工程问题合作应用题解题技巧与专项练习PDF下载 | 六年级小升初数学题库含解析

💡 阿星精讲：工程问题：合作 原理

• 核心概念：阿星把一项工程（比如吃一个大蛋糕）看作一个整体“单位1”。如果甲单独吃完要 \( T_{甲} \) 小时，那么他每小时就能吃 \( \frac{1}{T_{甲}} \) 个蛋糕，这就是他的“吃蛋糕效率”（工作效率）。乙也一样。当他们一起开动时，每小时的“战斗力”就是两人的效率之和 \( \frac{1}{T_{甲}} + \frac{1}{T_{乙}} \)。所以，合作吃完这个“单位1”蛋糕所需的时间，自然就是总量“1”除以他们的“联合战斗力”（效率和）。公式就是：合作时间 = 1 ÷ (1/甲 + 1/乙)。记住，效率和是关键，就像两个人一起推车，总力气是两人力气相加！
• 计算秘籍：
  1. 定总量：把一项工程看作 \( 1 \)。
  2. 求效率：甲单独完成时间 \( a \) 天 → 效率 \( \frac{1}{a} \)。乙单独完成时间 \( b \) 天 → 效率 \( \frac{1}{b} \)。
  3. 合效率：\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)。
  4. 求时间：合作时间 \( t = 1 \div (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = \frac{ab}{a+b} \)。
• 阿星口诀：工程总量设为“1”，效率倒数好关系。两人一起干，效率相加别忘记，单位“1”来除以，合作时间轻松算。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：甲10天做完，乙15天做完，误以为合作要 \( 10 + 15 = 25 \) 天。
  ✅ 正解：时间不能直接加！要先化成效率：甲效 \( \frac{1}{10} \)，乙效 \( \frac{1}{15} \)，合效 \( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6} \)，合作时间 \( 1 \div \frac{1}{6} = 6 \) 天。
• ❌ 错误2：题目说“甲先做3天，剩下的甲乙合作”，在算合作部分时，忘记“剩下的”已经不是总量“1”了。
  ✅ 正解：先算甲3天完成的工作量 \( 3 \times \frac{1}{a} \)，剩余工作量 \( 1 - \frac{3}{a} \)，再用这个剩余量除以甲乙的合效率，才是正确的合作时间。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 打扫一间教室，小明单独要 \( 20 \) 分钟，小华单独要 \( 30 \) 分钟。两人一起打扫，要几分钟？
2. 录入一篇文章，甲打字员需 \( 4 \) 小时，乙打字员需 \( 5 \) 小时。两人合作录入，几小时完成？
3. 挖一条水渠，A队单独挖 \( 10 \) 天完成，B队单独挖 \( 15 \) 天完成。两队合挖，几天完成？
4. 生产一批零件，王师傅 \( 8 \) 小时做完，李师傅 \( 12 \) 小时做完。两人合作，几小时做完？
5. 抄写一份报告，张同学要 \( 45 \) 分钟，王同学要 \( 60 \) 分钟。两人合作抄写，需多少分钟？
6. 完成一份手工作业，小红要 \( 2 \) 小时，小兰要 \( 3 \) 小时。一起做，多少小时完成？
7. 注满一个水池，单开甲水管 \( 40 \) 分钟，单开乙水管 \( 60 \) 分钟。两管齐开，几分钟注满？
8. 吃光一袋零食，小狗阿黄要 \( 10 \) 分钟，小猫阿花要 \( 15 \) 分钟。它们一起吃，几分钟吃完？
9. 刷一面墙，哥哥单独刷 \( 6 \) 小时，弟弟单独刷 \( 9 \) 小时。兄弟俩一起刷，几小时刷完？
10. 完成一项编程任务，程序员A要 \( 12 \) 天，程序员B要 \( 18 \) 天。两人协作，多少天完成？

第二关：奥数挑战（10道）

1. 一项工程，甲、乙合作 \( 10 \) 天完成，乙、丙合作 \( 12 \) 天完成，甲、丙合作 \( 15 \) 天完成。问甲、乙、丙三人合作需几天？
2. 一项工作，甲先做 \( 9 \) 天，乙接着做 \( 18 \) 天可以完成；或者甲先做 \( 6 \) 天，乙接着做 \( 24 \) 天也可以完成。现在甲先做 \( 3 \) 天，再由乙做，需要多少天完成？
3. 一个水池，有甲、乙两根进水管，单开甲管 \( 12 \) 小时注满，单开乙管 \( 18 \) 小时注满。同时打开两管，中途甲管因故障关闭 \( 2 \) 小时，这样注满水池共用了几小时？
4. 抄一份书稿，甲每天工作效率等于乙、丙两人每天工作效率之和，丙的工作效率是甲、乙之和的 \( \frac{1}{5} \)。如果三人合抄只需 \( 8 \) 天完成，那么乙单独抄需要多少天？
5. 加工一批零件，甲单独做 \( 20 \) 天完成，乙单独做 \( 30 \) 天完成。现在两人合作，中途甲休息了 \( 2.5 \) 天，乙休息了若干天（不是整数），这样共用了 \( 14 \) 天完成。问乙休息了几天？

第三关：生活应用（5道）

1. 【AI训练】 训练一个AI模型，用服务器A单独跑完所有数据需要 \( 48 \) 小时，用服务器B集群需要 \( 36 \) 小时。为了加快进度，工程师决定让A和B集群同时训练不同的数据分区（假设任务可完美拆分且效率不变），需要多少小时能完成全部训练？
2. 【航天任务】 地面控制中心接收一段深空探测器发回的数据流。接收站甲单独接收并解码这段数据需 \( 5 \) 小时，接收站乙需 \( 4 \) 小时。为确保数据安全，两站同时开始接收。问多久后，已完成的工作量之和刚好等于总数据量的 \( \frac{9}{10} \)？
3. 【网购大促】 某仓库处理“双十一”订单，分拣机器人Alpha系统单独处理所有订单要 \( 10 \) 小时，Beta系统要 \( 15 \) 小时。凌晨0点两系统同时启动。工作 \( 3 \) 小时后，Beta系统升级，效率提高了 \( \frac{1}{3} \)。问从开始到处理完所有订单，总共用了多少小时？
4. 【视频渲染】 剪辑师用电脑M渲染一段4K视频需 \( 6 \) 小时，用电脑N需 \( 4 \) 小时。他先用电脑M渲染了 \( 1 \) 小时，然后同时开启两台电脑继续渲染剩余部分。总共用了多少小时完成渲染？
5. 【团队协作】 开发一个手机App，前端团队单独完成需要 \( 30 \) 天，后端团队单独完成需要 \( 20 \) 天。现在前后端同时开工，但工作 \( 5 \) 天后，前端团队被抽调走一半人手（效率减半）。问完成整个App开发一共用了多少天？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 1 \div (\frac{1}{20} + \frac{1}{30}) = 1 \div \frac{1}{12} = 12 \) 分钟。
2. \( 1 \div (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = 1 \div \frac{9}{20} = \frac{20}{9} \) 小时。
3. \( 1 \div (\frac{1}{10} + \frac{1}{15}) = 1 \div \frac{1}{6} = 6 \) 天。
4. \( 1 \div (\frac{1}{8} + \frac{1}{12}) = 1 \div \frac{5}{24} = \frac{24}{5} = 4.8 \) 小时。
5. \( 1 \div (\frac{1}{45} + \frac{1}{60}) = 1 \div \frac{7}{180} = \frac{180}{7} \) 分钟。
6. \( 1 \div (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = 1 \div \frac{5}{6} = \frac{6}{5} = 1.2 \) 小时。
7. \( 1 \div (\frac{1}{40} + \frac{1}{60}) = 1 \div \frac{1}{24} = 24 \) 分钟。
8. \( 1 \div (\frac{1}{10} + \frac{1}{15}) = 1 \div \frac{1}{6} = 6 \) 分钟。
9. \( 1 \div (\frac{1}{6} + \frac{1}{9}) = 1 \div \frac{5}{18} = \frac{18}{5} = 3.6 \) 小时。
10. \( 1 \div (\frac{1}{12} + \frac{1}{18}) = 1 \div \frac{5}{36} = \frac{36}{5} = 7.2 \) 天。

（注：第二关、第三关解析因篇幅所限，提供核心思路，学生可依据“四步法”自行演算。）

第二关：奥数挑战核心思路

1. 思路：设甲乙丙效率分别为 \( a, b, c \)，列方程组 \( a+b=\frac{1}{10}, b+c=\frac{1}{12}, a+c=\frac{1}{15} \)，三式相加得 \( 2(a+b+c)=\frac{1}{4} \)，故 \( a+b+c=\frac{1}{8} \)，合作需 \( 8 \) 天。
2. 思路：将两种完成方式看作等量关系，可求出甲、乙各自的效率，再分段计算。
3. 思路：设注满共需 \( x \) 小时，则甲开了 \( (x-2) \) 小时，乙开了 \( x \) 小时。列方程：\( \frac{x-2}{12} + \frac{x}{18} = 1 \)。
4. 思路：根据效率关系设甲效为 \( a \)，乙效为 \( b \)，丙效为 \( c \)，由题意得 \( a = b+c \)，\( c = \frac{1}{5}(a+b) \)，且 \( a+b+c=\frac{1}{8} \)，联立求解 \( b \)，再求乙单独时间。
5. 思路：设乙休息了 \( y \) 天，则甲实际工作 \( (14-2.5) \) 天，乙实际工作 \( (14-y) \) 天。列方程：\( \frac{14-2.5}{20} + \frac{14-y}{30} = 1 \)。

第三关：生活应用核心思路

1. \( 1 \div (\frac{1}{48} + \frac{1}{36}) = \frac{144}{7} \approx 20.57 \) 小时。
2. 设 \( x \) 小时后，有 \( x(\frac{1}{5} + \frac{1}{4}) = \frac{9}{10} \)，解得 \( x = 2 \) 小时。
3. 分两阶段：前3小时完成 \( 3\times(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})=\frac{1}{2} \)。升级后乙效为 \( \frac{1}{15}\times(1+\frac{1}{3})=\frac{4}{45} \)，合效为 \( \frac{1}{10}+\frac{4}{45}=\frac{17}{90} \)。剩余 \( \frac{1}{2} \) 的工作需时 \( \frac{1}{2} \div \frac{17}{90} = \frac{45}{17} \) 小时。总时间 \( 3+\frac{45}{17}=\frac{96}{17} \) 小时。
4. M先做1小时完成 \( \frac{1}{6} \)，剩余 \( \frac{5}{6} \)。合效 \( \frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12} \)。合作时间 \( \frac{5}{6} \div \frac{5}{12} = 2 \) 小时。总时间 \( 1+2=3 \) 小时。
5. 前5天完成 \( 5\times(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})=\frac{5}{12} \)。剩余 \( \frac{7}{12} \)。5天后前端效率变为 \( \frac{1}{30} \div 2 = \frac{1}{60} \)，新合效 \( \frac{1}{60}+\frac{1}{20}=\frac{1}{15} \)。剩余工作需时 \( \frac{7}{12} \div \frac{1}{15} = \frac{35}{4}=8.75 \) 天。总时间 \( 5+8.75=13.75 \) 天。