相似定义全解析：形状相同大小不同是什么？对应边成比例怎么求？专项练习题库

💡 阿星精讲：相似定义 原理

• 核心概念：同学们好，我是阿星！想象一下，你有一张心爱的漫画海报，你用手机把它拍了下来。这时，你可以用两根手指在屏幕上把它“放大”或“缩小”。无论你怎么缩放，海报里人物的样子、动作、表情都完全不会变，只是整个图片的大小发生了变化。在数学世界里，我们把这种关系叫做“相似”。所以，阿星的秘诀就是：形状相同，大小不同。更准确地说，就是对应角相等，对应边成比例（不是相等）。成比例，就像你把图片放大 \(2\) 倍，那么图片里每一条边的长度都变成了原来的 \(2\) 倍。
• 计算秘籍：判断两个图形（以三角形为例）是否相似，分两步走：
  1. 确认对应角相等：比如 \(\angle A = \angle A'\), \(\angle B = \angle B'\), \(\angle C = \angle C'\)。
  2. 确认对应边成比例：比如 \(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = k\)。这个 \(k\) 就是相似比。\(k>1\) 表示放大，\(k<1\) 表示缩小。

  只要满足其中一条（角相等或边成比例），根据判定定理，就能推出另一条也成立。

• 阿星口诀：形状一样像兄弟，大小不同没关系。对角相等是铁律，对应边成比例。

📐 图形解析

下面我们用两个三角形来直观感受一下“放大缩小”。注意观察它们的角和边。

观察上图，\(\triangle ABC\) 和 \(\triangle A‘B’C‘\) 形状完全相同。我们可以验证：

• 对应角相等：\(\angle A = \angle A‘\)， \(\angle B = \angle B’\)， \(\angle C = \angle C‘\)。
• 对应边成比例：\(\frac{A‘B’}{AB} = \frac{6}{4} = 1.5\)， \(\frac{B‘C’}{BC} = \frac{9}{6} = 1.5\)， \(\frac{A‘C’}{AC} = \frac{7.5}{5} = 1.5\)。相似比 \(k = 1.5\)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“形状差不多”就是相似。 → ✅ 正解：数学上的“相似”定义非常严格，必须所有对应角相等且所有对应边成比例，差一点都不行！
• ❌ 错误2：混淆“相似”和“全等”。 → ✅ 正解：全等是相似的一种特殊情况，当相似比 \(k=1\) 时，就是全等。所以全等一定相似，但相似不一定全等。
• ❌ 错误3：写比例式时，对应边顺序混乱，如 \(\frac{AB}{A‘B’} = \frac{BC}{C‘B’}\)。 → ✅ 正解：必须确保是对应边相比。最稳的方法是：短边比短边，长边比长边，或者按照对应顶点顺序来比，如 \(\frac{AB}{A‘B’} = \frac{BC}{B‘C’} = \frac{CA}{C‘A’}\)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断题：所有的等边三角形都相似。（ ）
2. 若 \(\triangle ABC \sim \triangle A‘B’C‘\)，且 \(AB=4, A’B‘=6\)，则它们的相似比 \(k = \)______。
3. 一个三角形的三边长分别是 \(3, 4, 5\)，另一个与它相似的三角形的最短边是 \(6\)，则后一个三角形的周长是______。
4. 选择题：下列各组图形中，一定相似的是（ ）A.两个平行四边形 B.两个等腰梯形 C.两个矩形 D.两个正方形
5. 根据下图中的角度，判断 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEF\) 是否相似。
   
6. 填空题：相似多边形的______相等，______成比例。
7. 地图上比例尺为 \(1:10000\)，表示地图上的 \(1cm\) 代表实际距离 ______ \(m\)。这是______的应用。
8. \(\triangle ABC\) 的三边为 \(6, 8, 10\)，\(\triangle DEF\) 的三边为 \(9, 12, 15\)，它们相似吗？为什么？
9. 一个五边形各内角分别为 \(110^\circ, 120^\circ, 95^\circ, 130^\circ, 85^\circ\)，另一个五边形的各内角对应相等，它们相似吗？还需要什么条件？
10. 已知相似比为 \(2:3\)，若小三角形周长为 \(20\)，则大三角形周长为______。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题) 如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(DE // BC\)，\(AD=2\), \(DB=3\), \(DE=4\)，则 \(BC=\)______。
2. 已知 \(\triangle ABC \sim \triangle A‘B’C‘\)，\(AD\) 和 \(A’D‘\) 分别是它们对应边 \(BC\) 和 \(B’C‘\) 上的高。若 \(AD=8\), \(A’D‘=12\), \(BC=10\)，求 \(B’C‘\)。
3. 平行四边形 \(ABCD\) 中，\(E\) 是 \(AB\) 延长线上一点，连接 \(DE\) 交 \(BC\) 于点 \(F\)。请找出图中所有的相似三角形。
4. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)，\(CD \perp AB\) 于 \(D\)。求证：\(\triangle ABC \sim \triangle CBD \sim \triangle ACD\)。
5. 两个相似多边形的一组对应边分别为 \(3cm\) 和 \(4.5cm\)，如果它们的面积和为 \(78cm^2\)，求这两个多边形的面积。
6. 如图，小正方形边长 \(1\)，大正方形边长 \(2\)，连接对应顶点。问：图中 \(\triangle AEF\) 与 \(\triangle CDF\) 相似吗？证明你的结论。
7. \(\triangle ABC\) 中，\(AB=12\), \(BC=18\), \(CA=24\)。点 \(D\) 在 \(AC\) 上，且 \(\triangle ABD \sim \triangle ACB\)，求 \(AD\) 的长。
8. 雨后操场上有处积水，小明从积水边沿看到教学楼的倒影。他用步测法估得积水边沿到自己脚的距离为 \(2\) 米，到楼底（视线延长线）的距离为 \(20\) 米。已知小明眼高 \(1.6\) 米，请帮他估算教学楼的高度。
9. 已知两个相似三角形的最长边之比为 \(5:2\)，且大三角形的面积为 \(150\)，则小三角形的面积为______。
10. 综合题：在 \(\triangle ABC\) 中，\(D, E\) 分别在 \(AB, AC\) 上，且 \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{3}\)。连接 \(DE\) 和 \(BE\)，\(BE\) 与 \(CD\) 交于点 \(O\)。求证：\(DE // BC\)，并求 \(\frac{S_{\triangle ODE}}{S_{\triangle OBC}}\)。

第三关：生活应用（5道）

1. 工程设计：建筑师需要制作一个体育馆的微缩模型，模型与实物的比例是 \(1:100\)。如果实际体育馆的屋顶桁架一根梁的长度为 \(45\) 米，那么在模型中，这根梁应该做多长？
2. 艺术创作：画家想把一幅素描画放大到画布上。原画中人物的头部高度是 \(5cm\)，他希望放大后头部高度为 \(25cm\)。那么，原画中一条长度为 \(12cm\) 的线条，在画布上应该画多长？
3. 地图测绘：在一张比例尺为 \(1:50000\) 的地图上，两个村庄的图上距离是 \(3.6cm\)。请问这两个村庄的实际距离是多少公里？
4. 摄影构图：你用变焦镜头拍摄一棵树。当焦距拉长（放大）时，成像在传感器上的树的高度会如何变化？这体现了什么数学原理？
5. 机械制图：一个零件的三视图是按 \(2:1\) 的比例（放大）绘制的。如果在图纸上测得某条线的长度是 \(36mm\)，那么这个零件上这条线的实际长度是多少？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. ✓。解析：等边三角形每个角都是 \(60^\circ\)，满足对应角相等；所有边等长，任意两边之比都为 \(1\)，满足对应边成比例。
2. \(k = \frac{A‘B’}{AB} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\) 或 \(k = \frac{AB}{A‘B’} = \frac{2}{3}\)。解析：相似比要注意顺序，大比小得到放大比，小比大得到缩小比。
3. \(24\)。解析：原三角形边长 \(3,4,5\)，周长 \(12\)。相似三角形最短边 \(6\) 与原最短边 \(3\) 的相似比 \(k=2\)。周长比等于相似比，所以新周长 \(=12 \times 2 = 24\)。
4. D。解析：所有正方形内角均为 \(90^\circ\)，边长相度也成比例（因所有边相等），故一定相似。其他选项形状不固定。
5. 相似。解析：\(\triangle ABC\) 中，\(\angle A=70^\circ, \angle B=50^\circ, \angle C=60^\circ\)。\(\triangle DEF\) 中，\(\angle D=70^\circ, \angle E=60^\circ, \angle F=50^\circ\)。虽然字母顺序不同，但确实存在 \(\angle A = \angle D\)， \(\angle B = \angle F\)， \(\angle C = \angle E\)，对应角相等，所以相似。
6. 对应角，对应边。
7. \(100\) 米，相似（或比例）。
8. 相似。解析：计算三组对应边的比值：\(\frac{9}{6}=1.5, \frac{12}{8}=1.5, \frac{15}{10}=1.5\)，三边对应成比例，所以相似。
9. 不一定相似。解析：虽然对应角相等，但还需要满足对应边成比例。仅凭角相等无法确定边是否成比例。
10. \(30\)。解析：周长比等于相似比。小:大 = \(2:3\)，所以大三角形周长 \(= 20 \times \frac{3}{2} = 30\)。

第二关：中考挑战

1. \(10\)。解析：由 \(DE // BC\)，得 \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\)。所以 \(\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}\)。故 \(BC = DE \times \frac{5}{2} = 4 \times 2.5 = 10\)。
2. \(B’C‘ = 15\)。解析：相似三角形对应高的比等于相似比。所以相似比 \(k = \frac{A‘D’}{AD} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\)。又因为 \(\frac{B‘C’}{BC} = k\)，所以 \(B‘C’ = BC \times k = 10 \times \frac{3}{2} = 15\)。
3. 略。解析：主要考察“A字型”和“X字型”相似模型。如 \(\triangle EBF \sim \triangle EAD\)， \(\triangle CDF \sim \triangle EBF\)。
4. 略。解析：利用“两角分别相等（AA）”判定。\(\triangle ABC\) 和 \(\triangle CBD\) 共有 \(\angle B\)，且 \(\angle ACB = \angle CDB = 90^\circ\)，故相似。同理可证其他。
5. \(24cm^2\) 和 \(54cm^2\)。解析：相似比 \(k = \frac{4.5}{3} = \frac{3}{2}\)。面积比 \(= k^2 = \frac{9}{4}\)。设小多边形面积为 \(S\)，则大多边形面积为 \(\frac{9}{4}S\)。由 \(S + \frac{9}{4}S = 78\)，解得 \(\frac{13}{4}S=78, S=24\)。大多边形面积 \(= 78-24=54\)。
6. 略。解析：通常利用两边成比例且夹角相等（SAS）判定。需计算边长的比值和夹角是否相等。
7. \(AD = 6\)。解析：由 \(\triangle ABD \sim \triangle ACB\)，得对应边成比例：\(\frac{AD}{AB} = \frac{AB}{AC}\)。代入得 \(\frac{AD}{12} = \frac{12}{24}\)，所以 \(AD = 12 \times \frac{12}{24} = 6\)。
8. 略。解析：此题为例题3的变式。积水水面相当于一面镜子（反射），其成像原理与影子测高（光的直线传播）不同，但最终形成的几何模型同样是两个相似直角三角形。需要画出光路图进行分析。
9. \(24\)。解析：相似比 \(k = \frac{5}{2}\)，面积比 \(= k^2 = \frac{25}{4}\)。设小三角形面积为 \(S\)，则 \(\frac{150}{S} = \frac{25}{4}\)，解得 \(S = \frac{150 \times 4}{25} = 24\)。
10. 略。解析：第一问用平行线分线段成比例的逆定理证 \(DE // BC\)。第二问，由 \(DE // BC\) 可得 \(\triangle ODE \sim \triangle OBC\)，相似比需要通过 \(\frac{DE}{BC}\) 求得，而 \(\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}\)。故面积比 \(= (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\)。

第三关：生活应用

1. \(0.45\) 米 或 \(45\) 厘米。解析：模型长度 \(= 45 \times \frac{1}{100} = 0.45\) (米)。
2. \(60\) 厘米。解析：放大比例 \(= \frac{25}{5} = 5\)。画布上的线条长 \(= 12 \times 5 = 60\) (厘米)。
3. \(1.8\) 公里。解析：实际距离 \(= 3.6 \times 50000 = 180000\) (厘米) \(= 1800\) (米) \(= 1.8\) (公里)。
4. 成像会变大。体现了相似（图形的放大）原理。镜头相当于一个凸透镜，成像与物体是相似的。
5. \(18mm\)。解析：图纸是放大图，比例 \(2:1\) 表示图上尺寸是实际尺寸的 \(2\) 倍。所以实际长度 \(= \frac{36}{2} = 18\) (毫米)。