三角形外角定义全解析：从补角兄弟到中考应用，一文学透专项练习题库

💡 阿星精讲：外角定义 原理

• 核心概念：阿星来啦！想象一下，三角形里的每个内角都有一个形影不离的“补角兄弟”。这个兄弟住在外面，它是由三角形一边的延长线和另一条邻边所组成的角，就叫做外角。这对兄弟的关系铁得很——它们的度数加起来永远是 \(180^\circ\)，也就是我们说的互补。所以，你找到了内角，它的“补角兄弟”（外角）就一定在旁边，反过来也一样。
• 计算秘籍：
  1. 定位兄弟：先确定你要找哪个内角的“补角兄弟”（外角）。
  2. 延长边：延长这个内角的一条边（注意，不是两条！）。
  3. 找到兄弟：看这条延长线与该内角另一条邻边所夹的角，就是它的外角。
  4. 关系确认：它们的关系是：\(内角 + 外角 = 180^\circ\)。
• 阿星口诀：一边延长找邻边，组成外角在外面。内角外角是兄弟，相加一百八十度。

📐 图形解析

让我们通过图形，亲眼见证这对“补角兄弟”吧！在下图中，我们关注 \(\angle 1\)（内角）和它的“补角兄弟” \(\angle 2\)（外角）。

关系：\( \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为一个内角有两个外角（把两条边都延长，得到两个对顶角）。
  ✅ 正解：对于一个内角，每次只延长一条边，会得到一个唯一的外角。延长不同的边，得到的是这个内角不同的外角，它们是相等的（对顶角关系）。
• ❌ 错误2：直接认为外角等于与它不相邻的两个内角之和。
  ✅ 正解：这是外角定理，是外角的一个性质，不是定义。定义永远是“一边延长线与另一边组成的角”。要先从定义出发，再推导出性质 \(外角 = 不相邻内角1 + 不相邻内角2\)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 已知三角形一个内角为 \(85^\circ\)，则它的一个外角是______度。
2. 三角形的一个外角等于 \(110^\circ\)，则与它相邻的内角是______度。
3. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A=40^\circ\)，延长 \(BA\) 至 \(D\)，则 \(\angle CAD\) 的外角是内角______的外角。
4. 一个三角形的三个外角中，最多有______个锐角。
5. 看图填空：\(\angle 1\) 是 \(\triangle ______\) 中内角______的外角。
   
6. 三角形的两个内角分别是 \(60^\circ\) 和 \(70^\circ\)，则它们不相邻的一个外角是______度。
7. 若三角形一个外角等于与它相邻内角的2倍，则这个内角是______度。
8. 判断：三角形的一个外角一定大于与它不相邻的任意一个内角。（ ）
9. 判断：三角形的外角和等于 \(360^\circ\)。（ ）
10. \(\triangle ABC\) 中，\(\angle B\) 和 \(\angle C\) 的外角平分线相交于点 \(O\)，若 \(\angle A=80^\circ\)，则 \(\angle BOC=\) ______度。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题改编) 如图， \(l_1 \parallel l_2\)，\(\angle 1=35^\circ\)，\(\angle 2=50^\circ\)，则 \(\angle 3\) 的度数为______。
   
2. 在 \(\triangle ABC\) 中， \(\angle A = 60^\circ\)， \(\angle B\) 和 \(\angle C\) 的平分线交于点 \(I\)，则 \(\angle BIC =\) ______度。
3. 如图，五角星的五个顶点构成 \(\triangle ACD\) 和 \(\triangle ABE\) 等。若 \(\angle A=38^\circ\)，求 \(\angle B+\angle C+\angle D+\angle E\) 的度数。（提示：找外角）
4. 已知 \(\triangle ABC\)，点 \(D\) 在 \(BC\) 延长线上， \(\angle ACD\) 的平分线与 \(\angle ABC\) 的平分线交于点 \(P\)。若 \(\angle A=70^\circ\)，则 \(\angle P=\) ______度。
5. 探究：三角形两个内角的角平分线的夹角（锐角）与第三个角的关系，并证明。

第三关：生活应用（5道）

1. （测量） 为了测量河对岸电视塔 \(AB\) 的高度，小明在河这边选定一点 \(C\)，测得 \(\angle ACB=45^\circ\)。然后沿 \(BC\) 方向后退20米到点 \(D\)，测得 \(\angle ADB=30^\circ\)。已知 \(B, C, D\) 在一条直线上，求电视塔高度。（提示：\(\angle ADB\) 是哪个三角形的外角？）
2. （工程） 一块三角形的钢板，其中一个角是 \(100^\circ\)。工人师傅需要切割掉这个角，使剩下的部分变成一个四边形。请问切割后，在这个顶点处，新四边形的内角是多少度？（提示：切割掉的角变成了什么角？）
3. （导航） 一艘船从A港出发，沿北偏东 \(60^\circ\) 方向航行至B港，再从B港沿北偏西 \(30^\circ\) 方向航行至C港。画出示意图，求从C港看，A港在什么方向？（即求 \(\angle CAB\) 的补角）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \(95\)。解析：\(180^\circ - 85^\circ = 95^\circ\)。
2. \(70\)。解析：\(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\)。
3. \(\angle BAC\)。解析：延长 \(BA\) 至 \(D\)，则 \(\angle CAD\) 与 \(\angle BAC\) 相邻且互补，所以 \(\angle CAD\) 是 \(\angle BAC\) 的外角。
4. \(1\)。解析：三角形的一个内角最多有一个钝角，其外角才是锐角。
5. \(ABC\)，\(\angle B\)。解析：\(\angle 1\) 是边 \(AB\) 的延长线和边 \(BC\) 组成的角，所以是 \(\triangle ABC\) 中内角 \(\angle B\) 的外角。
6. \(130\)。解析：外角 = \(60^\circ + 70^\circ = 130^\circ\)（外角定理）。
7. \(60\)。解析：设内角为 \(x\)，则外角为 \(2x\)，有 \(x + 2x = 180^\circ\)，解得 \(x=60^\circ\)。
8. ✅ 正确。这是外角定理的推论。
9. ✅ 正确。多边形外角和定理的特例。
10. \(50\)。解析：设 \(\angle B\) 的外角为 \(\angle 1\)，\(\angle C\) 的外角为 \(\angle 2\)。点 \(O\) 在 \(\triangle BOC\) 中，\(\angle BOC = 180^\circ - \frac{1}{2}\angle 1 - \frac{1}{2}\angle 2\)。而 \(\angle 1 = 180^\circ - \angle B\)，\(\angle 2 = 180^\circ - \angle C\)。代入并利用 \(\angle A=80^\circ\)，最终得 \(\angle BOC = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle A = 50^\circ\)。

第二关：中考挑战

1. \(85^\circ\)。解析：\(\angle 3\) 是右上方小三角形的外角，它的不相邻内角等于 \(\angle 1\) 和 \(\angle 2\) 的对顶角，所以 \(\angle 3 = \angle 1 + \angle 2 = 35^\circ + 50^\circ = 85^\circ\)。
2. \(120^\circ\)。解析：\(\angle BIC = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle A) = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A = 120^\circ\)。
3. \(218^\circ\)。解析：在 \(\triangle ACF\) 中（设 \(BE\) 与 \(CD\) 交点为 \(F\)），\(\angle AFC\) 是外角，有 \(\angle AFC = \angle C + \angle A\)。在 \(\triangle BDF\) 中，\(\angle BFD\)（等于 \(\angle AFC\)）也是外角，有 \(\angle AFC = \angle B + \angle D\)。所以 \(\angle C + \angle A = \angle B + \angle D\)。又 \(\angle A=38^\circ\)，所以 \(\angle B+\angle C+\angle D+\angle E = (\angle B+\angle D) + (\angle C+\angle E)\)，通过不断找外角，可最终求得和为 \(2\angle A + 2\angle A + \angle A = 5\angle A = 190^\circ\)。更简洁地，五个角之和等于 \(180^\circ \times 3 - 360^\circ = 180^\circ\)，这是错误的。正确解法：\(\angle B+\angle C+\angle D+\angle E = (180^\circ - \angle 1) + (180^\circ - \angle 2)\)，而 \(\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ - \angle A = 142^\circ\)，所以总和= \(360^\circ - 142^\circ = 218^\circ\)。
4. \(35^\circ\)。解析：\(\angle P = \frac{1}{2}\angle ACD - \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2}(\angle ACD - \angle ABC) = \frac{1}{2}\angle A = 35^\circ\)。（\(\angle ACD\) 是 \(\triangle ABC\) 的外角）
5. 设 \(\triangle ABC\) 中，\(BI\)、\(CI\) 平分 \(\angle B\) 和 \(\angle C\)，交于点 \(I\)。则 \(\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A\)。证明：\(\angle BIC = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle A) = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A\)。

第三关：生活应用

1. \(10(\sqrt{3}+1)\) 米。解析：在 \(\triangle ABD\) 中，\(\angle ACB=45^\circ\) 是外角，所以 \(\angle ACB = \angle CAD + \angle D\)，即 \(45^\circ = \angle CAD + 30^\circ\)，得 \(\angle CAD = 15^\circ\)。所以 \(\angle CAB = 30^\circ\)。在Rt\(\triangle ABC\)中，\(BC=AB\)。在Rt\(\triangle ABD\)中，\(BD=AB\cdot \sqrt{3}\)。由 \(BD-BC=20\)，得 \(AB\sqrt{3} - AB = 20\)，解得 \(AB=\frac{20}{\sqrt{3}-1}=10(\sqrt{3}+1)\)。
2. \(80^\circ\)。解析：切割掉的 \(100^\circ\) 角变成了四边形的外角。新四边形的内角与这个外角是“补角兄弟”，所以新内角 = \(180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\)。
3. 南偏东 \(30^\circ\)（或东偏南 \(60^\circ\)）。解析：画图。\(\angle ABC = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ\)。在 \(\triangle ABC\) 中，从C看A的方向角是 \(\angle ACB\) 的补角。易求 \(\angle CAB = 30^\circ\)，所以 \(\angle ACB = 60^\circ\)，其补角为 \(120^\circ\)。以C为原点建立方向，可知A在南偏东 \(30^\circ\)。