位似图形是什么？位似中心与位似比怎么求？中考数学深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：位似 原理

• 核心概念：想象一下，你有一盏聚光灯和一个玩偶。聚光灯的光线从灯芯（一个点）射出来，照在玩偶上，墙上就会出现一个放大或缩小的影子。位似变换，就是数学世界里的“聚光灯效应”！那个灯芯，我们叫它“位似中心（O）”。玩偶和它的影子就是两个位似图形。最关键的是：玩偶身上的每个点（如鼻子、脚）和影子上的对应点，它们的连线都必须穿过同一个灯芯（位似中心O）！ 这就是阿星说的“聚光”原理。图形可以放大（k > 1），可以缩小（0 < k < 1），甚至可以“倒着照”（k < 0，成中心对称位似）。
• 计算秘籍：关键在于抓住位似比 \( k \) 。
  1. 找到位似中心 \( O \) 和一对对应点 \( A \) 和 \( A‘ \) 。
  2. 位似比 \( k = \frac{OA’}{OA} \)。（注意顺序：对应点到位似中心的距离之比）
  3. 若知道 \( k \) 和 \( O \) ，要找一个点 \( P \) 的位似点 \( P‘ \) ，可使用坐标公式：若 \( O \) 为原点，则 \( P'(x’, y‘) = (kx, ky) \)；若 \( O \) 不是原点，则先平移，计算后再平移回去。
• 阿星口诀：图形位似像光影，所有连线聚中心。比k定下缩放率，同侧异侧看正负。

📐 图形解析

下面这个SVG展示了“聚光”的核心思想：三组对应点的连线 \( AA‘ \)、\( BB’ \)、\( CC‘ \) 都精确地穿过同一个点——位似中心 \( O \) 。图形 \( \triangle A’B‘C’ \) 是图形 \( \triangle ABC \) 以 \( O \) 为位似中心，按一定比例放大后的图形。

位似比公式：\( k = \frac{OA’}{OA} = \frac{OB‘}{OB} = \frac{OC’}{OC} \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“看起来像”的图形就是位似图形。 → ✅ 正解：必须严格满足“所有对应点连线交于一点（位似中心）”。仅角度相等、边成比例是相似，不一定是位似。
• ❌ 错误2：求位似比 \( k \) 时，顺序写反。 → ✅ 正解：牢记 \( k = \frac{\text{位似图形上对应线段长度}}{\text{原图形上对应线段长度}} = \frac{OA‘}{OA} \)。顺序反了，\( k \) 的意义就反了。
• ❌ 错误3：忽略位似中心的位置，尤其在坐标系中。 → ✅ 正解：位似中心可能在图形外部、内部或边上。在坐标计算时，若位似中心不是原点，必须先进行坐标平移。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断：两个正方形一定是位似图形。（ ）
2. 判断：以一点为位似中心，可以把任意一个三角形放大或缩小。（ ）
3. 若 \( \triangle ABC \) 与 \( \triangle DEF \) 是位似图形，位似比为 \( 2:3 \)，且 \( \triangle ABC \) 的周长为 \( 12cm \)，则 \( \triangle DEF \) 的周长为 \( \_\_\_ cm \)。
4. 位似图形上某一对对应点到位似中心的距离分别为 \( 4cm \) 和 \( 10cm \)，则它们的位似比是 \( \_\_\_ \)。
5. （作图概念）要作一个已知五边形的位似图形，位似中心在五边形外，位似比 \( k=3 \)，则新图形各边是原图形对应边的 \( \_\_\_ \) 倍，且新图形在原有图形的 \( \_\_\_ \)（同侧/反侧）。
6. 在平面直角坐标系中，点 \( P(6， 8) \) 以原点为位似中心，位似比为 \( \frac{1}{2} \)，则点 \( P \) 的对应点 \( P‘ \) 的坐标是 \( \_\_\_ \)。
7. 填空题：位似图形是特殊的 \( \_\_\_ \) 图形，它们都满足对应角 \( \_\_\_ \)，对应边 \( \_\_\_ \)。
8. 已知 \( \triangle ABC \sim \triangle A‘B’C‘ \) ，且相似比为 \( 1:4 \)。若它们还是位似图形，且位似中心在图形之间，则位似比 \( k = \_\_\_ \)（考虑正负）。
9. 如图，\( \triangle ABC \) 与 \( \triangle ADE \) 位似吗？为什么？（配简单连线图）
10. 请简述“聚光原理”如何帮助你记忆位似的定义。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）如图，在平面直角坐标系中，已知 \( \triangle ABC \) 三个顶点的坐标分别是 \( A(2， 2)， B(4， 0)， C(4， -4) \)。以点 \( O(0， 0) \) 为位似中心，将 \( \triangle ABC \) 缩小为原来的 \( \frac{1}{2} \)，得到 \( \triangle A’B‘C’ \)，则点 \( C‘ \) 的坐标为 \( \_\_\_ \)。
2. （中考真题改编）如图，\( \triangle ABC \) 与 \( \triangle A‘B’C‘ \) 是位似图形，点 \( O \) 是位似中心。若 \( OA’ = 2OA \)，\( S_{\triangle ABC} = 4 \)，则 \( S_{\triangle A‘B’C‘} = \_\_\_ \)。
3. （综合）已知四边形 \( ABCD \) 和位似中心 \( O \)，且位似比为 \( k = -2 \)。描述新图形 \( A‘B’C‘D’ \) 与原图形 \( ABCD \) 的位置和大小关系。
4. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( D、E \) 分别是 \( AB、AC \) 上的点，且 \( DE \parallel BC \)。请问 \( \triangle ADE \) 与 \( \triangle ABC \) 是否位似？如果是，找出位似中心。
5. （坐标综合）线段 \( AB \) 两端点坐标为 \( A(-2， 1)， B(1， 3) \)，以点 \( P(1， 1) \) 为位似中心，将线段 \( AB \) 放大到原来的 \( 2 \) 倍，求端点 \( A’ 和 B‘ \) 的坐标。
6. （证明题）如图，已知 \( \triangle ABC \) 与 \( \triangle A‘B’C‘ \) 位似，位似中心为 \( O \)。求证：直线 \( AA’、BB‘、CC’ \) 三线共点。
7. （分类讨论）在平面直角坐标系中，已知点 \( A(4， 6)， B(8， 2) \)。以原点 \( O \) 为位似中心，位似比为 \( \frac{1}{2} \)，得到的对应点为 \( A‘、B’ \)。请问有几种情况？分别写出坐标。
8. （网格作图）在 \( 10 \times 10 \) 的正方形网格中，有一个 \( \triangle ABC \)，顶点均在格点上。请以格点 \( O \) 为位似中心，画出 \( \triangle ABC \) 的位似图形 \( \triangle A‘B’C‘ \)，使得 \( \triangle ABC \) 与 \( \triangle A’B‘C’ \) 的位似比为 \( 1:2 \)。
9. （实际应用）小明身高 \( 1.6m \)，他在路灯下的影子长 \( 2m \)，同一时刻，路灯的影子长 \( 8m \)（从灯柱底到影子顶端）。请用位似的思想，计算路灯的高度。
10. （探究题）两个位似多边形，一组对应边的比是 \( 3:5 \)，则它们的面积比是 \( \_\_\_ \)，如果较小的多边形的周长是 \( 18 \)，则较大的多边形的周长是 \( \_\_\_ \) 。

第三关：生活应用（5道）

1. 地图与比例尺：一张地图的比例尺是 \( 1:50000 \)。从地图上看，两个村庄 \( A、B \) 的图上距离为 \( 4cm \)。请用位似的观点解释比例尺，并计算两地的实际距离。
2. 电影放映：电影放映机将胶片上的小画面，通过镜头（可视为位似中心）投射到巨大的银幕上。若胶片画面高 \( 2cm \)，银幕画面高 \( 8m \)，求这个“位似变换”的位似比，并说明像是正立还是倒立。
3. 工程制图：工程师需要将一个精密零件的设计图（比例 \( 10:1 \)）绘制成等大的施工图（1:1）。请描述这个过程可以看作怎样的位似变换？位似中心在哪里比较方便？
4. 测高：如图，为了测量一棵树 \( AB \) 的高度，小明在离树一定距离的 \( O \) 点放一面小镜子，然后看着镜子后退到点 \( D \)，直到在镜子里刚好看到树顶 \( A \)。已知小明眼睛 \( C \) 离地面高 \( 1.5m \)，\( OD=2m \)，\( OB=10m \)。利用光的反射定律（入射角等于反射角）和位似的思想，证明 \( \triangle COD \) 与 \( \triangle AOB \) 位似，并计算树高。
   
5. 艺术与设计：一位设计师需要将一个小Logo图案等比例放大，填充到一块大型背景板的固定区域内。他使用投影仪将Logo投影到背景板上进行描边。请分析这个过程中，投影仪镜头、Logo原图、背景板上的像三者构成的位似关系。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 错误。只有对应点连线交于同一点的正方形才位似，位置随意摆放的两个正方形不一定。
2. 正确。这是位似变换的定义允许的。
3. \( 18cm \)。解析：周长比等于相似比 \( 2:3 \)，所以 \( \triangle DEF \) 周长 = \( 12 \times \frac{3}{2} = 18 \)。
4. \( 5:2 \) 或 \( 2:5 \)。解析：取决于哪一个是原图形。通常 \( k = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \)（放大）。
5. \( 3 \)倍，同侧（因为 \( k=3>0 \)）。
6. \( (3, 4) \)。解析：\( (6 \times \frac{1}{2}， 8 \times \frac{1}{2}) = (3, 4) \)。
7. 相似，相等，成比例。
8. \( k = -4 \)。解析：相似比为 \( 1:4 \)，位似中心在图形“之间”，说明对应点在中心两侧，故 \( k < 0 \)，所以 \( k = -4 \)。
9. 不一定。只有当点 \( D、E \) 分别在 \( AB、AC \) 上，且 \( DE \parallel BC \) 时，点 \( A \) 才是位似中心。否则不位似。
10. 答案合理即可。例：想象所有点都像被一个点吸引或发射出去，这个直观比喻让抽象的“共点”条件变得好记。

第二关：中考挑战

1. \( (2， -2) \)。解析：\( C(4， -4) \)，缩小为 \( \frac{1}{2} \)，则 \( C'(4 \times \frac{1}{2}， -4 \times \frac{1}{2}) = (2， -2) \)。
2. \( 16 \)。解析：\( OA‘ = 2OA \)，则 \( |k| = 2 \)。面积比为 \( k^2 = 4 \)。所以 \( S_{\triangle A’B‘C’} = 4 \times 4 = 16 \)。
3. 新图形 \( A‘B’C‘D’ \) 是原图形 \( ABCD \) 以 \( O \) 为中心放大 \( 2 \) 倍后的图形，且新图形与原图形在位似中心 \( O \) 的两侧（中心对称式位似）。
4. 是位似图形。位似中心是点 \( A \)。解析：因为 \( DE \parallel BC \)，所以 \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)，且对应点 \( D与B \)、\( E与C \) 的连线（即 \( BD、CE \)）都经过点 \( A \)，满足位似定义。
5. \( A’(-5， 1)， B‘(1， 5) \)。解析：以 \( P(1， 1) \) 为中心，先平移使 \( P \) 为原点：\( A \rightarrow (-3， 0)， B \rightarrow (0， 2) \)。放大2倍：\( A‘’ \rightarrow (-6， 0)， B‘’ \rightarrow (0， 4) \)。平移回去：\( A‘ \rightarrow (-5， 1)， B’ \rightarrow (1， 5) \)。
6. 证明：由位似定义，\( A、O、A‘ \) 共线，\( B、O、B’ \) 共线，\( C、O、C‘ \) 共线。因此直线 \( AA’、BB‘、CC’ \) 都经过点 \( O \)，故三线共点。
7. 两种情况。情况一（同侧位似）：\( A‘(2， 3)， B’(4， 1) \)。情况二（异侧位似）：\( A‘(-2， -3)， B’(-4， -1) \)。
8. （略，为作图题，需在网格中准确画出对应点）
9. \( 6.4m \)。解析：将路灯、小明、他们的顶端和影子末端分别连线，可以构成两个位似三角形（以光源为位似中心？实际常用地面作为基线）。更简易解法：设路灯高 \( h \)，根据“同一时刻物高与影长成正比”：\( \frac{h}{8} = \frac{1.6}{2} \)，解得 \( h = 6.4 \)。这里蕴含了位似思想。
10. 面积比 \( 9:25 \)，周长 \( 30 \)。解析：相似比为 \( 3:5 \)，面积比为相似比的平方 \( 9:25 \)。小多边形周长为 \( 18 \)，则大多边形周长为 \( 18 \times \frac{5}{3} = 30 \)。

第三关：生活应用

1. 比例尺 \( 1:50000 \) 意味着地图是实际区域的位似图形，位似比 \( k = \frac{1}{50000} \)（缩小）。实际距离 = \( 4cm \times 50000 = 200000cm = 2km \)。
2. 位似比 \( k = \frac{800cm}{2cm} = 400 \)（放大）。电影放映机成的像是倒立、放大的实像，所以从变换方向看，这个“位似”的 \( k \) 是负值（图形异侧）。
3. 可以看作以绘图员眼睛或绘图工具上某个参考点为“位似中心”的位似变换，将小图放大。在实际电脑绘图中，更常见的是以坐标原点为位似中心进行缩放变换。手工绘图时，常用“网格法”，这可以视为一系列离散点的位似。
4. 根据反射定律和几何知识，可以证明 \( \angle COD = \angle AOB \)，且 \( \angle CDO = \angle ABO = 90^\circ \)，所以 \( \triangle COD \sim \triangle AOB \)。又因为对应点连线 \( CA \) 和 \( DB \)（可认为是树与人的连线）的延长线交于镜面处的点 \( O \)，所以它们是位似图形，位似中心为 \( O \)。位似比 \( k = \frac{OB}{OD} = \frac{10}{2} = 5 \)。所以树高 \( AB = k \times CD = 5 \times 1.5 = 7.5m \)。
5. 投影仪镜头相当于位似中心，Logo原图是原图形，背景板上的像是位似图形。三者满足：原图上每一点与像上对应点的连线都经过镜头（位似中心）。这个过程通常是一个放大 (\( |k| > 1 \)) 且倒立 (\( k < 0 \)) 的位似变换。