三角形外心怎么求？垂直平分线交点全解析，附中考真题训练专项练习题库

💡 阿星精讲：外心 原理

• 核心概念：哈喽！我是阿星。想象一下，三角形是一个由三个家庭（顶点）组成的社区。每两个家庭之间都有一条路（边）。现在，我们需要为这个社区找到一个「圆心活动广场」，要求它到三个家庭的距离必须完全相等！怎么找？派出三位最公平的「裁判」——垂直平分线！每条路的垂直平分线，都代表着到这条路两端点距离相等的所有点的集合。当三位裁判（三角形三边的垂直平分线）聚在一起开会时，它们唯一的共识点，就是那个到三个顶点距离都相等的完美地点——外心！所以，外心就是三角形三边垂直平分线的唯一交点，也是其外接圆的圆心。
• 计算秘籍：要找到这个“广场”的坐标，我们可以请任意两位“裁判”来协商。
  1. 设三角形顶点坐标为 \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \)。
  2. 任选两边，如 \( AB \) 和 \( BC \)，求出它们的中点坐标：\( M_{AB}(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) \), \( M_{BC}(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}) \)。
  3. 求出 \( AB \) 边的垂直平分线方程：斜率 \( k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)，则垂直平分线斜率 \( k_{\perp AB} = -\frac{1}{k_{AB}} \)（当 \( AB \) 不水平不垂直时）。利用点斜式 \( y - y_{M_{AB}} = k_{\perp AB}(x - x_{M_{AB}}) \) 得到方程①。
  4. 同理求出 \( BC \) 边的垂直平分线方程②。
  5. 联立方程①和②，解方程组，得到的解 \( (x_O, y_O) \) 即为外心坐标。
• 阿星口诀：三边中点作垂线，交点即是外心现。顶点距离皆相等，外接圆心它来定。

📐 图形解析

下面这个图展示了“三位裁判”（垂直平分线）如何找到共识点（外心 \( O \)）。可以看到，\( OA = OB = OC \)，这个距离就是外接圆的半径 \( R \)。

图中，三条虚线是三位“裁判”（垂直平分线），它们的交点是外心 \( O \)。三条点划线 \( OA, OB, OC \) 是相等的半径 \( R \)。外心 \( O \) 到三个顶点 \( A, B, C \) 的距离满足：\( OA = OB = OC = R \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：把角平分线的交点（内心）当成了外心。 → ✅ 正解：内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等；外心是三条边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。关键看“平分”的是什么（角还是边），“垂直”是谁的属性。
• ❌ 错误2：在坐标系中求垂直平分线方程时，直接使用原边的斜率。 → ✅ 正解：垂直平分线的斜率与原边斜率互为负倒数（即 \( k_{\perp} = -\frac{1}{k} \)），并且垂直平分线一定经过该边的中点。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断题：任意三角形都有且只有一个外心。 ( )
2. 判断题：钝角三角形的外心在三角形外部。 ( )
3. 填空题：直角三角形的外心在______上。
4. 填空题：等边三角形的外心、内心、重心、垂心是______点。
5. 已知 \( \triangle ABC \) 中，\( AB = AC = 10 \)，\( BC = 12 \)，则外心到顶点 \( A \) 的距离是______。
6. 已知 \( \triangle ABC \) 的外心为 \( O \)，若 \( \angle A = 50^\circ \)，则 \( \angle BOC = \) ______。
7. 在坐标平面内，点 \( O \) 是 \( \triangle ABC \) 的外心，\( A(1, 2) \)，\( B(3, 0) \)，\( C(5, 4) \)，则 \( OA \) 的长度等于 \( OB \) 的长度吗？为什么？
8. 画一个锐角三角形，用尺规作出它的外心（保留作图痕迹）。
9. 画一个钝角三角形，指出其外心的大概位置（在三角形内、上还是外？）。
10. 已知 \( \triangle ABC \) 外接圆半径为5，\( BC = 6 \)，求 \( \sin \angle A \) 的值。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle ACB = 90^\circ \)，\( \angle A = 30^\circ \)，\( BC = 2 \)。以点 \( B \) 为圆心，\( BC \) 长为半径画弧，交 \( AB \) 于点 \( D \)，交 \( AB \) 的延长线于点 \( E \)。则图中阴影部分的面积是______。
   
2. 已知 \( \triangle ABC \) 的外接圆半径为 \( \sqrt{3} \)，且 \( \frac{a}{\sin A} = 2\sqrt{3} \) (\( a \) 是 \( BC \) 边)，求 \( \angle A \)。
3. 在平面直角坐标系中，\( \triangle ABC \) 的顶点坐标分别为 \( A(0,0) \), \( B(6,0) \), \( C(3, 3\sqrt{3}) \)。求其外心的坐标。
4. 已知 \( \triangle ABC \) 中，\( O \) 是外心，\( \angle B = 70^\circ \)，\( \angle C = 30^\circ \)，求 \( \angle OAC \) 的度数。
5. \( \triangle ABC \) 中，\( AB = 5 \), \( AC = 6 \), \( BC = 7 \)。求其外接圆的半径 \( R \)。
6. 证明：锐角三角形的外心在三角形内部。
7. 设 \( I, O \) 分别是 \( \triangle ABC \) 的内心和外心，且 \( \angle BAC = 60^\circ \)。求证：\( \angle BIC = \angle BOC \)。
8. （动点问题）在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=4 \), \( AC=3 \), \( BC=5 \)。点 \( P \) 是外接圆上的动点，求 \( PA^2+PB^2+PC^2 \) 的取值范围。
9. 已知圆 \( O \) 是 \( \triangle ABC \) 的外接圆，\( AD \) 是 \( BC \) 边上的高，且 \( AD \) 的延长线交圆 \( O \) 于点 \( E \)。求证：\( OD = DE \)。（提示：\( O \) 是外心）
10. 综合题：在 \( \triangle ABC \) 中，外心 \( O \) 到边 \( BC \) 的距离为3，且 \( BC=8 \)。求外接圆半径 \( R \) 的最小可能值，并说明此时三角形的形状。

第三关：生活应用（5道）

1. （测量定位）考古队发现一个古代祭坛的遗址，呈三角形布局，三个石柱 \( A, B, C \) 的位置已测出。为了复原祭坛中心可能的神像位置，他们需要找到一个到三个石柱距离相等的点。请问他们应该用什么数学方法来确定这个点？
2. （工程选址）三个村庄 \( A, B, C \) 计划合建一个共用的自来水厂 \( P \)，要求 \( P \) 到三个村庄的输水管道总长度最短。如果 \( \triangle ABC \) 是一个锐角三角形，请问 \( P \) 应该选在何处？（提示：想想费马点，与外心有关吗？）
3. （建筑设计）一个圆形音乐广场需要被建造，广场边缘上要预留三个等距的入口（\( A, B, C \) 点），用于连接三条主路。施工队只知道三条主路的路线方程，如何确定这个圆形广场的圆心和半径？
4. （体育竞技）在铁人三项比赛中，游泳、自行车、长跑三个项目的转换区（ transition area ）位置构成一个三角形。组委会想在转换区内设置一个广播中心，希望它到三个转换点的距离相等以便于均衡覆盖。请描述确定广播中心位置的方法。
5. （计算机图形）在游戏地图中，有三个重要的资源点 \( A, B, C \)。程序员想生成一个“安全区”圆形光环，使得三个资源点刚好都在这个光环的边缘上。请写出计算这个光环圆心坐标和半径的算法步骤（用伪代码或数学步骤描述）。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. ✅ 对。
2. ✅ 对。
3. 斜边中点。
4. 同一个点（或重合）。
5. \( \frac{25}{8} \) 或 3.125。（解析同例题2）
6. \( 100^\circ \)。（圆心角定理）
7. 相等。因为外心 \( O \) 到三个顶点 \( A, B, C \) 的距离相等，即 \( OA=OB=OC \)。
8. （略，作图题）分别作任意两边的垂直平分线，交点即为外心。
9. 在三角形外部。
10. \( \frac{3}{5} \)。由正弦定理，\( 2R = \frac{a}{\sin A} \)，所以 \( \sin A = \frac{a}{2R} = \frac{6}{2 \times 5} = \frac{3}{5} \)。

第二关：中考挑战（提供关键思路与答案）

1. \( 2\pi - 2\sqrt{3} \)。解析：\( BC=2, \angle A=30^\circ, \angle ABC=60^\circ \)。扇形 \( BDE \) 圆心角为 \( 120^\circ \)，面积为 \( \frac{1}{3}\pi \times 2^2 = \frac{4}{3}\pi \)。\( \triangle ABC \) 面积为 \( \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)。阴影为扇形减三角形面积。
2. \( \angle A = 60^\circ \)。解析：由正弦定理 \( \frac{a}{\sin A} = 2R \)，已知 \( 2R = 2\sqrt{3} \)，故 \( R=\sqrt{3} \)，与已知一致。代入公式 \( \frac{a}{\sin A} = 2\sqrt{3} \) 本身不直接求角，但结合 \( R=\sqrt{3} \) 和已知条件，通常意味着三角形是等边或含 \( 60^\circ \) 的特殊三角形。若取 \( a=3 \)，则 \( \sin A = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)，故 \( \angle A = 60^\circ \) 或 \( 120^\circ \)。但一般默认锐角，答案为 \( 60^\circ \)。
3. \( (3, \sqrt{3}) \)。解析：\( \triangle ABC \) 是等边三角形，外心与重心、垂心重合。重心坐标为 \( (\frac{0+6+3}{3}, \frac{0+0+3\sqrt{3}}{3}) = (3, \sqrt{3}) \)。
4. \( 10^\circ \)。解析：\( \angle A = 180^\circ - 70^\circ - 30^\circ = 80^\circ \)。\( \angle BOC = 2\angle A = 160^\circ \)。在等腰 \( \triangle OBC \) 中，\( \angle OBC = \angle OCB = (180^\circ-160^\circ)/2 = 10^\circ \)。因为 \( OA=OC \)，所以 \( \angle OAC = \angle OCA \)。又 \( \angle ACB = 30^\circ \)，所以 \( \angle OCA = \angle ACB - \angle OCB = 30^\circ - 10^\circ = 20^\circ \)。因此 \( \angle OAC = 20^\circ \)。（注意：也可先求 \( \angle OAB \) 再得 \( \angle OAC \)）
5. \( R = \frac{35\sqrt{6}}{24} \)。解析：用海伦公式求面积 \( S = \sqrt{9\times4\times3\times2} = 6\sqrt{6} \)。再用 \( R = \frac{abc}{4S} = \frac{5\times6\times7}{4\times 6\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24} \)。
6. 证明概要：锐角三角形每个角的度数都小于 \( 90^\circ \)。外心是垂直平分线交点。对于锐角三角形，每条边的垂直平分线都会与对边相交，且交点在对边线段内部（可通过角度证明），因此三条垂直平分线的交点必然在三角形内部。
7. 证明概要：\( \angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A = 120^\circ \)。\( \angle BOC = 2\angle A = 120^\circ \)。所以相等。
8. \( [34, 50] \)。解析：以 \( O \) 为原点建系（或利用坐标法），设 \( P(\cos\theta, \sin\theta) \)，\( A, B, C \) 坐标可确定。计算 \( PA^2+PB^2+PC^2 \) 为常数 \( 3R^2 + OA^2+OB^2+OC^2 \) 减去一个与 \( OP \) 有关的项。对于直角三角形，外心在斜边中点，\( R=2.5 \)。最终可化得表达式，求最值。
9. 证明概要：连接 \( OB, OC \)。因为 \( O \) 是外心，所以 \( OB=OC \)。又因为 \( AD \perp BC \)，根据垂径定理， \( OD \perp BC \) 且 \( D \) 为 \( BC \) 中点。因此 \( OD \) 是 \( \triangle OBC \) 中 \( BC \) 边上的中线和高，故 \( \triangle OBC \) 是等腰三角形，\( OD \) 也是 \( \angle BOC \) 的平分线。可通过证明 \( \triangle OBD \cong \triangle EBD \) 或利用圆周角、圆心角关系证明 \( OD=DE \)。
10. 最小值 \( R=5 \)，此时 \( \triangle ABC \) 为等腰三角形（\( AB=AC \)）。解析：设外心 \( O \) 到 \( BC \) 的距离为 \( d=3 \)。在 \( \triangle OBD \) 中（\( D \) 为 \( BC \) 中点，\( BD=4 \)），有 \( R^2 = d^2 + BD^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \)，所以 \( R \ge 5 \)（因为 \( d \) 可能大于3，但题给距离为3，固定）。当 \( d=3 \) 时，\( R=5 \) 为确定值。为使 \( d=3 \)，\( O \) 在 \( BC \) 中垂线上且距 \( BC \) 为3。此时 \( R \) 固定为5，无最小值说法。若理解为“在 \( d \ge 3 \) 的条件下”，则 \( R_{min}=5 \)，当 \( d=3 \) 时取得。此时 \( OA=OB=OC=5 \)，且 \( OD=3 \)，由勾股定理，\( AD \) 最大，三角形可能是等腰或不等腰，但通常最值在对称时取得，故为等腰三角形。

第三关：生活应用（思路提示）

1. 方法：利用“外心”的定义。测量并在地面上标出三个石柱 \( A, B, C \) 的位置，构成三角形。分别作线段 \( AB \) 和 \( BC \) 的垂直平分线，两条线的交点即为所求的中心点。可用拉线法或全站仪等工具实现。
2. 提示：这与外心不同。到三点距离之和最短的点是“费马点”。当三角形最大内角小于 \( 120^\circ \) 时，费马点 \( P \) 满足 \( \angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 120^\circ \)，通常不在外心。外心是到三点距离相等的点，但不是距离和最短的点。
3. 方法：三条主路可以抽象为三条直线。三个入口是这三条直线与圆的交点。由于三个入口等分圆周，所以圆心 \( O \) 是 \( \triangle ABC \) 的外心，同时也是三条主路所构成三角形的内切圆圆心（如果三条路两两相交）？这里需明确：已知的是三个点 \( A, B, C \) 在圆上且等距，所以圆心是等边三角形的外心。但已知是三条路线，应取两两路线的交点得到 \( A, B, C \)，再求 \( \triangle ABC \) 的外心即可。
4. 方法：将三个转换区位置设为点 \( A, B, C \)。广播中心应位于 \( \triangle ABC \) 的外心。确定方法：在现场地图上画出三角形，用测量工具找出任意两边的垂直平分线，其交点即为广播中心位置。
5. 算法步骤：
   1. 输入三个资源点的坐标：\( A(x_A, y_A) \), \( B(x_B, y_B) \), \( C(x_C, y_C) \)。
   2. 计算边 \( AB \) 的中点 \( M_{AB} \) 和法向量（或垂直方向）。
   3. 计算边 \( AB \) 的垂直平分线方程 \( L1 \)。
   4. 同理计算边 \( AC \) （或 \( BC \)）的垂直平分线方程 \( L2 \)。
   5. 联立求解 \( L1 \) 和 \( L2 \) 的交点，得到圆心坐标 \( O(x_O, y_O) \)。
   6. 计算半径 \( R = \sqrt{(x_O - x_A)^2 + (y_O - y_A)^2} \)。
   7. 输出圆心坐标 \( (x_O, y_O) \) 和半径 \( R \)。