知识要点

💡 核心概念

想象一下去电影院看电影。你的电影票上写着“7排5号”，你怎么找到座位呢？你一定会先找到第7排，再在这一排里找到第5个座位。

“数对”就是这样一个用来确定位置的“数学地址”。它由两个有顺序的数字组成，写作 \( (a, b) \)。第一个数 \( a \) 表示“列”，即竖着看是第几列；第二个数 \( b \) 表示“行”，即横着看是第几行。记住顺序：“先列后行”，就像“先找街道（列），再找门牌号（行）”。

📝 计算/表示法则

1. 观察与确定：确定观察对象的“列”在第几，“行”在第几。
2. 按顺序写：先写列数，接着写逗号“，”，再写行数。例如：第3列第2行。
3. 加括号：用括号把列数和行数括起来，成为一个整体。最终写成 \( (3, 2) \)。

🎯 记忆口诀

确定位置有法宝，一列一行数对好。
括号逗号分隔开，先列后行要记牢。

🔗 知识关联

• 方向与顺序：一年级学习的“前后、左右、上下”是描述相对位置的基础。
• 排队与编号：比如“从左数第3个”，这里的“第3”就类似于数对中的“列”。
• 网格与图表：在之前见过的统计表、简单的格子图中找信息，为在方格纸上用数对定位打下基础。

易错点警示

❌ 错误1：混淆列和行的顺序。例如，把第4列第1行写成 \( (1, 4) \)。

✅ 正解：严格遵守“先列后行”，正确写法是 \( (4, 1) \)。可以联想“火车站先检票（列），再找车厢（行）”。

❌ 错误2：认为计数一定从“1”开始。在有些题目中，横轴和纵轴可能从“0”开始。

✅ 正解：仔细观察坐标轴的起点数字，从规定的起点开始数。点 \( (0, 0) \) 叫做“原点”。

❌ 错误3：书写格式不规范。例如写成“3，2”、“3、2”或“3 2”。

✅ 正解：必须使用标准的数对格式：括号、数字、逗号（英文逗号），如 \( (3, 2) \)。

例题精讲

🔥 例题1：看图，写出小动物家的位置。小猴家在教室第2列第3行。

猴

猫

狗

兔

1234

12345

行

列

📌 第一步：确定“列”。从左往右数，小猴家在第2列。

📌 第二步：确定“行”。从下往上数，小猴家在第3行。

📌 第三步：按“先列后行”的顺序写数对：先写列数2，逗号，再写行数3。

✅ 答案：小猴家的位置是 \( (2, 3) \)。

💬 总结：看图写数对，关键是找准观察方向（列：左→右；行：下→上），然后按顺序组合。

🔥 例题2：根据下面的座位表，回答问题。

1. 小明的座位是 \( (4, 2) \)，请圈出来。

2. 坐在 \( (2, 3) \) 位置的同学是谁？

3. 数对 \( (x, 2) \) 表示的位置在同一（行/列）。

📌 第一步（第1问）：理解 \( (4, 2) \)。第4列，第2行。从左到右第4列是“小东/小亮/小明？”这一列。从下往上（或从前到后）第2行是中间那一行。交汇处是“小亮”。

📌 第二步（第2问）：找到 \( (2, 3) \)。第2列第3行。第2列是“小芳/小军/小刚”这一列。第3行是最上面（或最后面）一行。交汇处是“小刚”。

📌 第三步（第3问）：分析 \( (x, 2) \)。第一个数 \( x \) 可以变化（代表不同列），但第二个数固定是2（代表第2行）。所以这些位置都在同一行。

✅ 答案：1. 应圈出“小亮”的位置。2. 是小刚。3. 在同一行。

💬 总结：给出数对找位置，是“写数对”的逆过程。理解形如 \( (a, b) \) 中，固定一个数，变化另一个数，所形成的点有规律（同行或同列）。

🔥 例题3：下图是学校周边地图的一部分。请建立数对坐标系，并写出图书馆和公园的位置。(规定：以学校为原点，正东方向为列的正方向，正北方向为行的正方向，1格代表100米)

东

北

学校(0,0)

图书馆

公园

123

123

📌 第一步：理解坐标系。学校在原点 \( (0, 0) \)。向右（东）列数增加，向上（北）行数增加。

📌 第二步：确定图书馆位置。从学校向右2格（东200米），行数没变（仍在0行）。所以位置是 \( (2, 0) \)。

📌 第三步：确定公园位置。从学校向上2格（北200米），列数没变（仍在0列）。所以位置是 \( (0, 2) \)。

✅ 答案：图书馆的位置是 \( (2, 0) \)，公园的位置是 \( (0, 2) \)。

💬 总结：在方格纸上用数对，可以准确描述地理位置。关键是确定好原点和正方向。

练习题（10道）

1. 教室里，张亮坐在第3列第4行，用数对表示是（ ， ）。
2. 数对 \( (5, 1) \) 表示教室中第（ ）列第（ ）行的位置。
3. 请在下图标出 \( A(2,1), B(4,3), C(1,4) \) 各点的位置。（提供空白方格图）
4. 观察上题你描出的点，点A向（ ）平移2格，再向（ ）平移3格，就能与点B重合。
5. 在同一幅方格图中，\( (3, y) \) 和 \( (x, 2) \) 两个点，第一个点一定在第（ ）列，第二个点一定在第（ ）行。
6. 如果点 \( M(2a, b+1) \) 和点 \( N(4, 3) \) 表示同一个位置，那么 \( a = \)（ ）， \( b = \)（ ）。
7. 五（1）班同学的座位表如下，数对 \( (3, 2) \) 表示的是（ ）的位置。

   李红	王明	刘芳
   赵雷	周涛	吴雪
   孙华	陈琳	郑伟

8. 在方格纸上，连接 \( A(1,2), B(1,4), C(3,4), D(3,2) \) 四个点，形成一个什么图形？
9. 一只小虫从 \( (1,1) \) 出发，先向右爬3格，再向上爬2格，现在它的位置用数对表示是（ ， ）。
10. 请你为班级的6x4（6列4行）座位表设计一个座位方案，用数对表示出班长、学习委员和体育委员的理想位置，并说明理由。

奥数挑战（10道）

1. 在方格纸上，点A的位置是 \( (2, 3) \)，点B的位置是 \( (5, 1) \)。点C与点A在同一列，与点B在同一行。点C的位置是（ ， ）。
2. 有一串有规律的数对：\( (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) \) … 请问第20个数对是多少？
3. 一个长方形的三个顶点分别是 \( (1,1), (5,1), (1,4) \)，那么第四个顶点的坐标是（ ， ）。
4. 点 \( P(m, n) \) 关于横轴（行所在的轴）的对称点坐标是（ ， ）。
5. 在 \( 5 \times 5 \) 的方格中，从 \( (1,1) \) 走到 \( (5,5) \)，每次只能向右或向上走一格，有多少种不同的走法？
6. 将自然数按下表排列，数对 \( (3,4) \) 对应的数是14。请问数对 \( (7,5) \) 对应的数是多少？

   (1,1):1  (1,2):3  (1,3):6  (1,4):10 ...
   (2,1):2  (2,2):5  (2,3):9  (2,4):14 ...
   (3,1):4  (3,2):8  (3,3):13 ...
   (4,1):7  (4,2):12 ...
   ...
   

7. 象棋中“马”走“日”。若棋盘足够大，“马”从原点 \( (0,0) \) 出发，跳一步后可能到达的位置有哪些？（请列出所有可能的数对）
8. 已知点 \( A(1,2) \)，点B在过点A且平行于横轴的直线上，且AB距离为3，求点B的两个可能坐标。
9. 在平面内，点 \( (x, y) \) 满足 \( x + y = 5 \)，且 \( x, y \) 都是1到4之间的整数。这样的点共有几个？分别是哪些？
10. 数对 \( (a, b) \) 定义其“数值”为 \( a + b \)。现有数对序列：\( (1,1), (2,1), (1,2), (3,1), (2,2), (1,3) \) … 按“数值”从小到大排列，“数值”相同时按 \( a \) 从大到小排列。求“数值”为6的第3个数对。

生活应用（5道）

1. （电影院） 小乐的电影票上显示是“8排12座”。如果用“列数，排数”的数对形式表示这个座位，并且屏幕方向为“行”，那么这个位置可以表示为（ ， ）。
2. （棋盘游戏） 在围棋棋盘上，通常用“数字+字母”定位，如“K10”。如果我们用数对模拟，规定左下角为 \( (1, A) \)，那么“第10条横线，第11条竖线”交叉点可以表示为（ ， ）。
3. （快递物流） 智能快递柜的取件码是“05-01-12”，可能表示第5区第1列第12行。如果用数对表示这个柜子在整个柜群中的位置（假设各区并排），它可能是（ ， ）。（请说明你的假设）
4. （城市电网） 电力工程师用数对标记城市地下电缆的检修井位置。已知A井在 \( (103, 256) \)，B井在 \( (108, 261) \)。请问B井在A井的什么方向？（提示：数对第一个数表示东西向坐标，向东增大；第二个数表示南北向坐标，向北增大）
5. （AI与游戏） 在开发一款“校园寻宝”手机游戏时，需要将整个校园地图网格化。如果主楼被设定在区域 \( (15, 20) \) 到 \( (18, 23) \) 的矩形内，请问这个矩形区域占了几个格子？