取火柴必胜策略详解：抢30游戏规则、公式与练习题PDF下载

💡 阿星精讲：必胜策略：取火柴 原理

• 核心概念：想象你和朋友在玩“抢\(30\)”游戏，轮流从\(1\)数到\(30\)，每次可以说\(1\)到\(3\)个数，谁先说到\(30\)谁赢。这和我们“取火柴”一模一样！阿星的“留\(4\)策略”就是制胜法宝：不管对方这次拿几根（或说几个数），我总能把两人本轮拿的总数“凑成\(4\)”。这样，我就牢牢控制着节奏，像下棋一样，一步步把对手逼向终点前的“悬崖”——数字\(4\)。当对手面对\(4\)时，无论他拿\(1\)、\(2\)还是\(3\)，剩下的都在我一次能拿完的范围内，我必胜！
• 计算秘籍：
  1. 找“安全港”：计算“每次最多取数”加\(1\)。比如最多取\(3\)根，那么 \(1+3=4\)，\(4\)就是我们的“安全港”（必胜点）。
  2. 定“起跑线”：用总数\(N\)除以“安全港”数，看余数。公式：\(N \div (1 + m) = Q \cdots r\)，其中\(m\)是每次最多取数。如果余数\(r\)不为\(0\)，你先手，第一次就拿走\(r\)根，让对手面对\(Q\)个完整的“安全港”周期。如果余数\(r\)为\(0\)，千万别先手！让对方先走，你就能成为那个“凑数”的人。
  3. 执行策略：之后每轮，对方拿\(a\)根，你就拿\((4 - a)\)根，始终保持他面对的是“安全港”的倍数。
• 阿星口诀：敌动我动凑成四，稳坐钓鱼台；总数除以四余几，首战就要取其。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：只知道“留4”，但开局乱拿。 → ✅ 正解：开局是关键！必须用 \(总数 \div (1+最多取数)\) 算余数，若余数不为\(0\)，先手拿走余数；若为\(0\)，则后发制人。
• ❌ 错误2：以为“安全港”（如\(4\)）是固定目标。 → ✅ 正解：“安全港”是一个不断向前移动的“基准点序列”。你的目标不是让总数变成\(4\)，而是让对手每次面对的总数都是\(4\), \(8\), \(12\)... 这些“安全港”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 桌上\(15\)颗糖，两人轮流拿，每次\(1\)或\(2\)颗，谁拿到最后一颗赢。你先拿，咋赢？
2. 抢\(21\)：每次说\(1\)~\(3\)个数，你先说，怎么保证说到\(21\)？
3. 火柴\(23\)根，每次取\(1\)~\(4\)根，你先取，必胜吗？第一次取几根？
4. 台阶\(30\)级，每次上\(1\)~\(3\)级，谁上最后一级谁赢。你先上，策略是？
5. 总数\(N=18\)，每次取\(1\)~\(2\)根，规则为最后取者输。你先手，能赢吗？
6. 有\(10\)根火柴，每次取\(1\)或\(3\)根（不能取\(2\)根），最后取者赢。分析先手胜负。
7. 模仿“抢30”，设计一个“抢25”游戏，每次报\(1\)~\(4\)个数，写出先手必胜策略。
8. \(27\)根火柴，每次取\(1\)~\(5\)根，你先手，第一次应取几根？
9. 如果游戏规则改为每次取\(2\)~\(4\)根（即最少取\(2\)根），总数\(20\)，最后取者赢，分析先手。
10. 简单描述：在“每次取1~3根，最后取赢”的规则下，为什么数字\(4, 8, 12, 16...\)是“安全”的？

第二关：奥数挑战（10道）

1. 两堆火柴，分别有\(10\)根和\(15\)根。两人轮流从其中一堆取走任意根（至少\(1\)根），最后取光者胜。你有必胜策略吗？
2. \(2023\)根火柴，每次取\(1\)~\(7\)根中的质数根（即只能取\(2, 3, 5, 7\)根），最后取者胜。先手必胜吗？
3. “抢100”但每次报数只能是\(1, 3, 4\)（三个选项），你先手，如何制胜？
4. 有\(N\)根火柴，两人轮流取，第一次可取\(1\)~\(N-1\)根（不能全取），之后每次可取不超过对方上次所取根数的火柴（至少\(1\)根），最后取完者胜。若\(N=100\)，先手怎么必胜？
5. 三堆火柴，分别\(3, 5, 7\)根。每次只能从一堆中取至少\(1\)根。最后取者胜。这是经典的“Nim”游戏，研究其策略。
6. 在“最后取者输”规则下，总数\(30\)，每次取\(1\)~\(4\)根。请问哪些数字是“必败点”？
7. 一个圆形桌上有\(2024\)枚硬币围成一圈，两人轮流取走相邻的两枚硬币（即取走两枚且它们原来相邻），无法操作者输。分析策略。
8. 每次可取\(1\)根或\(4\)根火柴（不能取\(2\)或\(3\)根），总数\(50\)，最后取赢。找规律。
9. 火柴游戏，规定取走最后一根的人输，且每次取火柴的数量必须是当前火柴总数的正约数（除了它本身）。比如当前有\(6\)根，你可以取\(1, 2, 3\)根。从\(100\)根开始，先手能赢吗？
10. 结合“找规律”和“逆向推导”：一堆物品，每次取\(1\)~\(k\)个，最后取者输。推导出通用的“必败点”序列公式。

第三关：生活应用（5道）

1. （AI训练）你正在设计一个玩“取火柴”游戏的AI。AI每次可以取\(1\)~\(m\)根，游戏总局数为\(N\)。请用伪代码写出AI判断先手是否必胜以及第一步该如何行动的核心算法。
2. （航天任务）一个太空燃料仓有\(100\)单位燃料，两个智能机器人A和B轮流抽取燃料用于各自任务，每次只能抽取\(1\)、\(2\)或\(3\)单位。规定抽走最后一单位燃料的机器人将触发仓体警报并任务失败。如果机器人A先抽，它应该如何避免失败？
3. （电商促销）“双十一”秒杀活动：一件限量\(50\)个的商品，系统允许两个“超级会员”A和B轮流下单购买，每次下单可买\(1\)~\(4\)件。谁买到最后一批（使总售出数达到或超过\(50\)）谁就能获得免单。如果你是会员A，你希望系统让你先下单还是后下单？你的购买策略是什么？
4. （项目管理）一个项目有\(20\)个关键任务，你和同事轮流认领任务去做，每次每人必须认领\(1\)个或\(2\)个连续任务（任务编号连续）。谁认领到最后一个任务，谁就要负责最麻烦的项目总结报告。你想避开报告，在认领开始时，你该怎么做？
5. （网络安全）在一个简化的网络攻击模型中，防御方（你）和攻击方轮流行动。共有\(N\)个系统漏洞，攻击方每次可尝试利用\(1\)个或\(2\)个漏洞，防御方每次可修复\(1\)个漏洞。规定当所有漏洞都被利用或修复后，最后一个行动的一方获胜（即：攻击方最后行动则攻击成功，防御方最后行动则防御成功）。作为防御方，你希望先手还是后手？当\(N=15\)时，你的策略是什么？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 能。\(15 \div (1+2)=5 \cdots 0\)，余数为\(0\)，后手必胜。你先手无法必胜，除非对手犯错。
2. 能。\(21 \div (1+3)=5 \cdots 1\)，余数为\(1\)。你先报\(1\)，之后对方报\(a\)个数，你就报\((4-a)\)个数。
3. 必胜。\(23 \div (1+4)=4 \cdots 3\)，余数\(3\)。第一次取\(3\)根。
4. 能。\(30 \div (1+3)=7 \cdots 2\)，余数\(2\)。先上\(2\)级，之后凑\(4\)。
5. 能赢，但需小心。最后取者输，安全序列是\(3, 6, 9, ...\)（\(3\)的倍数）。\(18\)是\(3\)的倍数，你先手面对的是必胜点（对于“最后取赢”规则），但现在规则是“最后取输”，所以你先手面对\(18\)实际上是必败点。因此，你先手会输，后手才能赢。
6. 安全港 \(T = 1+3 = 4\)。\(10 \div 4 = 2 \cdots 2\)。余数\(2\)，先手必胜。第一次取\(2\)根？但规则不能取\(2\)根！矛盾。所以，此规则下“安全港”计算失效，需要重新找规律。实际上，此规则下\(1, 4, 5, 8, 9, 12...\)是必败点。\(10\)不是必败点，先手可以取\(1\)根，留给对手\(9\)（必败点）。
7. 安全港 \(T=1+4=5\)。计算 \(25 \div 5 = 5 \cdots 0\)。余数为\(0\)，后手必胜。先手无法必胜。
8. \(27 \div (1+5)=4 \cdots 3\)，第一次取\(3\)根。
9. 规则变化（最少取\(2\)根），需重新分析。目标是留\(1\)根给对手（因为他最少取\(2\)根，无法取\(1\)根，你就赢了）。向前推，留\(1+（2+4）=7\)根、\(13\)根、\(19\)根...给对手是安全的。\(20\)不是安全点，先手可以取\(1\)根？不，最少取\(2\)根。所以先手只能取\(2\)~\(4\)根，留给对手\(18\)~\(16\)根，都不是明显的安全点。需要更深入分析，但经典“安全港”公式不直接适用。
10. 因为当对手面对\(4\)根时，他取\(1\)~\(3\)根后，剩下\(3\)~\(1\)根，你都可以一次取完获胜。\(4\)是第一个这样的“制高点”。控制住\(4\)，就控制了\(8, 12, 16...\)这些\(4\)的倍数。

第二关 & 第三关解析因篇幅所限，将在后续资料中详细给出。核心思路已融入例题和FAQ的讲解中。