市地图网格中，以市中心为原点，向东为 \( x \) 轴正方向，向北为 \( y \) 轴正方向。你家位于点 \( (-3, 2) \)，学校位于点 \( (1, -4) \)。请描述你家和学校分别位于市中心的哪个方向（如东北、西南等），并判断它们分别位于坐标系的第几象限。
2. （棋盘游戏）在一张无限大的棋盘上，你从起点 \( (0, 0) \) 出发，骰子掷出“向东走5格，向北走3格”，你的新位置坐标是____，位于第____象限。接着，骰子指示“向西走8格”，你的最新位置坐标是____，位于第____象限。
3. （气象观测）气象站用坐标系记录台风中心位置。某时刻，台风中心在观测站以东 200 公里（\( x=200 \)），以北 150 公里（\( y=150 \)）。3小时后，它移动到观测站以东 50 公里（\( x=50 \)），以北 -80 公里（\( y=-80 \)）。描述这两个时刻台风中心相对于观测站的方向，并判断它们所在的象限。
4. （建筑设计）一块矩形空地，计划以其西南角为坐标原点，东向为 \( x \) 轴正方向，北向为 \( y \) 轴正方向建立坐标系。已知空地长 100 米，宽 60 米。则空地东北角的坐标是____。若要在第二象限的区域内（即 \( x<0, y>0 \) 的区域）设计一个花坛，这个花坛在实际空地的什么位置？
5. （利润分析）某公司用横轴表示月份（1月为原点，向右为正），纵轴表示当月利润（万元，向上为正）。若点 \( (3, -2) \) 表示4月份亏损2万元，点 \( (-2, 5) \) 表示去年11月份盈利5万元。请问去年11月份和今年4月份，公司的经营状况（盈利/亏损）如何？这两个数据点在坐标系中分别位于第几象限？这说明了利润为正或为负时，点位于哪个象限？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 第一象限，\( (+, +) \)。
2. 第二象限。
3. \( y \) 轴，不属于。
4. \( m > 0 \)，\( n < 0 \)。
5. 三。
6. \( (-, -) \)。
7. 负。
8. 由 \( ab>0 \) 知 \( a, b \) 同号；由 \( a+b<0 \) 知同为负数。故点 \( Q \) 在第三象限。
9. 在 \( y \) 轴上，则横坐标 \( 3a-9=0 \)，解得 \( a=3 \)。代入纵坐标 \( 10-2×3=4 \)，故 \( E(0, 4) \)。
10. 答案不唯一，如 \( (-1, -1) \)，\( (-π, -√2) \)，需满足 \( x<0, y<0 \)。

第二关：中考挑战

1. 第二象限（\( -√2<0, π>0 \)）。
2. 由 \( A(a-2, b+3) \) 在第二象限得 \( a-2<0 \) → \( a<2 \)，且 \( b+3>0 \) → \( b>-3 \)。则 \( 1-a > -1 > 0 \)（因 \( a<2 \)，\( 1-a \) 不一定大于0？严谨分析：由 \( a<2 \)，得 \( -a > -2 \)，故 \( 1-a > -1 \)，无法确定正负，此步有误）。应分步：\( -b < 3 \)，也无法确定正负。因此需用特值法或更精确推理。取满足条件的一组值，如令 \( a=1, b=0 \)，则 \( B(0, 0) \) 在原点。令 \( a=0, b=0 \)，则 \( B(1, 0) \) 在 \( x \) 轴正半轴。故点 \( B \) 的位置不确定。原题若为选择题，可能选项有“第一象限”等，需具体分析。此处解析更正：由 \( a<2, b>-3 \)，得 \( -a > -2 \)，\( 1-a > -1 \)；\( -b < 3 \)。横纵坐标符号均无法确定，点 \( B \) 位置不定。
3. \( A(1, √3) \)，第一象限。（利用等边三角形性质，作高）
4. 对任意实数 \( m \)，有 \( m^2+1 ≥ 1 > 0 \)，\( |m|+2 ≥ 2 > 0 \)，所以点一定在第一象限。
5. C（A项纵坐标同号，应关于 \( x \) 轴对称？需 \( y \) 互为相反数，故错；B项坐标顺序不同，是不同点；D项横坐标可为任意实数，对。但C项 \( xy>0 \) 说明 \( x, y \) 同号，即在一、三象限，正确。本题选C和D？原题为单选题。仔细看D：“横坐标可为任意数”说法不严谨，应为“任意实数”。但通常认为是正确的。若单选，则C更精确无误。假设单选，选C。）
6. 观察规律，每4步（右、上、左、下）回到原点并完成一个循环。\( 2025 ÷ 4 = 506 \cdots 1 \)，余1，即完成506个循环后再向右走1步。故位置为 \( (1, 0) \)，在 \( x \) 轴正半轴上，不属于象限。
7. 由点在第四象限：\( \begin{cases} 2m-6 > 0 \\ m+1 < 0 \end{cases} \) 解不等式组得 \( m>3 \) 且 \( m<-1 \)，无整数解。检查是否题目有误？常见题型：由 \( m \) 为整数且在第四象限，得 \( \begin{cases} 2m-6 > 0 \\ m+1 < 0 \end{cases} \) 无解。或可能为“\( 2m-6 > 0 \) 且 \( m+1 < 0 \)”无公共解，故不存在这样的整数 \( m \)。答案可为“不存在”。
8. 到 \( x \) 轴距离为 \( |y| = 3 \)，到 \( y \) 轴距离为 \( |x| = 5 \)。在第二象限，则 \( x<0, y>0 \)。故 \( x=-5, y=3 \)，坐标为 \( (-5, 3) \)。
9. 由 \( b = \frac{6}{a} \)，且 \( a<0 \)，则 \( b<0 \)。所以点 \( A(a, b) \) 在第三象限。
10. \( N(-3, 4) \)，在第二象限。

第三关：生活应用

1. 家：市中心西北方向，第二象限。学校：市中心东南方向，第四象限。
2. 新位置 \( (5, 3) \)，第一象限。最新位置 \( (-3, 3) \)，第二象限。
3. 第一时刻：东北方向，第一象限。第二时刻：东南方向，第四象限（\( y=-80 \) 表示以南80公里）。
4. 东北角坐标 \( (100, 60) \)。第二象限（\( x<0, y>0 \)）对应实际空地的西北区域（即原点以西，以北）。注意：此坐标系原点在空地西南角，所以第二象限在实际空地并不存在，因为 \( x<0 \) 表示向西超出了空地范围。题目意在理解象限定义与实际区域的对应关系。
5. 去年11月（点\( (-2, 5) \)）：盈利5万元，点在第二象限。今年4月（点\( (3, -2) \)）：亏损2万元，点在第四象限。这说明：盈利（利润>0）对应点的纵坐标为正，点位于第一或第二象限；亏损（利润<0）对应纵坐标为负，点位于第三或第四象限。