完全平方公式(和)口诀+易错点深度解析-三项式图形化学习指南专项练习题库

💡 阿星精讲：完全平方公式(和) 原理

• 核心概念：你好呀！我是阿星。让我们把 \( (a+b)^2 \) 看成一个“三项式家族”的诞生记。它可不是简单的 \( a^2 + b^2 \) 两兄弟，而是三兄弟！很多同学会偷偷把老二 \( 2ab \) 丢掉，这可是这一章最大的坑！想象一下，\( a \) 和 \( b \) 要握手合作，它们自己要先亮亮相（平方），但更重要的，是它们互相拥抱产生的“友谊结晶”（乘积的2倍）。所以公式是：\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)。
• 计算秘籍：
  1. 识别“首” \( a \) 和“尾” \( b \)。
  2. 计算“首平方”：\( a^2 \)。
  3. 计算“尾平方”：\( b^2 \)。
  4. 计算“首尾积的二倍”：\( 2 \times a \times b \)。
  5. 按“首平方 + 积的二倍 + 尾平方”的顺序组合：\( a^2 + 2ab + b^2 \)。
• 阿星口诀：“首平方，尾平方，积的二倍坐中央。三兄弟，一个都不能少，漏掉2ab，答案准泡汤！”

📐 图形解析

为什么是三项？我们用一个大正方形的面积来理解：

大正方形边长 = \( a + b \)，所以总面积 = \( (a+b)^2 \)。

从图形上看，总面积被分成了四块：一个 \( a^2 \)（蓝色），一个 \( b^2 \)（绿色），还有两个 \( ab \)（粉色）。所以：
\( (a+b)^2 = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)。
看，“积的二倍” \( 2ab \) 就是那两个粉色长方形，它们实实在在地存在着，绝对不能忽略！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1： \( (a+b)^2 = a^2 + b^2 \) → ✅ 正解： 这是最经典的“丢项”错误！一定要记住中间还有 \( 2ab \)。好比做三明治，你不能只放两片面包（\( a^2, b^2 \)），中间的肉和菜（\( 2ab \)）才是灵魂！
• ❌ 错误2： \( (a+b)^2 = a^2 + b^2 + ab \) → ✅ 正解： 中间项是积的二倍，即 \( 2ab \)，不是 \( ab \)。“二倍”这个关键词是口诀“积的二倍放中央”的重中之重。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 计算 \( (m+5)^2 \)。
2. 计算 \( (3+2y)^2 \)。
3. 计算 \( (6a+1)^2 \)。
4. 计算 \( (0.5p+2)^2 \)。
5. 计算 \( (\frac{x}{3} + 6)^2 \)。
6. 填空：\( ( \_ + 7k)^2 = 4t^2 + \_ + 49k^2 \)
7. 填空：\( (2a + \_ )^2 = \_ + 20ab + 25b^2 \)
8. 一个正方形边长为 \( (y+1) \) cm，其面积是多少？
9. 判断：\( (a+b)^2 \) 与 \( (-a-b)^2 \) 的结果相等。（ ）
10. 先化简，再求值：\( (2x+1)^2 - (x-3)^2 \)，其中 \( x = 2 \)。

第二关：中考挑战（10道）

1. 已知 \( x + \frac{1}{x} = 3 \)，求 \( x^2 + \frac{1}{x^2} \) 的值。
2. 计算：\( 2025^2 = (2000+25)^2 = ? \)
3. 若 \( a^2 + b^2 = 10, ab = 3 \)，求 \( (a+b)^2 \) 的值。
4. 已知 \( (m-n)^2 = 8, (m+n)^2 = 2 \)，求 \( m^2 + n^2 \) 和 \( mn \) 的值。
5. 化简：\( (2a+b-c)^2 - (2a-b+c)^2 \)。
6. 证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。
7. 若 \( 9x^2 + kx + 25 \) 是一个完全平方式，求常数 \( k \) 的值。
8. 解方程：\( (x+5)^2 - (x-2)(x+3) = 43 \)。
9. 已知实数 \( x, y \) 满足 \( x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 = 0 \)，求 \( x^y \) 的值。
10. （几何综合）如图，用四个全等的长方形和一个正方形拼成一个大正方形。已知每个长方形面积为 \( 12 \)，大正方形面积为 \( 49 \)，求中间小正方形的面积。
    

第三关：生活应用（5道）

1. 装修预算：要给一个边长为 \( (a+0.5) \) 米的正方形房间铺地砖，已知地砖单价为每平方米 \( m \) 元。请用公式表示总材料费（不考虑损耗）。
2. 园艺设计：一个长方形花圃，长比宽多 \( 2d \) 米。若在花圃四周修建宽为 \( d \) 米的观赏小径，求小径的总面积。
3. 购物优惠：一种商品原价 \( p \) 元，现举行“买一送一”活动（即买两件只付一件的钱，相当于单价打五折）。若买 \( n \) 件，用完全平方公式的知识比较“按原价买 \( n \) 件后送 \( n \) 件”和“直接全部五折”哪种方案付款更多？差额是多少？
4. 物理中的运动：物体做匀加速直线运动，位移公式 \( s = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \)。若初速度 \( v_0 = a \)，加速度 \( \frac{1}{2}a = b \)，则 \( s \) 可以写成关于 \( t \) 的完全平方形式吗？如果能，请写出。
5. 数据估算：利用公式 \( 101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201 \) 的思路，快速估算 \( 10.3^2 \) 的值。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( m^2 + 10m + 25 \)
2. \( 9 + 12y + 4y^2 \)
3. \( 36a^2 + 12a + 1 \)
4. \( 0.25p^2 + 2p + 4 \)
5. \( \frac{x^2}{9} + 4x + 36 \)
6. \( 2t \)，\( 28tk \)
7. \( 5b \)，\( 4a^2 \)
8. \( (y^2 + 2y + 1) \, \text{cm}^2 \)
9. 正确，因为 \( (-a-b)^2 = [-(a+b)]^2 = (a+b)^2 \)。
10. 解：原式 = \( (4x^2+4x+1) - (x^2-6x+9) = 3x^2 + 10x - 8 \)。当 \( x=2 \) 时，原式 = \( 3\times4 + 10\times2 - 8 = 24 \)。

第二关：中考挑战

1. 解：\( (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 3^2 = 9 \)，所以 \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 7 \)。
2. \( 2000^2 + 2\times2000\times25 + 25^2 = 4,000,000 + 100,000 + 625 = 4,100,625 \)。
3. \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2+b^2) + 2ab = 10 + 2\times3 = 16 \)。
4. 解：两式相加得 \( 2(m^2+n^2)=10 \)，所以 \( m^2+n^2=5 \)。两式相减得 \( 4mn = -6 \)，所以 \( mn = -\frac{3}{2} \)。
5. 解：运用平方差公式。原式 = \( [(2a+b-c)+(2a-b+c)] \times [(2a+b-c)-(2a-b+c)] = (4a) \times (2b - 2c) = 8a(b-c) \)。
6. 证明：设两个连续奇数为 \( 2n-1, 2n+1 \)。其平方差为 \( (2n+1)^2 - (2n-1)^2 = (4n^2+4n+1) - (4n^2-4n+1) = 8n \)，是8的倍数。
7. 解：\( 9x^2 = (3x)^2, 25=5^2 \)，所以 \( k = \pm 2 \times 3x \times 5 = \pm 30 \)。
8. 解：\( x^2+10x+25 - (x^2+x-6) = 43 \)，得 \( 9x+31=43 \)，解得 \( x = \frac{4}{3} \)。
9. 解：配方得 \( (x^2+4x+4) + (y^2-6y+9) = 0 \)，即 \( (x+2)^2 + (y-3)^2 = 0 \)，所以 \( x=-2, y=3 \)。\( x^y = (-2)^3 = -8 \)。
10. 解：设长方形长为 \( a \)，宽为 \( b \)，则 \( ab=12 \)。大正方形边长为 \( a+b \)，面积为 \( (a+b)^2 = 49 \)，所以 \( a+b=7 \)。中间小正方形边长为 \( a-b \)，其面积 \( (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = 49 - 48 = 1 \)。

第三关：生活应用

1. 房间面积 = \( (a+0.5)^2 = a^2 + a + 0.25 \) 平方米。总费用 = \( m(a^2 + a + 0.25) \) 元。
2. 设宽为 \( w \) 米，则长为 \( w+2d \) 米。整个区域（含小径）长宽分别为 \( w+2d+2d = w+4d \) 和 \( (w+2d)+2d = w+4d \)，是个正方形。总面积 \( (w+4d)^2 \)，花圃面积 \( w(w+2d) \)。小径面积 = \( (w+4d)^2 - w(w+2d) = w^2+8wd+16d^2 - w^2 - 2wd = 6wd + 16d^2 \) 平方米。
3. 方案一付款：\( n \times p \) 元（买 \( n \) 送 \( n \)）。方案二付款：\( 2n \times p \times 0.5 = np \) 元。两者付款相同，差额为0。此题旨在理解 \( (n+n) \times p \times 0.5 = 2n \times 0.5p = np \)。
4. 能。\( s = a \cdot t + b \cdot t^2 \)。若令 \( a = 2\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} \)，则可以配方，但无简洁的完全平方形式。更直接地：若 \( v_0 = R, \frac{1}{2}a = S \)，则 \( s = Rt + St^2 \)，当 \( R^2 = 4S \) 时才是完全平方。本题中 \( R=a, S=b \)，需满足 \( a^2=4b \) 才能写成 \( s = (\sqrt{b}t + \frac{a}{2\sqrt{b}})^2 \) 的形式，并非总是成立。
5. \( 10.3^2 = (10 + 0.3)^2 = 100 + 2\times10\times0.3 + 0.09 = 100 + 6 + 0.09 = 106.09 \)。