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一分钟为什么是60秒专项练习题库：60进制详解与数学历史解析

适用年级

一年级

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-20

💡 阿星精讲：为什么一分钟是60秒 原理

  • 核心概念：想象一下，古巴比伦的一位“时间分宝藏”的智者立下遗愿：要把1小时这块“大蛋糕”切得公平又好用。他需要一个超级好用的“分割数”。这个数要能被很多常见的小数（比如半个、三分之一、四分之一个）整除，切出来才是整块，不会剩下碎渣。阿星研究发现，这个数就是 \( 60 \)！因为它能被 \( 1, 2, 3, 4, 5, 6 \) 整除，是满足这个条件的“最小学霸”。所以，1小时切60刀（分钟），每1分钟再切60刀（秒），分起来“好分得不得了”，这就是60进制在时间上流传千年的智慧。
  • 计算秘籍：
    1. 列出我们需要整除的数：\( 1, 2, 3, 4, 5, 6 \)。
    2. 找到它们的最小公倍数（LCM）。
      • 分解质因数：
        • \( 2 = 2 \)
        • \( 3 = 3 \)
        • \( 4 = 2^2 \)
        • \( 5 = 5 \)
        • \( 6 = 2 \times 3 \)
      • 取每个质因数的最高次幂：\( 2^2 \)（来自4），\( 3^1 \)（来自3和6），\( 5^1 \)（来自5）。
      • 相乘得到最小公倍数：\( LCM = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \)。
    3. 验证：\( 60 \div 1 = 60 \)， \( 60 \div 2 = 30 \)， \( 60 \div 3 = 20 \)， \( 60 \div 4 = 15 \)， \( 60 \div 5 = 12 \)， \( 60 \div 6 = 10 \)。全部是整数，完美！
  • 阿星口诀：“一六得六十，二三四五都整除，分时切秒好数目！”

1小时“大蛋糕” 能被2,3,4,5,6整除 60

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：认为60能被1到6所有数整除，所以它是“最大”的那个数。
    ✅ 正解：60是满足条件（能被1,2,3,4,5,6整除）的“最小”的数。比它小的数，比如30，就不能被4整除 \( (30 \div 4 = 7.5) \)。
  • ❌ 错误2：直接用 \( 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720 \) 当作答案。
    ✅ 正解：要找的是“最小公倍数”，不是简单连乘。必须分解质因数，取最高次幂，这样得到的 \( 60 \) 才是最小且满足条件的。

🔥 三例题精讲

例题1：验证数字 \( 30 \) 是否能像 \( 60 \) 一样，被 \( 1, 2, 3, 4, 5, 6 \) 整除？

📌 解析：

  1. 计算 \( 30 \div 4 = 7.5 \)。
  2. 发现结果不是整数 \( (7.5) \)。
  3. 因此，\( 30 \) 不能被 \( 4 \) 整除，它不满足全部条件。

✅ 总结：要验证一个数能否被一组数整除，必须确保每一个除法运算的结果都是整数。

例题2：如果古巴比伦人想找一个能被 \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 \) 整除的最小的数，这个数是多少？

📌 解析：

  1. 分解关键数字的质因数，找出最高次幂：
    • \( 4 = 2^2 \)
    • \( 8 = 2^3 \)
    • \( 3 = 3^1 \)
    • \( 5 = 5^1 \)
    • (\( 2, 6, 10 \) 的质因数已包含在内)
  2. 取 \( 2^3 \) (来自8)，\( 3^1 \)，\( 5^1 \)。
  3. 计算最小公倍数：\( LCM = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times 5 = 120 \)。

✅ 总结：当需要整除的数增多时，方法不变：分解质因数，对所有质因数取在给定数字中出现的最高次幂，然后相乘。

例题3：一天有24小时。请问24这个数字，能被 \( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 \) 整除吗？它作为一天的小时数，在“可分性”上和60比有什么优缺点？

📌 解析：

  1. 验证：\( 24 \div 1=24 \), \( \div2=12 \), \( \div3=8 \), \( \div4=6 \), \( \div6=4 \), \( \div8=3 \), \( \div12=2 \)。全部能整除。
  2. 与60对比：
    • 优点：24能被8整除，而60不能 \( (60 \div 8 = 7.5) \)。
    • 缺点：24不能被5整除 \( (24 \div 5 = 4.8) \)，而60可以。这意味着把一天平分成5份，每份 \( 4.8 \) 小时，不如 \( 12 \) 小时整齐。

✅ 总结：不同的进制（如24，60）各有其“友好除数”。选择哪个作为标准，取决于最常需要被哪些数分割。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. \( 60 \) 能被 \( 2 \) 整除吗？商是多少？
  2. \( 60 \) 除以 \( 3 \) 的商是整数吗？是多少？
  3. 计算 \( 60 \div 5 \)。
  4. 请找出一个比60小的、能被2和3整除的数。
  5. 数字 \( 12 \) 能被 \( 1, 2, 3, 4, 6 \) 整除吗？
  6. 30能被4整除吗？请计算验证。
  7. 列出 \( 60 \) 的所有因数（至少列出8个）。
  8. 100能被3整除吗？商大约是多少？（保留一位小数）
  9. 根据阿星口诀，“二三四五都整除”，请验证 \( 60 \div 4 = ? \)
  10. 如果1小时有50分钟，那么半小时有多少分钟？这和60进制比，哪种算起来更方便？

第二关：奥数挑战（10道）

  1. 求 \( 1, 2, 3, 4, 5 \) 的最小公倍数。
  2. 求 \( 6, 8, 12 \) 的最小公倍数。
  3. 一个数既能被5整除，又能被12整除，这个数最小是多少？
  4. 在1到100之间，有多少个数是 \( 2, 3, 5 \) 的公倍数？
  5. “高度合成数”是指有比任何比它小的正整数都多的因数的数。\( 60 \) 是一个高度合成数吗？查资料或尝试论证。
  6. 为什么角度制中，一圈是 \( 360 \) 度？猜想它与 \( 60 \) 有什么关系？
  7. 如果采用12进制（如12个月为一年），请找出一个能被 \( 1,2,3,4,6,12 \) 整除的最小的数。
  8. 证明：如果一个数能被 \( a \) 和 \( b \) 整除，那么它一定能被 \( a \) 和 \( b \) 的最小公倍数整除。
  9. 数字 \( 2520 \) 能被 \( 1 \) 到 \( 10 \) 的所有整数整除。请验证它能否被 \( 9 \) 整除。
  10. 设计一个你自己的“时间系统”：一天有 \( X \) 小时，你想让它容易被 \( 1,2,3,4,6 \) 分割。\( X \) 最小可以是多少？

第三关：生活应用（5道）

  1. （AI训练）训练一个AI模型需要 \( 240 \) 小时。工程师想将总时间平均分给 \( 2, 3, 4, 5, 6, 8 \) 个小组同时训练，且希望每组时间是整数小时。\( 240 \) 满足要求吗？它比 \( 60 \) 好在哪里？
  2. （航天）一个太空任务周期设定为 \( 180 \) 地球日。为了便于在 \( 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12 \) 个阶段进行等时长检查，\( 180 \) 是一个好的选择吗？请验证。
  3. （网购促销）“双十二”促销，商家设置每 \( 30 \) 分钟发一次红包。如果活动从中午12点开始，下午3点时是第几次发红包？这种设置利用了 \( 30 \) 是 \( 60 \) 的因数的特点吗？
  4. （项目管理）一个项目总工时预计为 \( 120 \) 人天。如果要平均分给 \( 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 \) 人的团队，都能正好分完吗？这体现了数字 \( 120 \) 的什么数学特性？
  5. （音乐节奏）在音乐中，常见拍号如 \( 4/4 \)、\( 3/4 \)、\( 6/8 \)。一小节的时长是固定的。如果用一个时长单位能被 \( 2, 3, 4, 6 \) 等分，是不是更容易编写不同节拍的音符？这和60进制思想有何相似之处？

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：为什么一分钟是60秒 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：难在概念的跨越。学生熟悉的是 \( 10 \) 进制（逢十进一），而这里是 \( 60 \) 进制，并涉及到“数的整除性”和“最小公倍数”这两个抽象概念。他们容易孤立地看 \( 60 \) 这个数字，而不是理解它作为“最优公约数”的普适数学思想。破解的关键是把“分时间”转化为“分蛋糕”、“找公共刻度”这种可操作的模型。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：这是数论和实际应用的完美启蒙。它直接引向：

  • 数论基础： 整除、因数、质因数分解、最小公倍数 \( (\text{LCM}) \)。
  • 代数思维： 为学习分数通分 \( \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} \right) \) 打下直观基础。
  • 算法思想： “寻找满足多个条件的最小值”是计算机算法中的常见问题。
  • 科学史与建模： 理解不同进制（如 \( 12, 24, 60, 360 \) ）的选择是解决实际问题的数学建模过程。

问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？

答：当遇到“寻找能被一组数整除的最小数”这类问题时，核心套路就是：求这组数的“最小公倍数（LCM）”。

  1. 将每个数进行质因数分解。
  2. 列出所有出现的质因数。
  3. 对每个质因数，取它在所有分解式中出现的最高次幂。
  4. 将这些最高次幂相乘，结果就是最小公倍数。

公式化表示为：若要求 \( a, b, c, ... \) 的 LCM，先分解得 \( a = p_1^{m_1}p_2^{m_2}... \), \( b = p_1^{n_1}p_2^{n_2}... \)，则 \( \text{LCM} = p_1^{\max(m_1, n_1, ...)} \times p_2^{\max(m_2, n_2, ...)} \times ... \)。

答案与解析

第一关：基础热身

  1. 能，商是 \( 30 \)。 \( 60 \div 2 = 30 \)
  2. 是，商是 \( 20 \)。 \( 60 \div 3 = 20 \)
  3. \( 12 \) \( 60 \div 5 = 12 \)
  4. 例如 \( 6 \) 或 \( 12 \) 或 \( 18 \) 等。 \( 6 \div 2=3, 6\div3=2 \)
  5. 能。 \( 12 \div 1=12, \div2=6, \div3=4, \div4=3, \div6=2 \)
  6. 不能。 \( 30 \div 4 = 7.5 \)
  7. \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \)
  8. 不能，约 \( 33.3 \)。 \( 100 \div 3 \approx 33.333... \)
  9. \( 15 \) \( 60 \div 4 = 15 \)
  10. \( 25 \) 分钟。60进制更方便，因为半小时是 \( 30 \) 分钟（整数），而50进制下是 \( 25 \) 分钟（也是整数），但50不能被3整除，而60可以。

第二关：奥数挑战

  1. \( 60 \) \( \text{LCM}(1,2,3,4,5)=60 \)
  2. \( 24 \) \( \text{LCM}(6,8,12)=24 \)
  3. \( 60 \) \( \text{LCM}(5,12)=60 \)
  4. \( 3 \) 个 \( 30, 60, 90 \)
  5. 是。\( 60 \) 有 \( 12 \) 个因数，比任何比它小的数都多（例如48有10个）。
  6. \( 360 \) 接近一年天数，且是 \( 60 \) 的倍数，有更多因数（如能被 \( 1,2,3,4,5,6,8,9,10,12... \) 整除），便于分割圆形。
  7. \( 12 \) \( \text{LCM}(1,2,3,4,6,12)=12 \)
  8. 设这个数为 \( N \)，\( \text{LCM}(a,b)=L \)。因为 \( L \) 是 \( a,b \) 的公倍数中最小的，且 \( N \) 是 \( a,b \) 的公倍数，所以 \( N \) 一定是 \( L \) 的倍数，即 \( L \) 能整除 \( N \)。
  9. 能。 \( 2520 \div 9 = 280 \)
  10. \( 12 \) \( \text{LCM}(1,2,3,4,6)=12 \)

第三关：生活应用

  1. 满足。\( 240 \) 能被 \( 2,3,4,5,6,8 \) 整除。比 \( 60 \) 好在于它能被 \( 8 \) 整除，适用更多分组场景。
  2. 是。\( 180 \) 能被 \( 2,3,4,5,6,9,10,12 \) 整除，是一个非常好的高度可分数。
  3. 第 \( 7 \) 次。\( 180 \) 分钟 \( \div 30 \) 分钟/次 \( = 6 \) 个间隔，从第0次开始，所以是第6次发，但通常从第1次算起，12:00是第1次，3:00是第 \( 7 \) 次。是的，\( 30 \) 是 \( 60 \) 的因数，所以也能对齐整点。
  4. 能。\( 120 \) 能被所有这些数整除。体现了 \( 120 \) 是 \( 2,3,4,5,6,8,10,12 \) 的公倍数，且是高度合成数，具有极好的可分性。
  5. 是的。一个时长单位如果能被多种基本节奏等分，作曲和演奏会更灵活。这与60进制追求“高可分性”以方便日常时间分割的思想完全一致，都是数学“实用性”和“和谐性”的体现。

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