线段垂直平分线的性质与判定：从原理到中考应用深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：线段性质 原理

• 核心概念：想象一下，你走在一条笔直的街道上，阿星在街道的东头开了家奶茶店，西头开了家咖啡店。这条街道就是我们的线段。现在，为了让这条街上的每个人都能公平地选择喝奶茶还是咖啡，我们需要在街道正中间建一座天桥（中垂线）。无论你站在天桥上的哪个位置，走到奶茶店的距离 \( d_1 \) 和走到咖啡店的距离 \( d_2 \) 都完全相等！这就是线段垂直平分线的核心魔法：它是所有“公平点”（到线段两端距离相等的点）的集合。
• 计算秘籍：分三步走。
  1. 找中点：线段 \( AB \) 端点坐标是 \( A(x_1, y_1) \)，\( B(x_2, y_2) \)。中点 \( M \) 坐标是 \( M(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) \)。
  2. 求垂线斜率：线段 \( AB \) 的斜率 \( k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)。那么中垂线的斜率 \( k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} \)（前提是 \( k_{AB} \) 存在且不为0）。
  3. 验证距离：在垂直平分线上任取一点 \( P \)，根据两点间距离公式验证 \( PA = PB \)，即 \( \sqrt{(x_p - x_1)^2 + (y_p - y_1)^2} = \sqrt{(x_p - x_2)^2 + (y_p - y_2)^2} \)。
• 阿星口诀：垂直平分线，公平裁判官。两端距相等，性质记心间。

📐 图形解析

让我们通过图形，直观地感受一下这个“公平天桥”的魔力。

在上图中，直线 \( l \) 是线段 \( AB \) 的垂直平分线。点 \( P \) 是直线 \( l \) 上的任意一点。你能看到 \( PA \) 和 \( PB \) 这两条线的长度关系吗？是的，它们满足 \( PA = PB \)。这是一个必然成立的几何关系。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“到线段两端距离相等的线”就是中垂线。
  ✅ 正解：中垂线必须是直线。一个点“到线段两端距离相等”只是满足了中垂线上点的性质，但只有所有这些点连成的直线，才是中垂线。关键：中垂线是线的集合，而不仅仅是“距离相等”这个条件。
• ❌ 错误2：在证明题中，直接写“因为点P在AB的中垂线上，所以PA=PB”，而不写出推导过程或依据。
  ✅ 正解：在严谨的几何证明中，必须明确指出你使用的是“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”这一定理。考试时，直接引用定理名称或内容，是规范的步骤。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 线段 \( MN \) 的垂直平分线上有一点 \( P \)，若 \( PM = 10 \) cm，则 \( PN = \) ______ cm。
2. 判断题：到一条线段两个端点距离相等的点有无数个。 （ ）
3. 如图，直线 \( CD \) 是线段 \( AB \) 的垂直平分线，若 \( AC = 5 \)， \( BC = 5 \)，则 \( \angle ACB = \) ______ 度。
   
4. 已知线段 \( EF \) 的长度为 8 cm，其中垂线上任意一点到 \( E \) 点的距离范围是 ______。
5. 坐标平面中，若点 \( P(2, a) \) 在连接点 \( A(-1, 3) \) 和点 \( B(5, 3) \) 的线段中垂线上，求 \( a \) 的值。
6. 三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点叫做三角形的 ______ 心。
7. 用尺规作图作出给定线段 \( AB \) 的垂直平分线（简述步骤）。
8. 在 \( \triangle ABC \) 中， \( DE \) 垂直平分 \( AC \)，交 \( AC \) 于点 \( D \)，交 \( BC \) 于点 \( E \)。已知 \( \triangle ABE \) 的周长为 15， \( AB = 6 \)，求 \( BC \) 的长。
9. 判断题：线段的对称轴只有它的垂直平分线这一条。 （ ）
10. 点 \( A \) 和点 \( B \) 关于直线 \( l \) 对称，则直线 \( l \) 是线段 \( AB \) 的 ______。

第二关：中考挑战（10道）

1. (202X·模拟) 如图，在 \( \triangle ABC \) 中， \( \angle C=90^{\circ} \)， \( AB \) 的垂直平分线交 \( BC \) 于点 \( D \)，连接 \( AD \)。若 \( BD=5 \)， \( CD=3 \)，则 \( AC \) 的长为 ______。
2. (202X·模拟) 在平面直角坐标系中，点 \( A(0,4) \)， \( B(3,0) \)，点 \( C \) 在 \( x \) 轴上，若 \( \triangle ABC \) 是等腰三角形，且 \( AB=AC \)，求点 \( C \) 的坐标。
3. 已知 \( \triangle ABC \) 中， \( AB=AC \)， \( \angle BAC=120^{\circ} \)， \( AB \) 的垂直平分线交 \( BC \) 于点 \( F \)，则 \( \frac{BF}{FC} = \) ______。
4. 证明：三角形两条边的垂直平分线的交点，到第三个顶点的距离等于它到前两个顶点距离相等。
5. 在四边形 \( ABCD \) 中， \( AB=AD \)， \( CB=CD \)。求证： \( AC \) 垂直平分 \( BD \)。
6. 已知线段 \( AB \)，求作一点 \( P \)，使得 \( PA = PB \) 且 \( \angle APB = 90^{\circ} \)。
7. 坐标平面中，点 \( A(1, -2) \)、 \( B(5, 4) \)。点 \( P \) 在 \( x \) 轴上，且满足 \( PA = PB \)，求点 \( P \) 的坐标。
8. 如图，在 \( \triangle ABC \) 中， \( BC=10 \)，边 \( BC \) 的垂直平分线分别交 \( AB \)、 \( BC \) 于点 \( E \)、 \( D \)。若 \( \triangle ACE \) 的周长为 17，则 \( AB+AC = \) ______。
9. 已知直线 \( y=kx+b \) 是连接点 \( P(1,2) \) 和点 \( Q(3, -4) \) 的线段的中垂线，求 \( k \) 和 \( b \) 的值。
10. 阅读理解：中垂线性质定理的逆定理“到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”同样成立。利用此逆定理证明：等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合（三线合一）。

第三关：生活应用（5道）

1. 选址问题：某社区计划在一条主干道旁建一个便民服务中心，要求该中心到同侧的两个大型小区 \( A \) 和 \( B \) 的距离相等。请描述如何在地图上确定这个服务中心的所有可能位置。
2. 测量问题：如图所示，为了测量一个圆形湖的直径（无法直接到达圆心），测量员在湖边选了三点 \( A \)、 \( B \)、 \( C \)，并测得 \( AB=AC \)，且 \( \angle BAC=90^{\circ} \)。他判断 \( BC \) 就是湖的直径。他的判断依据是什么？
   
3. 光学路径：光在反射时遵循“入射角等于反射角”的定律。证明：一束光从定点 \( A \) 射出，经过直线 \( l \)（镜面）反射后，要恰好通过另一个定点 \( B \)，那么反射点 \( P \) 在直线 \( l \) 上的位置，是使得 \( AP + PB \) 的路径最短。这利用了“线段垂直平分线”和“对称”的什么思想？
4. 工程设计：一座桥梁的拉索结构如图所示，主塔 \( M \) 位于桥面 \( AB \) 的中点正上方，两侧对称的拉索 \( MA \) 和 \( MB \) 长度相等。利用中垂线性质解释，为什么这样的设计能保证桥梁结构的稳定和受力平衡？
5. 导航定位：在野外，如果你知道两个已知坐标的固定信号塔 \( A \) 和 \( B \) 的位置，并且你的设备测量出你到 \( A \) 和 \( B \) 的距离相等。请问你的位置被限定在怎样的几何图形上？如果要精确定位，至少还需要知道什么信息？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 10 \) cm（直接应用性质）。
2. ✅ 正确。所有点构成一条直线（中垂线）。
3. 因为 \( AC = BC = 5 \)，且点 \( C \) 和点 \( A \)、\( B \) 构成三角形，但由中垂线性质， \( C \) 在 \( AB \) 中垂线上，满足 \( CA=CB \)。若 \( C \) 是 \( AB \) 中垂线上除中点外的任意一点，则 \( \triangle ABC \) 是等腰三角形，但 \( \angle ACB \) 不确定。然而，图中 \( C \)、\( D \) 似乎是中垂线与某线的交点？题意不明，若 \( C \)、\( D \) 是直线与射线交点，且 \( AC=BC \)，则 \( \triangle ABC \) 为等腰三角形，但 \( \angle ACB \) 仍无法确定。假定该题为概念题，强调 \( CA=CB \)，角不定。答案：无法唯一确定。
4. 距离大于或等于 \( 4 \) cm（中垂线上到 \( E \) 点最近的距离是中点处的 \( 4 \) cm，越远离中点，距离越大）。
5. 线段 \( AB \) 水平，其中点横坐标为 \( \frac{-1+5}{2}=2 \)，中垂线为竖直线 \( x=2 \)。点 \( P(2, a) \) 在 \( x=2 \) 上，故 \( a \) 为任意实数。或由 \( PA=PB \) 列式解出 \( a \) 任意。
6. 外心。
7. 略（分别以 \( A \)、\( B \) 为圆心，大于 \( \frac{1}{2}AB \) 长为半径画弧，两弧交于两点，连接这两点的直线即为所求）。
8. 由 \( DE \) 垂直平分 \( AC \)，得 \( AE = EC \)。\( \triangle ABE \) 周长 \( = AB+BE+AE = AB+BE+EC = AB+BC = 15 \)。已知 \( AB=6 \)，所以 \( BC = 15-6 = 9 \)。
9. ✅ 正确。
10. 垂直平分线。

第二关：中考挑战（简答）

1. \( AC = 4 \)。（连接 \( AD \)，则 \( AD=BD=5 \)，在 \( Rt \triangle ACD \) 中用勾股定理。）
2. 点 \( C \) 坐标为 \( (-3, 0) \)。（由 \( AB=AC \)，点 \( C \) 在以 \( A \) 为圆心，\( AB=5 \) 为半径的圆上，且在 \( x \) 轴上，解方程得。）
3. \( \frac{BF}{FC} = \frac{1}{2} \)。（连接 \( AF \)，则 \( AF=BF \)，且 \( \angle B=30^{\circ} \)，设 \( BF=x \)，则 \( AF=x \)，在 \( Rt \triangle AFC \) 中求解。）
4. 略（利用中垂线性质定理的逆定理，证明交点到第三个顶点的距离等于它到前两个顶点之一的距离）。
5. 略（证明 \( \triangle ABC \cong \triangle ADC \) (SSS)，得 \( \angle BAC = \angle DAC \)，再证 \( \triangle ABO \cong \triangle ADO \) (SAS)，得 \( BO=DO \) 且 \( AO \perp BD \)。）
6. 以 \( AB \) 为直径作圆，圆上除 \( A \)、\( B \) 外的任意点 \( P \) 均满足 \( \angle APB = 90^{\circ} \)。但要同时满足 \( PA=PB \)，则 \( P \) 点应为 \( AB \) 中垂线与以 \( AB \) 为直径的圆的交点（有两个）。更简单的做法：作 \( AB \) 的中垂线，再以 \( AB \) 中点 \( O \) 为圆心，\( OA \) 为半径画圆，与中垂线的交点即为所求 \( P \)（构成等腰直角三角形）。
7. 设 \( P(x, 0) \)，由 \( PA=PB \) 得 \( (x-1)^2+(0+2)^2 = (x-5)^2+(0-4)^2 \)，解得 \( x=3 \)。\( P(3,0) \)。
8. \( AB+AC = 17 \)。（ \( DE \) 垂直平分 \( BC \)，则 \( BE=EC \)。\( \triangle ACE \) 周长 \( = AC+AE+EC = AC+AE+BE = AC+AB = 17 \)。）
9. \( k = -\frac{1}{3} \)， \( b = \frac{10}{3} \)。（先求 \( PQ \) 中点 \( M(2, -1) \)，斜率 \( k_{PQ}=-3 \)，故中垂线斜率 \( k=\frac{1}{3} \)。过 \( M \) 点，点斜式得 \( y+1=\frac{1}{3}(x-2) \)，即 \( y=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3} \)，所以 \( k=\frac{1}{3}, b=-\frac{5}{3} \)。（注意：原题给 \( k=\frac{1}{3} \)， \( b=-\frac{5}{3} \)，我计算的负倒数应为 \( \frac{1}{3} \)，原答案可能有误，按正确计算给出））
10. 略（在 \( \triangle ABC \) 中， \( AB=AC \)，取 \( BC \) 中点 \( D \)，则 \( AD \) 是中线。由 \( AB=AC \)， \( BD=DC \)， \( AD=AD \) 可证 \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \) (SSS)，从而 \( \angle BAD = \angle CAD \)， \( \angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ} \)。）

第三关：生活应用（思路）

1. 所有可能位置在线段 \( AB \) 的垂直平分线上（限于道路同侧则为一条射线）。
2. 依据：直径所对的圆周角是直角（ \( \angle BAC=90^{\circ} \)）。且因为 \( AB=AC \)，点 \( A \) 在 \( BC \) 的中垂线上，结合圆心 \( O \) 也在 \( BC \) 的中垂线上（ \( OB=OC \) ），所以 \( AO \) 是 \( BC \) 的中垂线，故 \( BC \) 是过圆心的弦，即直径。
3. 思想：作点 \( B \) 关于直线 \( l \) 的对称点 \( B' \)，则 \( B'P = BP \)。问题转化为在 \( l \) 上找一点 \( P \) 使 \( AP+PB' \) 最短。根据“两点之间，线段最短”，连接 \( A \) 与 \( B' \)，与 \( l \) 的交点即为 \( P \)。此时，由对称性，\( l \) 是 \( BB' \) 的垂直平分线。
4. 因为 \( M \) 在 \( AB \) 中垂线上，所以 \( MA=MB \)。对称的拉索长度相等，意味着两侧对桥面的拉力和对主塔的压力大小相等、方向对称，从而在水平方向的分力相互抵消，保证了主塔受力的平衡和结构的整体稳定。
5. 你的位置在线段 \( AB \) 的垂直平分线上（一条无限长的直线）。要精确定位（一个点），还需要知道与第三个信号塔 \( C \) 的距离关系（即再得到一个中垂线，两条中垂线的交点即为你的位置），或知道你的方位角等其他信息。