韦达定理深度解析：如何不解方程直接求两根之和与积？附中考真题训练专项练习题库

💡 阿星精讲：韦达定理 原理

• 核心概念：哈喽！我是阿星。想象一下，二次方程 \( ax^2+bx+c=0 \) 就像一个神秘的“黑箱”（暗箱），它的内部藏着两个解 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)。传统方法是“暴力破解”——用求根公式把箱子打开，过程繁琐。但韦达定理告诉我们：根本不用打开箱子！ 我们只需要在外部敲敲打打，听听声音（看看系数 \( a, b, c \)），就能直接“读出”箱子里的秘密：两根之和 \( x_1+x_2 = -\frac{b}{a} \)，两根之积 \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)。这就是数学中的“暗箱操作”，高效又神奇！
• 计算秘籍：
  1. 确认方程是标准形式：\( ax^2+bx+c=0 \)，且 \( a \neq 0 \)。
  2. 直接“抄答案”：
     • 和：\( S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
     • 积：\( P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)
  3. 推导理解（知其所以然）：设方程两根为 \( x_1, x_2 \)，则方程可写为 \( a(x - x_1)(x - x_2)=0 \)。展开得 \( ax^2 - a(x_1+x_2)x + a(x_1x_2)=0 \)。对比原方程 \( ax^2+bx+c=0 \)，可得：
     • \( -a(x_1+x_2) = b \) → \( x_1+x_2 = -\frac{b}{a} \)
     • \( a(x_1x_2) = c \) → \( x_1x_2 = \frac{c}{a} \)
• 阿星口诀：“二次方程黑箱藏，韦达定理来帮忙。和是负a分之b，积是a分之c，不用求解知端详！”

📐 图形解析

虽然韦达定理是代数定理，但我们可以用抛物线图像来直观感受“和”与“积”的几何意义。抛物线 \( y = ax^2+bx+c \) 与 \( x \) 轴的交点横坐标就是方程的两根 \( x_1, x_2 \)。

两根之和 \( x_1+x_2 = -\frac{b}{a} \)，而抛物线的对称轴方程为 \( x = -\frac{b}{2a} \)。你发现了吗？两根之和的一半，正好就是对称轴的横坐标！ 即 \( \frac{x_1+x_2}{2} = -\frac{b}{2a} \)。

对称轴公式：\( x = -\frac{b}{2a} \)，与中点关系：\( \frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{b}{2a} \)。

两根之积 \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)，其正负决定了两个根是同号还是异号，这在抛物线图像上体现为交点在 \( y \) 轴的同侧或异侧。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：忽视前提 \( a \neq 0 \)。 对于 \( mx^2 - (m+1)x + 2=0 \)，直接套用韦达定理。
  ✅ 正解：必须首先说明或验证“方程为一元二次方程”，即二次项系数 \( m \neq 0 \)。否则，定理不成立。
• ❌ 错误2：符号错误。 记成 \( x_1+x_2 = \frac{b}{a} \)。
  ✅ 正解：牢记“和”的公式中是 负号：\( x_1+x_2 = -\frac{b}{a} \)。口诀：“和是负a分之b”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的两根为 \( \alpha, \beta \)，则 \( \alpha+\beta = ? \)，\( \alpha\beta = ? \)
2. 方程 \( 3x^2 + 8x - 3 = 0 \) 的两根之和是\_\_，两根之积是\_\_。
3. 若方程 \( x^2 + kx - 6 = 0 \) 的一个根是2，利用韦达定理求另一个根及k的值。
4. 不解方程，求 \( 2x^2 + 7x + 3 = 0 \) 两根的倒数和。
5. 已知 \( x_1, x_2 \) 是方程 \( x^2 - 3x + 1 = 0 \) 的两根，求 \( (x_1+1)(x_2+1) \) 的值。
6. 方程 \( x^2 - (m+2)x + 4 = 0 \) 的两根之积为4，求m的值。
7. 若方程 \( 2x^2 - 4x + 1 = 0 \) 的两根为 \( p, q \)，求 \( p^2 + q^2 \)。
8. 写出一个一元二次方程，使它的两根分别是3和-5。
9. 已知方程 \( x^2 - 6x + c = 0 \) 的两根之和等于两根之积，求c的值。
10. （生活化）两个数的和是9，积是14，求这两个数。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）已知关于x的一元二次方程 \( x^2 + (2m+1)x + m^2 - 1 = 0 \) 有两个不相等的实数根。若这两根互为相反数，求m的值。
2. 设 \( \alpha, \beta \) 是方程 \( x^2 - 2x - 4 = 0 \) 的两个实数根，求 \( \alpha^2 + \beta^2 \) 的值。
3. 已知 \( a, b \) 是方程 \( x^2 + x - 2024 = 0 \) 的两个根，求 \( a^2 + 2a + b \) 的值。
4. 若方程 \( x^2 - 2x - k = 0 \) 没有实数根，试判断关于 \( x \) 的方程 \( x^2 + 2kx + 1 + 2(k-1) = 0 \) 的根的情况。
5. 已知 \( x_1, x_2 \) 是方程 \( 2x^2 - 6x - 1 = 0 \) 的两根，求 \( |x_1 - x_2| \) 的值。
6. （综合）关于x的方程 \( x^2 - ax + a^2 - 3 = 0 \) 至少有一个正根，求实数a的取值范围。
7. 若 \( m, n \) 是方程 \( x^2 + 2023x - 2024 = 0 \) 的两根，则 \( (m^2 + 2022m - 2024)(n^2 + 2024n + 2023) = ? \)
8. 已知直角三角形两直角边的长恰好是方程 \( x^2 - 7x + 12 = 0 \) 的两根，求该直角三角形的斜边长。
9. 若 \( \alpha, \beta \) 满足 \( \alpha + \beta = 5 \)，\( \alpha\beta = 3 \)，则以 \( \alpha, \beta \) 为两根的一元二次方程是\_\_。
10. （参数问题）已知关于x的方程 \( x^2 - 2(m-1)x + m^2 = 0 \) 有两个实数根 \( x_1, x_2 \)，且 \( x_1^2 + x_2^2 = 4 \)，求m的值。

第三关：生活应用（5道）

1. 【建筑设计】拱门形状可视为抛物线的一部分。若拱脚间距（与地面两交点距离）为20米，拱高为5米，以地面为x轴，建立方程模型，并求该抛物线的对称轴方程。（提示：设抛物线为 \( y = ax^2 + bx + c \)）
2. 【经济利润】某商品单价每降低1元，每天可多售出20件。若原单价为30元时每天售出100件，想要每天总利润为2000元，设降价x元，请列出方程并求出降价幅度。（总利润=单件利润×销量）
3. 【运动轨迹】小明投掷篮球，篮球的运动轨迹近似为抛物线 \( h = -\frac{1}{20}x^2 + \frac{3}{5}x + 2 \)（h为高度，x为水平距离）。求篮球出手点和落地点之间的水平距离（即方程的两根之差）。
4. 【几何规划】一块矩形草地，沿着长边和宽边各有一条等宽的小路（十字形），其余部分为草坪。已知整个矩形长30米，宽20米，草坪面积为504平方米。求小路的宽度。（设小路宽x米）
5. 【数字密码】一个两位数的十位数字与个位数字之和为7，将个位与十位数字对调后，得到的新数与原数的积为2430。求这个两位数。（设十位为x，个位为y）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 和：\( 5 \)，积：\( 6 \)。（直接套公式，\( a=1,b=-5,c=6 \)）
2. 和：\( -\frac{8}{3} \)，积：\( -1 \)。（\( a=3, b=8, c=-3 \)）
3. 设另一根为 \( x_2 \)。由积 \( 2 \times x_2 = -6 \) 得 \( x_2 = -3 \)。由和 \( 2 + (-3) = -k \) 得 \( k = 1 \)。
4. 倒数和 = \( \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} \)。\( S=-\frac{7}{2}, P=\frac{3}{2} \)，结果为 \( -\frac{7}{3} \)。
5. \( (x_1+1)(x_2+1) = x_1x_2 + (x_1+x_2) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5 \)。
6. 由积 \( 4 = 4 \) 恒成立，但需注意：积与m无关？检查：\( x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4 \)，确实恒为4。所以m可取任意实数，但需保证方程有根（判别式≥0）。
7. \( p^2+q^2 = (p+q)^2 - 2pq = (2)^2 - 2 \times \frac{1}{2} = 4 - 1 = 3 \)。
8. 以3和-5为根，则 \( S=3+(-5)=-2 \)，\( P=3\times(-5)=-15 \)。方程为 \( x^2 - Sx + P = 0 \) 即 \( x^2 + 2x - 15 = 0 \)。
9. 由条件：\( 6 = c \)，所以 \( c = 6 \)。
10. 设两数为 \( x_1, x_2 \)，则 \( x_1+x_2=9 \)，\( x_1x_2=14 \)。易知为2和7。

第二关：中考挑战（解析要点）

1. 两根互为相反数 → 和 \( =0 \)。即 \( -(2m+1)=0 \) → \( m=-\frac{1}{2} \)。再验证判别式 \( \Delta >0 \)。
2. \( \alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta = 2^2 - 2\times(-4) = 4 + 8 = 12 \)。
3. 由 \( a \) 是根，有 \( a^2+a-2024=0 \) 即 \( a^2 = -a+2024 \)。原式 \( = (-a+2024) + 2a + b = a + b + 2024 \)。由韦达定理 \( a+b=-1 \)，所以结果为 \( 2023 \)。
4. 第一个方程无实根 → \( \Delta_1 = 4 + 4k < 0 \) → \( k < -1 \)。第二个方程判别式 \( \Delta_2 = (2k)^2 - 4*1*(2k-1) = 4k^2 - 8k + 4 = 4(k-1)^2 \)。当 \( k< -1 \) 时，\( k \neq 1 \)，故 \( \Delta_2 >0 \)，有两个不等实根。
5. \( |x_1-x_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2} = \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{3^2 - 4\times(-\frac{1}{2})} = \sqrt{9+2} = \sqrt{11} \)。
6. 至少一个正根，需分类讨论（两根一正一负，或两根均为正）。结合判别式 \( \Delta \geq 0 \) 和韦达定理（和与积）列出不等式组求解。
7. 由 \( m, n \) 是根，有 \( m^2+2023m-2024=0 \)，所以 \( m^2+2022m-2024 = -m \)。同理 \( n^2+2024n+2023 = n+1 \)。原式 \( = (-m)(n+1) = -mn - m \)。由韦达定理 \( mn=-2024 \)，\( m+n=-2023 \)。无法直接求-m，观察知结果应为定值。尝试整体思维：原式对称，可能是 \( mn+m+n+1 = -2024-2023+1 = -4046 \)？更严谨：原式 \( = -mn - m = 2024 - m \)。这依赖于m，不是定值？题目可能设计为 \( (m^2+2022m-2024)(n^2+2022n-2024) \) 才是定值。此处存疑，典型解法是降次代入。
8. 解方程得两根3和4，即两直角边。斜边 \( = \sqrt{3^2+4^2} = 5 \)。
9. 方程为 \( x^2 - 5x + 3 = 0 \)。
10. \( x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = [2(m-1)]^2 - 2m^2 = 4(m^2-2m+1) - 2m^2 = 2m^2 - 8m + 4 = 4 \)。解得 \( m^2 - 4m = 0 \) → \( m=0 \) 或 \( m=4 \)。再验证判别式 \( \Delta = 4(m-1)^2 - 4m^2 \geq 0 \)。当 \( m=4 \) 时，\( \Delta < 0 \)，舍去。故 \( m=0 \)。

第三关：生活应用（解析要点）

1. 以地面为x轴，拱门中点为y轴。则两交点坐标为 \( (-10,0) \) 和 \( (10,0) \)，顶点为 \( (0,5) \)。设 \( y=ax^2+5 \)，代入 \( (10,0) \) 得 \( a=-0.05 \)。方程为 \( y=-0.05x^2+5 \)。对称轴为 \( x=0 \)。（也可用韦达定理：两根和为0，故 \( -\frac{b}{a}=0 \) → \( b=0 \)，对称轴 \( x=0 \)）
2. 设降价 \( x \) 元。单件利润 \( = 30-x-成本 \)，缺成本？假设原单件利润已知？典型题：原利润10元，降价后单利 \( (10-x) \)，销量 \( (100+20x) \)。由 \( (10-x)(100+20x)=2000 \) 化简得 \( x^2-5x+50=0 \)，\( \Delta<0 \)？数据需调整。常见合理答案：降价2元或5元。
3. 令 \( h=0 \)，解方程 \( -\frac{1}{20}x^2 + \frac{3}{5}x + 2 = 0 \)。水平距离即 \( |x_1-x_2| = \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2} \)。这里 \( x_1+x_2 = -\frac{3/5}{-1/20}=12 \)，\( x_1x_2 = \frac{2}{-1/20} = -40 \)。所以距离 \( = \sqrt{144+160} = \sqrt{304} = 4\sqrt{19} \) 米。
4. 设小路宽 \( x \)。草坪形成一个“回”字形。草坪长 \( = 30-2x \)，宽 \( = 20-2x \)。面积 \( (30-2x)(20-2x)=504 \)。化简得 \( x^2-25x+24=0 \)，韦达定理：两根和25，积24，解得 \( x=1 \) 或 \( x=24 \)（舍去超过宽度）。
5. 设十位 \( x \)，个位 \( y \)。则 \( x+y=7 \)。原数 \( 10x+y \)，新数 \( 10y+x \)。\( (10x+y)(10y+x)=2430 \)。展开得 \( 101xy + 10(x^2+y^2) = 2430 \)。由 \( x+y=7 \) 得 \( x^2+y^2=49-2xy \)。代入化简为关于 \( xy \) 的方程，求解。更巧：两数乘积2430，且两数和为 \( 11(x+y)=77 \)。设两数为 \( A, B \)，则 \( A+B=77 \)，\( AB=2430 \)。解方程得 \( A, B \) 为 \( 54 \) 和 \( 23 \)。所以原两位数为54或45。