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三角形外角定义是什么？补角兄弟怎么理解？附例题深度解析专项练习题库

适用年级

初二

难度等级

⭐⭐⭐

资料格式

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最近更新

2025-12-21

💡 阿星精讲：外角定义 原理

  • 核心概念：嗨！我是阿星。想象一下，三角形的每个内角都有一个形影不离的“补角兄弟”，这个兄弟就住在三角形外头，所以我们叫它“外角”。怎么找到它呢？很简单，我们选择三角形的一条边，把它向端点外延长，这条新延长线和它邻居（另一条边）所夹的那个角，就是外角啦！这对“兄弟”有个超级棒的特点：它们永远互补，也就是说，外角 + 它相邻的内角 = \(180^\circ\)。记住，外角是和它“相邻内角”配对出现的哦！
  • 计算秘籍：
    1. 定位“兄弟”：在三角形中，先确定你要看的是哪个顶点（比如顶点 \(A\)）的外角。
    2. 延长找兄：延长这个顶点的一条边（比如延长边 \(AB\) 到点 \(D\)）。
    3. 形成外角：新形成的角 \(\angle DAC\) 就是 \(\angle A\) 的一个外角。
    4. 关系式：根据“补角兄弟”定义，立即可得：\(\angle A + \angle DAC = 180^\circ\)。
    5. 关键推论：这个外角 \(\angle DAC\) 还等于不相邻的两个内角（\(\angle B\) 和 \(\angle C\)）之和，即 \(\angle DAC = \angle B + \angle C\)。这是外角定理，超级有用！
  • 阿星口诀：一边延长找外角，内角旁边来补好。不相邻的两内角，相加等于它大小。

📐 图形解析

下面这个图清晰地展示了“补角兄弟”是如何诞生的。我们将 \(\triangle ABC\) 的边 \(AB\) 延长至点 \(D\)，于是就找到了 \(\angle A\) 的一个外角兄弟 \(\angle DAC\)。你看，它们共用一条边 \(AC\)，另一边（\(AD\) 与 \(AB\)）在同一条直线上。

关系式：\( \angle CAB + \angle DAC = 180^\circ \)（互补兄弟），且 \( \angle DAC = \angle ABC + \angle ACB \)（外角定理）。

A B C D 外角 ∠A 相邻内角

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：认为顶点处朝任意方向出去的角都是外角。
    ✅ 正解：外角必须是由“一边的延长线”与“另一边”所构成。必须有一条边是原三角形的边，另一条是这条边的反向延长线。
  • ❌ 错误2：混淆“相邻内角”和“对顶角”。在延长边时，误把对顶角当成外角的“补角兄弟”。
    ✅ 正解：“补角兄弟”特指外角和它相邻的内角（共享一条边）。对顶角是位于延长线另一侧、完全不同的角。

🔥 三例题精讲

例题1：基础识别 如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A = 60^\circ\)，\(\angle B = 70^\circ\)。延长 \(BC\) 至点 \(D\)，请问 \(\angle ACD\) 是多少度？

A B C D 60° 70° ?

📌 解析：

  1. 识别目标：\(\angle ACD\) 是 \(\angle C\) 的外角吗？不是。它是边 \(AC\) 和延长线 \(CD\) 组成的角，所以它是 \(\angle ACB\) 的外角。
  2. 应用外角定理：一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。对于 \(\angle ACD\)，它的两个不相邻内角是 \(\angle A\) 和 \(\angle B\)。
  3. 计算：\( \angle ACD = \angle A + \angle B = 60^\circ + 70^\circ = 130^\circ \)。

✅ 总结：找准外角对应的两个不相邻内角，直接相加即可。

例题2：利用“补角兄弟”性质 如图，已知直线 \(l_1 \parallel l_2\)，\(\angle 1 = 110^\circ\)，\(\angle 2 = 45^\circ\)。求 \(\angle 3\) 的度数。

∠1=110° ∠2=45° ∠3=？ l₁ l₂

📌 解析：

  1. 观察图形，\(\angle 3\) 是哪个三角形的外角？我们可以把它看作是下方小三角形的外角。
  2. 利用平行线性质：因为 \(l_1 \parallel l_2\)，所以 \(\angle 1\) 的同位角等于 \(\angle 1\)，即 \(110^\circ\)。这个 \(110^\circ\) 的角是上方三角形的内角，同时也是 \(\angle 2\) 所在三角形的外角（对顶角关系）。
  3. 更直接的方法：看 \(\angle 3\) 本身。\(\angle 3\) 的“补角兄弟”（相邻内角）是 \(\angle 4\)（如图示）。根据平行，\(\angle 1 + \angle 4 = 180^\circ\)（同旁内角互补）。
  4. 计算：\(\angle 4 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\)。那么 \(\angle 3 = 180^\circ - \angle 4 - \angle 2 = 180^\circ - 70^\circ - 45^\circ = 65^\circ\)。或者直接用外角定理：\(\angle 3 + \angle 2 = \angle 1\) 的同位角，所以 \(\angle 3 = 110^\circ - 45^\circ = 65^\circ\)。

✅ 总结：在复杂图形中，巧妙识别外角，并和平行线性质结合，能快速找到角的关系。

例题3：综合应用 如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle ABC\) 和 \(\angle ACB\) 的平分线相交于点 \(O\)，延长 \(BO\) 交 \(AC\) 于点 \(D\)。已知 \(\angle A = 50^\circ\)，求 \(\angle BDC\) 的度数。

A B C D O 50° ∠1 ∠2 ∠3 ∠4

📌 解析：

  1. 设 \(\angle ABD = \angle DBC = \angle 1\)，\(\angle ACO = \angle OCB = \angle 2\)。
  2. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A + 2\angle 1 + 2\angle 2 = 180^\circ\)。代入 \(\angle A = 50^\circ\)，得 \(2(\angle 1 + \angle 2) = 130^\circ\)，所以 \(\angle 1 + \angle 2 = 65^\circ\)。
  3. 目标角 \(\angle BDC\) 是 \(\triangle ABD\) 的外角吗？观察发现，\(\angle BDC\) 是 \(\triangle ABD\) 中 \(\angle ADB\) 的补角兄弟的邻补角？这样想复杂了。更好的视角：\(\angle BDC\) 是 \(\triangle BOC\) 的外角！
  4. 在 \(\triangle BOC\) 中，\(\angle BDC\) 是 \(\angle BOC\) 的外角。根据外角定理：\(\angle BDC = \angle 1 + \angle 2\)。
  5. 计算：\(\angle BDC = \angle 1 + \angle 2 = 65^\circ\)。

✅ 总结：在涉及角平分线的问题中，将外角定理应用于由角平分线产生的小三角形，往往是解题的捷径。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 三角形的一个内角是 \(40^\circ\)，它的一个外角是 \(150^\circ\)，求与这个外角不相邻的另一个内角度数。
  2. 如图，直接写出 \(\angle ACD\) 与 \(\angle A\)、\(\angle B\) 的关系式。
  3. 已知三角形两个内角分别为 \(30^\circ\) 和 \(80^\circ\)，求这两个角各自的外角之和。
  4. 判断：三角形的一个外角一定大于与它不相邻的任何一个内角。（对/错）
  5. 若三角形的一个外角等于它相邻内角的 \(2\) 倍，求这个内角的度数。
  6. 三角形的一个外角为 \(100^\circ\)，则与它相邻的内角的补角是 ______ 度。
  7. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle B=60^\circ\)，\(\angle C=40^\circ\)，则 \(\angle A\) 的外角等于 ______ 度。
  8. 一个三角形的三个外角之比为 \(2:3:4\)，则这个三角形最大的内角是多少度？
  9. 如图，\(\angle 1\)、\(\angle 2\)、\(\angle 3\) 中是 \(\triangle ABC\) 外角的有 ______ 个。
    ∠1 ∠2 ∠3
  10. 等腰三角形的一个底角的外角为 \(110^\circ\)，则它的顶角是 ______ 度。

第二关：中考挑战（10道）

  1. (中考真题改编) 如图，\(AB \parallel CD\)，\(E\) 为 \(AB\)、\(CD\) 之间一点，连接 \(BE\)、\(DE\)。若 \(\angle B=25^\circ\)，\(\angle D=40^\circ\)，求 \(\angle BED\) 的度数。
  2. 已知 \(BD\) 是 \(\triangle ABC\) 的角平分线，\(\angle A=80^\circ\)，\(\angle C=30^\circ\)，求 \(\angle ADB\) 的度数。
  3. 如图，五角星的五个顶点构成五边形，求 \(\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E\) 的度数。（提示：多次利用外角定理）
  4. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle BAC=90^\circ\)，\(AD \perp BC\) 于点 \(D\)，\(\angle B\) 的平分线交 \(AD\) 于点 \(F\)，交 \(AC\) 于点 \(E\)。求证：\(\angle AEF = \angle AFE\)。
  5. \(\triangle ABC\) 中，\(\angle B > \angle C\)，\(AD\) 平分 \(\angle BAC\)，\(P\) 为 \(AD\) 上任意一点。求证：\(\angle ABP - \angle C > \angle PBD - \angle PCD\)。
  6. 如图，求 \(\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F\) 的度数。
    A B C D E F
  7. 若三角形最大内角是最小内角的 \(3\) 倍，且最小内角的外角为 \(100^\circ\)，求这个三角形三个内角的度数。
  8. 如图，\(\triangle ABC\) 纸片沿 \(DE\) 折叠，使点 \(A\) 落在四边形 \(BCDE\) 内部点 \(A‘\) 处。探索 \(\angle 1\)、\(\angle 2\) 与 \(\angle A\) 的数量关系。
  9. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A=70^\circ\)，若 \(\angle B\) 和 \(\angle C\) 的平分线交于点 \(I\)，求 \(\angle BIC\) 的度数。
  10. 求证：三角形两个外角平分线的夹角等于 \(90^\circ\) 减去第三个内角的一半。

第三关：生活应用（5道）

  1. （测量） 为了测量一池塘两岸相对两点 \(A\)、\(B\) 的距离，小明在池塘外选取一点 \(C\)，测得 \(\angle ACB = 45^\circ\)，并延长 \(AC\) 至 \(D\)，使 \(CD = AC\)，延长 \(BC\) 至 \(E\)，使 \(CE = BC\)。连接 \(DE\)，测得 \(DE = 50\) 米。你能用外角或全等三角形的知识求出 \(AB\) 的距离吗？
  2. （工程） 如图，一个“人”字形屋顶的夹角 \(\angle A\) 为 \(120^\circ\)。为了使结构更稳固，需要在内部加一根横梁 \(BC\)。若希望横梁 \(BC\) 与两侧屋顶的夹角相等（即 \(\angle ABC = \angle ACB\)），那么这两个角应该是多少度？
  3. （导航） 一艘船从港口 \(O\) 出发，先向北偏东 \(30^\circ\) 方向航行 \(20\) 海里到达 \(A\) 点，再改变航向，向东偏南某个角度航行 \(30\) 海里到达 \(B\) 点。若港口观测员测得最终船在港口的北偏东 \(10^\circ\) 方向，求船在 \(A\) 点改变航向时的转角（即 \(\angle OAB\) 的外角）是多少度？
  4. （机械） 如图，一个机械连杆机构中，\(OA\) 绕点 \(O\) 旋转，通过连杆 \(AB\) 带动 \(BC\) 绕点 \(C\) 摆动。已知 \(\angle O = 40^\circ\) 固定，\(\angle C = 70^\circ\) 固定。当机构运动到如图所示位置（\(O, A, B, C\) 四点不共线）时，求连杆 \(AB\) 与水平线（\(OC\) 的延长线）的夹角 \(\theta\)（即 \(\angle ABD\)）。（提示：构造三角形，利用外角）
  5. （建筑） 小明想给家里的三角形阁楼窗户做装饰框。窗户的三个内角分别是 \(50^\circ\)、\(60^\circ\)、\(70^\circ\)。装饰框紧贴窗户外部，形成一个更大的三角形。请问这个装饰框在窗户三个顶点处形成的三个外角分别是多少度？装饰框三角形的内角和是多少？这说明了什么几何原理？

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：外角定义 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：难点通常不在于概念本身，而在于其“双重身份”的灵活运用。学生容易记住“外角等于不相邻两内角和”这个结论（\( \angle_{外} = \angle_1 + \angle_2 \)），但在复杂图形中，难以准确识别哪个角是哪个三角形的外角。此外，外角与“补角”、“对顶角”、“平行线中的角”等知识常常交织在一起，需要综合辨认。关键在于培养图形分解能力，即把复杂图形拆解成若干个基本三角形，再逐一应用外角定理或补角关系。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：外角是平面几何中一个基础而强大的工具。其重要性体现在：1. 简化计算：将两个角的求和问题转化为一个角（外角）的度量问题。2. 证明基石：是证明三角形内角和为 \(180^\circ\) 的经典方法之一（延长一边，利用平角和外角定义）。3. 进阶基础：在后续学习多边形内角和公式（\( (n-2) \times 180^\circ \)）时，外角和定理（恒为 \(360^\circ\)）提供了另一种更简洁的推导思路。4. 思维训练：它培养了“由内转外”的转化思想，这在解决几何不等式、最值问题中常有奇效。

问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？

答：可以总结为一个核心的“三步观察法”：

  1. 找目标角：明确题目要求哪个角。
  2. 定归属三角形：观察这个角是哪个三角形的内角或外角。如果它是某个三角形的外角，立即跳到步骤3；如果不是，尝试通过作辅助线或寻找等量关系，让它成为某个三角形的外角。
  3. 套用关系：如果它是外角，立刻写下两个关系式：① \( \angle_{外} + \angle_{邻内} = 180^\circ \)；② \( \angle_{外} = \angle_{不相邻1} + \angle_{不相邻2} \)。通常使用关系②直接求解。

记住这个模型：当图形中出现“飞镖型”、“角平分线交汇”或“折线求角”时，优先考虑外角定理。

答案与解析

第一关：基础热身

  1. \(110^\circ\)。解析：外角不相邻的另一内角 = 外角 - 已知内角 = \(150^\circ - 40^\circ = 110^\circ\)。
  2. \(\angle ACD = \angle A + \angle B\)。
  3. \(220^\circ\)。解析：两外角之和 = \((180^\circ-30^\circ) + (180^\circ-80^\circ) = 250^\circ\)？等等，仔细看题：“两个角各自的外角之和”，即分别求它们的外角再相加。正确计算：\(\angle_1 外 = 150^\circ\)，\(\angle_2 外 = 100^\circ\)，和为 \(250^\circ\)。若理解为“与这两个角都不相邻的外角”则不同。按前者，答案是 \(250^\circ\)。我最初计算有误。
  4. 错。锐角三角形的外角是钝角，确实大于任何内角。但直角三角形和钝角三角形中，钝角的外角是锐角，可能小于另一个锐角内角。
  5. \(60^\circ\)。解析：设内角为 \(x\)，则外角为 \(2x\)，有 \(x + 2x = 180^\circ\)，解得 \(x=60^\circ\)。
  6. \(100^\circ\)。解析：相邻内角的补角就是外角本身。
  7. \(100^\circ\)。解析：\(\angle A 外角 = \angle B + \angle C = 60^\circ+40^\circ=100^\circ\)。
  8. \(100^\circ\)。解析：设三个外角为 \(2k, 3k, 4k\)，则 \(2k+3k+4k=360^\circ\)，得 \(k=40^\circ\)。最大外角为 \(4k=160^\circ\)，其相邻内角（即最小内角）为 \(20^\circ\)。不对，要求最大内角。最大外角最小，其相邻内角最大。最小外角为 \(2k=80^\circ\)，其相邻内角最大，为 \(180^\circ-80^\circ=100^\circ\)。
  9. \(2\) 个（\(\angle 1\) 和 \(\angle 2\)）。
  10. \(40^\circ\)。解析：底角为 \(180^\circ-110^\circ=70^\circ\)，顶角为 \(180^\circ-70^\circ\times2=40^\circ\)。

（第二关、第三关答案及详细解析因篇幅所限，将在后续资料中提供。）

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