简易方程（用字母表示数、解方程）学习资料

专为五年级同学设计

知识要点

💡 核心概念

方程就像一个天平，表示左右两边相等 (\( = \))。我们用字母（比如 \( x \)， \( a \)， \( n \)）来表示未知数，就像谜题里等待我们揭秘的神秘数字。解方程，就是通过一系列平衡的操作，找出这个字母到底代表几。

📝 计算法则

解方程基本步骤（天平平衡原理）：

1. 看：观察方程，明确未知数是什么。
2. 变：运用“等式性质”进行变形。
   • 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。
   • 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
3. 算：逐步计算，让未知数 \( x \) 单独在等式的一边。
4. 验：把解出的 \( x \) 的值代入原方程，检查等式两边是否相等。

🎯 记忆口诀

解方程，很简单，天平平衡是主线。

左右同加或同减，左右同乘或同除。

\( x \) 在左常数右，算出结果要检验。

🔗 知识关联

这部分知识建立在之前学习的 四则运算、等式概念 以及 用字母表示运算律和公式 的基础上。它是我们未来学习更复杂方程和所有代数知识的重要基石。

易错点警示

1. ❌ 错误1：书写不规范，数字与字母、字母与字母相乘时漏写乘号。

   ✅ 正解： \( 3 \) 乘 \( a \) 应写成 \( 3a \) 或 \( 3 \times a \)，不能写成 \( 3a \)（易被看成是三位数）。

2. ❌ 错误2：移项时符号不变。

   ✅ 正解： 解 \( x + 5 = 12 \)，应是 \( x = 12 - 5 \)（把左边的 \( +5 \) 移到右边变成 \( -5 \)），不能错误地写成 \( x = 12 + 5 \)。

3. ❌ 错误3：解 \( ax = b \) 这类方程时，运算错误。

   ✅ 正解： 解 \( 3x = 18 \)，应是两边同时除以3，得 \( x = 18 \div 3 = 6 \)。不能错误地两边同时除以 \( x \) 或同时减3。

三例题精讲

🔥 例题1

解方程：\( x - 2.8 = 7.5 \)

📌 第一步：分析方程。未知数 \( x \) 被减去了 \( 2.8 \)。

📌 第二步：根据等式性质，为了使左边只剩下 \( x \)，需要在等式两边同时加上 \( 2.8 \)。

\( x - 2.8 + 2.8 = 7.5 + 2.8 \)

📌 第三步：计算得出结果。

\( x = 10.3 \)

✅ 答案： \( x = 10.3 \)

💬 总结： 这是最简单的“移项”类型，遵循“同加同减”原则，注意小数加减的计算准确性。

🔥 例题2

学校买来5个足球，每个 \( a \) 元，又买来3个篮球，每个 \( b \) 元。一共花了多少元？（用含有字母的式子表示）当 \( a = 65 \)， \( b = 80 \) 时，一共花了多少元？

📌 第一步：根据题意列出总价的代数式。

总价 = 足球总价 + 篮球总价 = \( 5 \times a + 3 \times b = 5a + 3b \)（元）

📌 第二步：将具体的数值代入字母。

当 \( a = 65 \)， \( b = 80 \) 时，\( 5a + 3b = 5 \times 65 + 3 \times 80 \)

📌 第三步：根据运算顺序计算。

先算乘法：\( 5 \times 65 = 325 \)， \( 3 \times 80 = 240 \)

再算加法：\( 325 + 240 = 565 \)

✅ 答案： 一共花了 \( (5a + 3b) \) 元。当 \( a = 65 \)， \( b = 80 \) 时，一共花了565元。

💬 总结： “用字母表示数”是列方程的基础。先列出式子，再代入求值，注意“先乘除后加减”的运算顺序。

🔥 例题3

解方程：\( 3(x + 2) = 18 \)

📌 第一步：把 \( (x + 2) \) 看作一个整体。方程表示3乘以这个整体等于18。

所以，\( x + 2 = 18 \div 3 \)

📌 第二步：计算等式右边。

\( x + 2 = 6 \)

📌 第三步：再次利用等式性质，两边同时减去2。

\( x + 2 - 2 = 6 - 2 \)

\( x = 4 \)

✅ 答案： \( x = 4 \)

💬 总结： 对于带括号的方程，可以把括号内的式子当作一个整体先求出来，再分步求解。也可以先利用乘法分配律去括号：\( 3x + 6 = 18 \)，然后解 \( 3x = 12 \)，最后 \( x = 4 \)。两种方法都要掌握。

练习题（10道）

1. 省略乘号，简写下面的式子：\( m \times 8 = \) （ ）， \( a \times b \times 5 = \) （ ）。
2. 当 \( m = 4.5 \) 时，求 \( 3m + 7 \) 的值。
3. 仓库里有货物 \( x \) 吨，运走了15.2吨，还剩多少吨？当 \( x = 50 \) 时，还剩多少吨？
4. 解方程：\( x + 3.6 = 10 \)
5. 解方程：\( y - 1.7 = 3.8 \)
6. 解方程：\( 7a = 84 \)
7. 解方程：\( b \div 5 = 3.4 \)
8. 小明有 \( n \) 张邮票，小红的邮票数是小明的3倍。两人一共有多少张邮票？
9. 解方程：\( 2x + 5 = 21 \)
10. 一个长方形的长是 \( a \) 厘米，宽是 \( b \) 厘米，它的周长 \( C \) 是多少厘米？面积 \( S \) 是多少平方厘米？

奥数挑战（10道）

1. 已知 \( \triangle + \square = 24 \)，且 \( \triangle = \square + \square + \square \)，求 \( \triangle \) 和 \( \square \) 各代表多少？
2. 解方程：\( 1.5 \times (x - 4) = 18 \)
3. 三个连续自然数的和是 \( 3n \)，那么其中最小的那个自然数是多少？（用含 \( n \) 的式子表示）
4. 如果 \( a + a + b = 25 \)， \( a + b + b = 23 \)，那么 \( a \) 和 \( b \) 各是多少？
5. 解方程：\( (x + 3) \div 2 = 6.5 \)
6. 一个数，先加上5，再乘5，然后减去5，最后除以5，结果还是5。这个数是多少？
7. 爸爸的年龄比小明的3倍多4岁，爸爸今年40岁，小明今年多少岁？
8. 一个两位数十位上的数字是 \( a \)，个位上的数字是 \( b \)，写出这个两位数。
9. 解方程：\( 4x - 7 = 2x + 15 \)
10. 鸡和兔在同一个笼子里，从上面看有 \( m \) 个头，从下面看有 \( n \) 只脚。用含有字母的式子表示兔有多少只？

生活应用（5道）

1. （高铁）“复兴号”高铁的速度是每小时 \( v \) 千米，它行驶 \( t \) 小时后的路程是多少千米？如果 \( v = 350 \)， \( t = 2.5 \)，它行驶了多少千米？
2. （航天）中国空间站每天绕地球飞行 \( n \) 圈。5天一共飞行了多少圈？如果5天一共飞行了35圈，平均每天飞行多少圈？（列方程解答）
3. （AI与环保）一个智能垃圾分类机，处理 \( x \) 公斤可回收物，可以减少 \( 0.8x \) 公斤的碳排放。如果一天处理了150公斤，可以减少多少碳排放？
4. （网购）小华在网上买书，每本书 \( a \) 元，店家满50元包邮。他买了3本，还差5元才能包邮。请根据 \( 3a + 5 = 50 \) 这个方程，算出一本书多少钱。
5. （运动与健康）张老师计划每周跑步 \( k \) 公里。实际他第一周跑了 \( (k+3) \) 公里，第二周跑了 \( (k-2) \) 公里。这两周他一共跑了多少公里？如果 \( k = 10 \)，他一共跑了多少公里？