好的，作为资深小学数学教研专家，我为你精心准备了这份面向五年级学生的「分数的加法和减法」完整学习资料。

学习目标

掌握同分母、异分母分数以及带分数的加、减法计算方法，理解算理，并能解决实际问题。

知识要点

💡 核心概念

分数加减法的核心是“计数单位的累加或减少”。就像整数加减法中，个位要和个位相加一样，分数加减时，分数单位（也就是分母）必须相同，才能让分子直接进行加减运算。如果分母不同，就表示它们的“计数单位”不一样，不能直接相加减，需要先进行“统一单位”——也就是通分。

📝 计算法则

1. 同分母分数加减法

法则：分母不变，分子相加减。

步骤：① 观察分母是否相同；② 分子直接相加减；③ 结果能约分的要约成最简分数。

2. 异分母分数加减法

法则：先通分，再按照同分母分数加减法进行计算。

步骤：① 找分母的最小公倍数作为公分母；② 根据分数的基本性质，将各分数化成分母相同的分数；③ 按同分母分数法则计算；④ 结果约分。

3. 带分数加减法

法则：整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。

注意：当分数部分不够减时，需要从整数部分“借1”化成假分数再计算；如果结果是假分数，通常要化成带分数或整数。

🎯 记忆口诀

分数加减很简单，统一单位是关键。

同分母，直接算，分子加减分母不变。

不够减时记得借，结果约分到最简。

🔗 知识关联

这部分知识与之前学过的这些知识紧密相连：

- 分数的基本性质：是通分的依据。

- 约分与最简分数：是计算结果的要求。

- 最大公因数与最小公倍数：用于快速通分和约分。

- 整数加减法：带分数计算中整数部分运算的基础。

易错点警示

❌ 错误1：异分母分数直接分子分母分别相加。

如：\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1+1}{2+3} = \frac{2}{5} \)

→ ✅ 正解：先通分再相加。\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \)

❌ 错误2：通分时，只将其中一个分数的分母改变。

如：计算 \( \frac{2}{3} - \frac{1}{6} \) 时，只将 \( \frac{2}{3} \) 变成 \( \frac{4}{6} \)，然后写为 \( \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} \)，但忘记将 \( \frac{1}{6} \) 写在算式中。

→ ✅ 正解：通分是针对所有分数。正确过程是 \( \frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)。

❌ 错误3：带分数减法中，分数部分不够减时处理错误。

如：\( 3\frac{1}{5} - 1\frac{3}{5} = (3-1)(\frac{1}{5}-\frac{3}{5}) = 2\frac{-2}{5} \)

→ ✅ 正解：应从整数部分借“1”。\( 3\frac{1}{5} - 1\frac{3}{5} = 2\frac{6}{5} - 1\frac{3}{5} = 1\frac{3}{5} \)。

例题精讲

🔥 例题1：（同分母基础）一块蛋糕，小明吃了 \( \frac{3}{8} \)，小红吃了 \( \frac{2}{8} \)。他们一共吃了这块蛋糕的几分之几？

📌 第一步： 识别分数单位相同。分母都是8，是同分母分数加法。
📌 第二步： 应用法则。分母不变，分子相加：\( \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3+2}{8} \)。
📌 第三步： 计算并化简。\( \frac{5}{8} \) 已经是最简分数。
✅ 答案： \( \frac{5}{8} \)
💬 总结： 同分母相加，分母做“家”，分子“进家”来相加。

🔥 例题2：（异分母通分）一节环保主题班会课，讲解用了 \( \frac{2}{3} \) 小时，学生讨论用了 \( \frac{1}{4} \) 小时。讲解和讨论一共用了多少小时？

📌 第一步： 识别分数单位不同。分母是3和4，是异分母分数加法。
📌 第二步： 找公分母。3和4的最小公倍数是12。
📌 第三步： 通分并计算。\( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \)， \( \frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} \)。然后相加：\( \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12} \)。
✅ 答案： \( \frac{11}{12} \) 小时。
💬 总结： “异”家人不进一家门，先找“公”证（公分母）变“同”人。

🔥 例题3：（带分数减法）小华有两根彩带，第一根长 \( 2\frac{4}{5} \) 米，第二根长 \( 1\frac{3}{4} \) 米。第一根比第二根长多少米？

📌 第一步： 列式。\( 2\frac{4}{5} - 1\frac{3}{4} \)。这是带分数异分母减法。
📌 第二步： 分数部分通分。5和4的最小公倍数是20。\( 2\frac{4}{5} = 2\frac{16}{20} \)， \( 1\frac{3}{4} = 1\frac{15}{20} \)。
📌 第三步： 整数、分数部分分别相减。整数部分：\( 2 - 1 = 1 \)；分数部分：\( \frac{16}{20} - \frac{15}{20} = \frac{1}{20} \)。
✅ 答案： \( 1\frac{1}{20} \) 米。
💬 总结： 带分数相减，整数分数“兵分两路”，最后“胜利会师”。注意分数部分如果不够减，要向整数部分“搬救兵”。

练习题（10道）

1. 计算：\( \frac{5}{12} + \frac{1}{12} \)。
2. 计算：\( \frac{7}{9} - \frac{2}{9} \)。
3. 计算：\( \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \)。
4. 计算：\( \frac{5}{6} - \frac{1}{3} \)。
5. 计算：\( \frac{3}{4} + \frac{5}{8} \)。
6. 计算：\( 1\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \)。
7. 计算：\( 3\frac{1}{2} - 1\frac{1}{4} \)。
8. 一瓶果汁，上午喝了它的 \( \frac{2}{7} \)，下午喝了它的 \( \frac{3}{7} \)，还剩几分之几？
9. 一块地，种玉米用去 \( \frac{3}{8} \)，种大豆用去 \( \frac{1}{4} \)，种这两种作物一共用去这块地的几分之几？
10. 一根绳子长 \( 4\frac{2}{5} \) 米，用去 \( 2\frac{3}{10} \) 米，还剩多少米？

奥数挑战（10道）

1. 计算：\( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} \)。
2. 计算：\( 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16} - \frac{1}{32} \)。
3. 已知 \( A = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} \)， \( B = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} \)。比较 A 和 B 的大小。
4. 在括号里填上不同的自然数：\( \frac{1}{10} = \frac{1}{( )} + \frac{1}{( )} \)。
5. 计算：\( \frac{1}{1\times2} + \frac{1}{2\times3} + \frac{1}{3\times4} + ... + \frac{1}{99\times100} \)。
6. 小明在计算一个分数加 \( \frac{1}{4} \) 时，错算成了加 \( \frac{1}{5} \)，结果得到了 \( \frac{7}{10} \)。正确的结果应该是多少？
7. 两个分数的和是 \( \frac{11}{12} \)，它们的分母相同，分子是两个相邻的自然数。这两个分数分别是多少？
8. 从 \( \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ..., \frac{1}{99}, \frac{1}{100} \) 中选出若干个数，使它们的和等于 1。至少需要选出多少个数？
9. 计算：\( (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \)。
10. 一个分数，分子与分母的和是 56，约分后是 \( \frac{3}{4} \)。这个分数原来是多少？

生活应用（5道）

1. （高铁） 一列“复兴号”高铁从北京到上海，已经行驶了全程的 \( \frac{5}{8} \)，又行驶了全程的 \( \frac{1}{4} \) 后，距离上海还有 120 公里。京沪高铁全长约多少公里？
2. （航天） 某型运载火箭的一级火箭燃料占总燃料的 \( \frac{2}{5} \)，二级火箭燃料占总燃料的 \( \frac{1}{3} \)，剩下的燃料用于三级火箭和姿态调整。三级火箭及姿态调整所用燃料占总燃料的几分之几？
3. （AI） 训练一个AI模型，数据清洗用了总时间的 \( \frac{3}{10} \)，模型训练用了总时间的 \( \frac{1}{2} \)，剩下的时间用于测试和调优。测试和调优的时间比数据清洗的时间少占总时间的几分之几？
4. （环保） 一个智能垃圾分类站，周一的塑料瓶回收量是本周计划的 \( \frac{1}{6} \)，周二是 \( \frac{1}{5} \)。要使本周完成回收计划，剩下的五天至少需要完成计划的几分之几？
5. （网购） 小美在购物节看中一件衣服，先支付了定金 \( \frac{1}{10} \) 的商品价格，尾款支付时又叠加了跨店满减，相当于再便宜了商品总价的 \( \frac{1}{20} \)。小美最终支付的尾款占商品原价的几分之几？（定金不退）