位似图形怎么判断和计算？从聚光灯模型到中考真题的深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：位似图形 原理

• 核心概念：嘿，我是阿星！想象一下，你有一个玩具人偶，把它放在聚光灯下。地板上会投出一个巨大的影子。这个人偶和它的影子，就是一对“位似图形”！聚光灯的位置，就是神奇的“位似中心”。它们不只是形状相似（对应角相等，对应边成比例），最关键的是，人偶的鼻子尖、手指尖和影子上的对应点，它们的连线都笔直地穿过那个聚光灯（位似中心）！所以，位似是“带中心点的相似”，是一种更亲密、更有秩序的相似关系。
• 计算秘籍：
  1. 找位似中心：连接两图形上的任意两对对应点，延长（或反向延长）其连线，交点即为位似中心 \( O \)。
  2. 算位似比：位似比 \( k \) 等于对应边的长度比，也等于任意一对对应点到位似中心的距离比。即若 \( \triangle ABC \) 与 \( \triangle A‘B’C‘ \) 位似，且 \( O \) 为位似中心，则 \( k = \frac{A‘B’}{AB} = \frac{OA‘}{OA} \)。当 \( k > 0 \) 时，两图形在 \( O \) 同侧（外位似）；当 \( k < 0 \) 时，两图形在 \( O \) 异侧（内位似）。
  3. 坐标变换（在平面直角坐标系中）：若以原点 \( O(0, 0) \) 为位似中心，位似比为 \( k \)，则原图形上点 \( (x, y) \) 的对应点坐标为 \( (kx, ky) \)。
• 阿星口诀：聚光一打，影子放大。点线穿心，不分家。比值恒定 \( k \) 当家，同侧异侧看正负。

📐 图形解析

下图展示了位似的两种基本情形：外位似与内位似。你可以清晰地看到，所有对应顶点的连线（虚线）都汇聚于一点——位似中心 \( O \)。

位似比计算：\( k = \frac{OA‘}{OA} = \frac{A’B‘}{AB} = \frac{B’C‘}{BC} = 2 \)（左图），\( k = -\frac{OA’‘}{OA} = -0.5 \)（右图，负号表示方向相反）。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“所有相似图形都是位似图形”。
  ✅ 正解：只有相似图形满足“所有对应点连线交于同一点”这一苛刻条件时，才是位似图形。例如，两个全等的直角三角形，一个横着放，一个竖着放，它们相似，但对应点连线不会交于一点，所以不是位似。
• ❌ 错误2：在判断位似时，只连接了一对对应点发现交于一点，就下结论。
  ✅ 正解：必须连接至少两对对应点，检查它们的交点是否为同一点。只连一对可能是巧合。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断：位似图形一定是相似图形。（ ）
2. 判断：相似图形一定是位似图形。（ ）
3. 若两个五边形是位似图形，位似比为 \( 3:2 \)，则较大五边形的周长是较小五边形周长的 \( \_\_\_\_ \) 倍。
4. 在位似图形中，对应线段一定 \( \_\_\_\_ \) （平行/不平行）。
5. 如图，指出位似中心，并判断位似比 \( k \) 是正还是负。
   
6. 已知 \( \triangle ABC \) 与 \( \triangle A‘B’C‘ \) 位似，且 \( AB: A’B‘ = 2:3 \)，若 \( BC = 6 \) cm，则 \( B’C‘ = \_\_\_\_ \) cm。
7. 以点 \( O \) 为位似中心，将线段 \( AB \) 放大到原来的 \( 2 \) 倍得到 \( A‘B’ \)，则 \( OA‘:OA = \_\_\_\_ \)。
8. 在平面直角坐标系中，将 \( \triangle ABC \) 各顶点的横、纵坐标都乘以 \( -2 \)，得到 \( \triangle A‘B’C‘ \)，则这两个三角形是位似图形吗？位似中心是？位似比是？
9. 简述“位似中心”在识别位似图形中的作用。
10. 阿星说：“放电影时，胶片上的画面和银幕上的画面是位似关系。”你觉得他说得对吗？为什么？

第二关：中考挑战（10道）

1. （网格作图题）请在网格中，以 \( O \) 为位似中心，画出 \( \triangle ABC \) 的位似图形 \( \triangle A‘B’C‘ \)，使得位似比为 \( 1:2 \)。
2. （综合题）如图，\( \triangle ABC \) 中，\( D, E \) 分别是 \( AB, AC \) 上的点，且 \( DE \parallel BC \)。\( BE, CD \) 相交于点 \( O \)。求证：\( \triangle ODE \) 与 \( \triangle OBC \) 是位似图形。
3. （坐标计算题）在直角坐标系中，已知 \( A(2, 4), B(4, 0), O(0, 0) \)。以 \( O \) 为位似中心，按位似比 \( -\frac{1}{2} \) 将 \( \triangle OAB \) 缩小，求所得三角形各顶点的坐标。
4. （证明题）两个位似多边形的一组对应边分别为 \( 12 \) cm 和 \( 8 \) cm，它们的面积差为 \( 40 \) cm²。求这两个多边形的面积。
5. （动态几何题）如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle C = 90^\circ \)，\( AC=6 \)，\( BC=8 \)。点 \( P \) 从 \( A \) 出发沿 \( AC \) 向 \( C \) 移动，速度为 \( 1 \) 单位/秒；点 \( Q \) 从 \( C \) 出发沿 \( CB \) 向 \( B \) 移动，速度为 \( 2 \) 单位/秒。当 \( t \) 为何值时，以 \( C, P, Q \) 为顶点的三角形与 \( \triangle ABC \) 位似？指出位似中心。

第三关：生活应用（5道）

1. 地图测绘：一张地图的比例尺是 \( 1:50000 \)。地图上的一个三角形湖泊区域面积为 \( 12 \) cm²。这个湖泊的实际面积是多少平方公里？（提示：面积比是相似比的平方）
2. 投影仪：一台投影仪将一张 \( 15 \) cm × \( 10 \) cm 的幻灯片，投影成 \( 300 \) cm × \( 200 \) cm 的图像。请问投影图像与幻灯片是位似关系吗？如果是，位似比是多少？投影仪镜头大约在什么位置？
3. 瞳孔与视角：为什么我们透过一个小孔（比如用手指圈成一个圈）看物体，即使小孔移动，看到的景物形状大致不变，只是明暗有变化？请用位似的思想简单解释。
4. 分形艺术：许多分形图案（如科赫雪花）的一部分与整体是相似的。它们是位似图形吗？为什么？
5. 工程制图：工程师需要绘制一个零件的三视图（主视图、俯视图、左视图）。任意两个视图（如主视图和左视图）之间是位似关系吗？为什么？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：

1. ✅ 正确。位似是特殊的相似。
2. ❌ 错误。相似不一定位似，必须满足对应点连线交于一点。
3. \( \frac{3}{2} \) 或 \( 1.5 \)。周长比等于相似比（位似比）。
4. 平行（或在同一直线上）。这是位似图形的一个重要性质。
5. 位似中心为对应点连线的交点（图中虚线延长线的交点），位于图形之间，\( k < 0 \)（内位似）。
6. \( B‘C’ = 6 \times \frac{3}{2} = 9 \) cm。
7. \( OA‘:OA = 2:1 \)。
8. 是位似图形。位似中心是原点 \( O(0,0) \)。位似比 \( k = -2 \)（因为坐标乘以了 \( -2 \)，负号表示方向相反）。
9. 位似中心是所有对应点连线的公共交点，它是判断两个图形是否具有这种特殊相似关系的“钥匙”和“枢纽”。
10. 基本正确。可以近似认为，电影放映机镜头是位似中心，胶片上的画面和银幕上的画面是位似图形。但由于银幕通常不是严格的平面，且镜头有畸变，所以是近似的。

第二关：

1. （解析略，作图关键：连接OA、OB、OC，在其上或延长线上取中点A‘、B’、C‘，使 \( OA‘ = \frac{1}{2}OA \) 等，再连接。）
2. 证明：∵ \( DE \parallel BC \)，∴ \( \angle OED = \angle OBC \)，\( \angle ODE = \angle OCB \)，∴ \( \triangle ODE \sim \triangle OBC \)。又∵ 对应点连线 \( D \leftrightarrow B \)，\( E \leftrightarrow C \) 的连线 \( DB \) 与 \( EC \) 相交于点 \( A \，而点 \( O \) 是它们自身 (\( O \leftrightarrow O \)) 的连线交点。实际上，对于 \( \triangle ODE \) 和 \( \triangle OBC \)，对应顶点 \( O \) 重合，对应顶点 \( D \) 与 \( B \)，\( E \) 与 \( C \) 的连线 \( DB \) 和 \( EC \) 相交于点 \( A \)。根据位似定义，三组对应点连线 \( OO \)、\( DB \)、\( EC \) 不交于同一点（\( OO \) 就是一个点，DB和EC交于A），因此它们不位似。这是一个经典陷阱！它们只是相似，不是位似。题目若要求证位似，通常需要构造另一对三角形，如 \( \triangle ADE \) 与 \( \triangle ABC \)（此时位似中心为A）。本题原题假设有误，旨在警示学生区分相似与位似。
3. 根据坐标变换公式：\( (x, y) \to (-\frac{1}{2}x, -\frac{1}{2}y) \)。\( A(2,4) \to A‘(-1,-2) \)，\( B(4,0) \to B’(-2,0) \)，\( O(0,0) \to O‘(0,0) \)。注意 \( O \) 与 \( O’ \) 重合。
4. 设小多边形面积为 \( S_1 \)，大多边形面积为 \( S_2 \)。位似比 \( k = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \) 或 \( \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)，这里对应边大小未指明，但面积差为正，故 \( S_2 > S_1 \)。面积比 \( \frac{S_2}{S_1} = k^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} \)。又 \( S_2 - S_1 = 40 \)。联立解得：\( S_1 = 32 \) cm²，\( S_2 = 72 \) cm²。
5. （解析概要）\( CP = 6 - t \)，\( CQ = 2t \)。① 若点 \( C \) 为位似中心，则对应点 \( C \leftrightarrow C \)，\( P \leftrightarrow A \) 或 \( B \)，\( Q \leftrightarrow B \) 或 \( A \)。需满足 \( \frac{CP}{CA} = \frac{CQ}{CB} \) 或 \( \frac{CP}{CB} = \frac{CQ}{CA} \)。代入得 \( \frac{6-t}{6} = \frac{2t}{8} \) 或 \( \frac{6-t}{8} = \frac{2t}{6} \)。分别解得 \( t = \frac{12}{5} \) 或 \( t = \frac{18}{11} \)。② 若点 \( P \) 或 \( Q \) 为位似中心，情况更复杂，通常中考不考虑。因此答案为 \( t = \frac{12}{5} \) 或 \( \frac{18}{11} \) 秒时，位似中心均为点 \( C \)。

第三关：

1. 比例尺 \( 1:50000 \) 即图上距离与实际距离的比（相似比）为 \( 1:50000 \)。面积比为相似比的平方：\( (1:50000)^2 = 1:2.5 \times 10^9 \)。地图上面积 \( 12 \) cm²，实际面积 \( S = 12 \times 2.5 \times 10^9 = 3.0 \times 10^{10} \) cm²。换算：\( 1 \) km² = \( 10^{10} \) cm²，所以 \( S = 3.0 \) km²。
2. 是。位似比 \( k = \frac{300}{15} = 20 \) (或 \( \frac{200}{10} = 20 \))。投影仪镜头就在位似中心的位置，位于幻灯片和银幕图像之间。
3. 小孔成像的原理是光的直线传播。物体每一点发出的光，只有一束能通过小孔到达光屏（眼睛）上形成一个光点。整个物体在光屏上形成的倒立实像，与物体本身是位似关系，小孔就是位似中心。移动小孔相当于移动位似中心，所以成像的形状（即各点的相对位置关系）不变，但大小和亮度会变。
4. 不一定是。虽然分形的一部分与整体相似，但这种相似通常是自相似，即每一部分在不同的尺度上重复出现。位似要求所有对应点连线交于同一个点，而分形（如科赫雪花）的任一部分与整体的对应点连线不可能都交于同一点。因此，分形是更广泛的“相似”，但不满足严格的位似定义。
5. 不是。三视图（正投影）是平行投影的结果，遵循“长对正、高平齐、宽相等”的规则，它改变了图形的形状（例如，一个圆的正视图可能是线段或椭圆），不保持角度，因此连相似都不是，更不可能是位似。位似和相似属于中心投影的范畴。