线段性质深度解析：两点之间最短距离怎么求？附中考真题训练专项练习题库

💡 阿星精讲：线段性质 原理

• 核心概念：想象一下，你的书包在A点，而你在B点的操场，你会绕着学校围墙走一个大圈去拿书包吗？当然不会！你会选择抄近道，径直走过去。这条最直接的“近道”，就是连接A、B两点的线段。阿星：“两点之间，线段最短。连接两点的线段长度叫距离。” 记住，线段是图形，它有起点和终点；而距离是一个数字，是这条线段的“长度值”。
• 计算秘籍：在数轴上或平面直角坐标系中，要计算两点A和B之间的距离（即线段AB的长度），我们有一个万能公式。假设 A 点坐标为 \( (x_1, y_1) \)，B 点坐标为 \( (x_2, y_2) \)，那么：
  • 两点间距离公式：\( AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
  • 在数轴上更简单：若 A 对应数 \( a \)，B 对应数 \( b \)，则 \( AB = |b - a| \)。（绝对值保证长度非负）
• 阿星口诀：“距离最短是线段，坐标相减再平方，加在一起开个方，长度立马现眼前！”

📐 图形解析

如何理解“直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短”？这就像你（点P）要快速到达一条马路（直线l），沿着垂直于马路的方向跑过去（线段PC）才是最近的，斜着跑（PA或PB）都会更远。

点到直线的距离公式：若直线方程为 \( Ax + By + C = 0 \)，点P坐标为 \( (x_0, y_0) \)，则距离 \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \) 。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：求一个复杂图形（如折线、曲线）上两点的距离时，直接连接两点用公式算。
  ✅ 正解：“线段最短”只适用于没有障碍的平面。 如果规定必须沿着图形走，那么“距离”指的是图形上连接这两点的路径长度，比如折线的总长，而不是直线距离。
• ❌ 错误2：认为“点到直线的距离”就是连接该点和直线上任意一点的线段长度。
  ✅ 正解：必须是垂直的那条特殊线段（垂线段）的长度。直线上其他点与它连成的线段都更长。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 看图填空：连接A、B两点的线有____条，其中____最短。
   
2. 数轴上，点P在-2，点Q在3，则PQ = \( |\ \ \ \ \ \ | \) = ____。
3. 已知线段MN=10cm，点O是MN中点，则MO=____cm。
4. 要测量墙上两点A、B间的直线距离，应该用____（填工具名）。
5. 从A地到B地有四条路可走，如图所示，选择第____条路最近，依据的原理是________________。
   
6. 若点C在线段AB上，且AC=3, BC=5，则AB=____。
7. 已知A(1,1), B(1,4)，则AB=____。
8. 直线外一点到这条直线的____线段最短。
9. 判断：连接两点的线段叫做这两点的距离。（ ）
10. 平面上有任意三点A、B、C，则AB+BC ____ AC。（填 >, < 或 = ）

第二关：中考挑战（10道）

1. 已知数轴上A、B表示的数分别为a、b，且|a+2|+(b-6)²=0，点C是AB中点，求点C表示的数。
2. 已知点P(2-a, 3a+6)到两坐标轴距离相等，求点P坐标。
3. 在平面直角坐标系中，点A(-1, 2)关于x轴的对称点为A‘，求线段AA’的长度。
4. 已知点M(3, -1), N(1, 2)，点P在y轴上，且PM=PN，求点P坐标。
5. 求点P(-2, 1)到直线y=3x-4的距离。
6. 已知A(0,3), B(4,0)，点C在x轴上，若△ABC是等腰三角形，求点C坐标。
7. 如图，圆柱底面周长为12cm，高为8cm，一只蚂蚁从底面圆周上一点A爬到相对的另一条母线底端的B点，求最短路径长。
   
8. 已知线段AB=12，点C、D在线段AB上，且AC:CD:DB=1:2:3，点M、N分别是AC、DB中点，求MN长。
9. 若点A(a, 2)与点B(3, b)关于原点对称，求线段AB的长度。
10. 在矩形ABCD中，AB=8, BC=6，点P为BC边上一点，若△ABP的面积为12，求点P到对角线AC的距离。

第三关：生活应用（5道）

1. （测量）为了估算池塘两端A、B的距离，小强在池塘外选取一点C，测得AC=50m，BC=40m，并测得∠ACB=90°。请你帮他计算AB的长。
2. （导航）如图，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M、N是分别位于公路AB两侧的两个村庄。汽车行驶到哪个位置（设为点P）时，到两个村庄的距离之和PM+PN最小？请在图上标出点P，并说明原理。
   
3. （工程）如图，要在一条河l旁边修建一个水泵站P，分别向A、B两村送水。水泵站修在河边的什么地方，可使所用的水管PA+PB最短？
   
4. （选址）一个物流仓库需要建在一条铁路线附近，以方便同时服务位于铁路线同侧的三个大型工厂A、B、C。已知A、B、C到铁路线的垂直距离分别为2km、4km、6km，且A、B、C在平行于铁路线的直线上，相邻两厂间隔5km。问仓库建在铁路线何处，能使它到三厂的总距离（垂直距离+沿铁路方向距离）最短？
5. （设计）公园里有一个矩形花坛ABCD，长AB=10米，宽BC=4米。现在要铺设一条从A点到C点的观赏石板路。如果要求路线必须经过花坛边上的一个固定装饰点P（位于AD边上，距A点1米），那么这条最短的石板路应该如何设计？画出路线图并计算其长度。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 无数，线段。
2. \( |3 - (-2)| \)，5。
3. 5。
4. 卷尺（或测距仪）。
5. ②，两点之间线段最短。
6. 8。
7. 3（因为x坐标相同，距离=纵坐标差的绝对值）。
8. 垂。
9. ❌（应为：连接两点的线段的长度叫做这两点的距离。）
10. ≥（当且仅当B点在线段AC上时取等号）。

第二关：中考挑战

1. 解：由非负性，\( a+2=0, b-6=0 \)，得 \( a=-2, b=6 \)。中点 \( C = \frac{a+b}{2} = \frac{-2+6}{2} = 2 \)。
2. 解：到两轴距离相等 \( \Rightarrow |2-a| = |3a+6| \)。分情况：① \( 2-a = 3a+6 \Rightarrow 4a=-4 \Rightarrow a=-1, P(3,3) \)。② \( 2-a = -(3a+6) \Rightarrow 2-a=-3a-6 \Rightarrow 2a=-8 \Rightarrow a=-4, P(6,-6) \)。
3. 解：A'(-1, -2)。AA'是竖直线段，长度=\( |2-(-2)| = 4 \)。
4. 解：设P(0,y)。PM=PN \( \Rightarrow \sqrt{(3-0)^2+(-1-y)^2} = \sqrt{(1-0)^2+(2-y)^2} \)。两边平方：\( 9+(y+1)^2 = 1+(y-2)^2 \)。展开：\( 9+y^2+2y+1 = 1+y^2-4y+4 \)，化简得 \( 6y = -5 \)，\( y=-\frac{5}{6} \)。P(0, -5/6)。
5. 解：直线化为 \( 3x - y - 4 = 0 \)。距离 \( d = \frac{|3\times(-2) - 1 - 4|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}} = \frac{|-6-1-4|}{\sqrt{10}} = \frac{11}{\sqrt{10}} = \frac{11\sqrt{10}}{10} \)。
6. 解：C在x轴上，设C(x,0)。AB=\( \sqrt{(4-0)^2+(0-3)^2} = 5 \)。△ABC等腰，分情况：① AB=AC：\( \sqrt{x^2+3^2} = 5 \Rightarrow x^2=16 \Rightarrow x=\pm4 \)，C(4,0)与B重合舍去，或C(-4,0)。② AB=BC：\( \sqrt{(x-4)^2} = 5 \Rightarrow |x-4|=5 \Rightarrow x=9 \) 或 \( x=-1 \)，C(9,0)或C(-1,0)。③ AC=BC：\( \sqrt{x^2+9} = \sqrt{(x-4)^2} \Rightarrow x^2+9=x^2-8x+16 \Rightarrow 8x=7 \Rightarrow x=7/8 \)，C(7/8,0)。综上，C(-4,0)或(9,0)或(-1,0)或(7/8,0)。
7. 解：将圆柱侧面展开为矩形，长为12cm（底面周长），宽为8cm（高）。A、B展开后位置如图。最短路径为展开图上线段AB长。AB=\( \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10 \) cm。
   
8. 解：设AC=x, 则CD=2x, DB=3x。由AB=12得 x+2x+3x=12, x=2。故AC=2, CD=4, DB=6。M是AC中点，MC=1；N是DB中点，DN=3。MN = MC + CD + DN = 1 + 4 + 3 = 8。
9. 解：关于原点对称 \( \Rightarrow a=-3, b=-2 \)。A(-3,2), B(3,-2)。AB=\( \sqrt{(3-(-3))^2+(-2-2)^2} = \sqrt{6^2+(-4)^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \)。
10. 解：S△ABP = \( \frac{1}{2} \times AB \times BP = 12 \)，AB=8，故BP=3。则PC=BC-BP=6-3=3。由勾股定理，AC=\( \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{64+36} = 10 \)。用面积法求P到AC的距离h：S△APC = \( \frac{1}{2} \times AC \times h = \frac{1}{2} \times PC \times AB \)（以PC为底，AB为高）。代入：\( \frac{1}{2} \times 10 \times h = \frac{1}{2} \times 3 \times 8 \)，解得 \( h = 2.4 \)。

第三关：生活应用

1. 解：依题意，△ABC为直角三角形，∠C=90°。由勾股定理，\( AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{50^2+40^2} = \sqrt{2500+1600} = \sqrt{4100} = 10\sqrt{41} \) m。
2. 解：原理：两点之间线段最短。作点M关于公路AB的对称点M'，连接M'N交AB于P，点P即为所求。因为此时PM+PN=PM'+PN=M'N，为直线段最短。
   
3. 解：这是“将军饮马”模型。作点A关于河流l的对称点A'，连接A'B交l于P，点P即为所求水泵站位置。
   
4. 解：抽象为数学问题：在一条数轴（铁路线）上找一点P，使P到三个定点A、B、C（位于同一条垂直于数轴的直线上，投影坐标分别为a, b, c）的距离之和 \( |P-a|+|P-b|+|P-c| \) 最小。结论：当P选在中间点B的投影位置时，和最小（绝对值不等式性质）。因此，仓库应建在B厂垂直于铁路线的交点处。
5. 解：将矩形花坛展开。由于P在AD上，固定。要使得A经P到C最短，需将含P的侧面展开与ABCD所在平面平铺。有两种展开方式（经前侧面或经左侧面），比较路径长。方式一：展开前面和右面，A->P->C的路径为折线，长度=AP+PC = \( 1 + \sqrt{(10-0)^2 + (4-0)^2}? \) 不对，需精确计算。P距A1米，即AP=1。展开后C'的位置？更稳妥的方法是计算所有可能路径。实际最短路径是：将矩形ABCD沿AD剪开，把侧面ADP（或整个面）翻折，使A、P、C在新的平面图形中构成一条线段。计算略，核心思路是“化折为直”。