三角形外角定理详解：求角度神器与借力打力解题法专项练习题库

💡 阿星精讲：外角定理 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天教大家一招武林绝学——“借力打力”。三角形自己关起门来算内角和 (\(180^\circ\))，但一旦它打开一扇“窗”（也就是延长一条边），就会产生一个外角。这个外角是个“社交达人”，它自己不干活，却能把与它不相邻的两个内角的“力量”全借过来！所以，三角形的一个外角，等于和它不相邻的两个内角之和。这简直是考场上的“求角度神器”，因为很多时候，直接求一个角很难，但用外角定理“借”一下，答案瞬间就出来了！
• 计算秘籍：
  1. 找到目标外角，确认它是由哪条边延长形成的。
  2. 识别出与这个外角“不相邻”的两个内角（也就是不挨着它的那两个）。
  3. 使出定理：外角 \( = \) 不相邻内角1 \( + \) 不相邻内角2。用公式表达就是：\( \angle \text{外角} = \angle A + \angle B \)（其中 \(\angle A\) 和 \(\angle B\) 是与外角不相邻的内角）。
• 阿星口诀：外角大，力量加，不邻两角和是它。

📐 图形解析

定理公式：\( \angle ACD = \angle A + \angle B \)

如图所示，延长边 \(AC\) 到 \(D\)， \(\angle ACD\) 就是 \(\triangle ABC\) 的一个外角。阿星的“借力打力”就是指：\(\angle ACD\) 这个外角的力量，等于它不相邻的两个内角 \(\angle A\) 和 \(\angle B\) 的力量之和。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：误把相邻内角当成“力量”加进去。例如，在上图中，误以为 \(\angle ACD = \angle ACB + \angle A\)。
  ✅ 正解：外角定理只“借”不相邻的内角。一定要看清楚，外角旁边的那个内角（\(\angle ACB\)）是它的邻居，不参与计算。正确的力量来源是 \(\angle A\) 和 \(\angle B\)。
• ❌ 错误2：在多边形中乱用外角定理。外角定理是三角形的独家性质。
  ✅ 正解：只有在三角形中，一个外角才等于两个不相邻内角和。四边形、五边形等没有这个性质，不要混淆。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A=60^\circ\)，\(\angle B=40^\circ\)，求与 \(\angle C\) 相邻的外角度数。
2. 如图，\(\angle ACD=120^\circ\)，\(\angle A=50^\circ\)，求 \(\angle B\)。
   
3. 三角形的一个外角等于 \(100^\circ\)，其中一个不相邻的内角是 \(35^\circ\)，求另一个不相邻的内角。
4. 三角形的两个内角分别为 \(30^\circ\) 和 \(80^\circ\)，求它们不相邻的外角度数。
5. 一个外角和它相邻的内角度数之比是 \(7:3\)，求这个外角的度数。
6. 如图，\(\angle 1=25^\circ\)，\(\angle 2=35^\circ\)，\(\angle 3=40^\circ\)，求 \(\angle 4\)。
   
7. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle B\) 和 \(\angle C\) 的平分线交于点 \(O\)，若 \(\angle BOC=120^\circ\)，求 \(\angle A\)。
8. 等腰三角形的一个底角的外角为 \(110^\circ\)，求它的顶角度数。
9. 直角三角形的一个锐角的外角为 \(130^\circ\)，求另一个锐角的度数。
10. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A-\angle B=20^\circ\)，\(\angle C\) 的外角为 \(140^\circ\)，求 \(\angle A\)。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）如图，\(l_1 \parallel l_2\)，\(\angle 1=35^\circ\)，\(\angle 2=40^\circ\)，求 \(\angle 3\) 的度数。
2. （中考真题改编）如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(BD\) 平分 \(\angle ABC\)，\(CD\) 平分外角 \(\angle ACE\)，若 \(\angle A=70^\circ\)，求 \(\angle D\) 的度数。
3. 三角形三个外角的度数比为 \(2:3:4\)，求这个三角形最大的内角度数。
4. 如图，五角星 \(ABCDE\) 中，求 \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E\) 的度数。（提示：多次运用外角定理）
5. （飞镖模型）如图，求 \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D\) 的度数。
   
6. （角平分线+外角）如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle ABC\) 的平分线与 \(\angle ACB\) 的外角平分线交于点 \(P\)，若 \(\angle A=60^\circ\)，求 \(\angle P\)。
7. （折叠问题）将 \(\triangle ABC\) 沿 \(DE\) 折叠，使点 \(C\) 落在 \(C‘\) 处，已知 \(\angle 1=65^\circ\)，\(\angle 2=75^\circ\)，求 \(\angle A\) 的度数。
8. （动态探究）当三角形的一个内角 \(\alpha\) 从 \(0^\circ\) 增大到 \(180^\circ\) 时，它的对边所在的外角 \(\beta\) 如何变化？\(\alpha\) 与 \(\beta\) 满足什么关系？
9. （双外角定理）如图，\(D\) 是 \(BC\) 延长线上一点，求证：\(\angle ACD = \angle A + \angle B\)，并写出证明过程。
10. （综合）如图，\(\triangle ABC\) 中，\(AD \perp BC\)，\(AE\) 平分 \(\angle BAC\)，若 \(\angle B > \angle C\)，求证：\(\angle EAD = \frac{1}{2} (\angle B - \angle C)\)。

第三关：生活应用（5道）

1. （测量）为了测量一池塘两岸相对的两棵树 \(A\)， \(B\) 的距离，小明在岸边另选了一点 \(C\)，测得 \(\angle ACB = 45^\circ\)，并在 \(BC\) 的延长线上找一点 \(D\)，使得 \(\angle ADB = 30^\circ\)。若测得 \(CD=20\) 米，根据这些数据，小明还需要知道哪个角就能算出 \(AB\) 的距离？这个角可以通过外角定理与已知角建立什么关系？
2. （建筑）房顶的三角梁结构如图，为了使屋顶更坚固，需要计算内部支撑杆形成的角度。已知 \(\angle A=110^\circ\)，支撑杆 \(BD\) 与横梁 \(AC\) 的夹角 \(\angle ABD=40^\circ\)，求支撑杆 \(BD\) 与斜梁 \(BC\) 的夹角 \(\angle CBD\)。
   
3. （导航）一艘船从 \(A\) 点出发，沿北偏东 \(30^\circ\) 方向航行至 \(B\) 点，然后调整方向，沿东偏南某个角度航行至 \(C\) 点，使得最终航向相对于 \(A\) 点是北偏东 \(75^\circ\)（即 \(\angle CAB = 75^\circ\)）。请问船在 \(B\) 点调整方向时，转了多少度（即求 \(\angle ABC\) 的外角）？
4. （机械）一个机械臂关节如图，\(\angle AOB=90^\circ\)，当臂 \(OA\) 绕点 \(O\) 逆时针旋转 \(20^\circ\) 到 \(OA‘\) 的位置时，为了保持末端执行器方向不变，臂 \(OB\) 需要绕点 \(O\) 顺时针旋转一定的角度 \(\theta\)。已知 \(\angle OBA = 50^\circ\)，利用外角定理，求 \(\theta\) 是多少度？
5. （光学）一束光线射到平面镜 \(MN\) 上的 \(O\) 点，发生反射，反射光线为 \(OB\)。若入射角 \(\angle AON = 50^\circ\)，现将平面镜绕点 \(O\) 顺时针旋转 \(10^\circ\) 到 \(M'N'\) 位置，求新的反射光线与原反射光线 \(OB\) 的夹角。（提示：反射角等于入射角，利用外角定理计算角度的变化）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 解：与 \(\angle C\) 相邻的外角等于 \(\angle A + \angle B = 60^\circ + 40^\circ = 100^\circ\)。
2. 解：由外角定理，\(\angle ACD = \angle A + \angle B\)，所以 \(120^\circ = 50^\circ + \angle B\)，得 \(\angle B = 70^\circ\)。
3. 解：设另一个不相邻的内角为 \(x\)，则 \(100^\circ = 35^\circ + x\)，得 \(x = 65^\circ\)。
4. 解：它们不相邻的外角，即第三个角 \(\angle C\) 的外角。\(\angle C = 180^\circ - 30^\circ - 80^\circ = 70^\circ\)，其外角为 \(180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\)。或直接用外角定理：此外角 = \(30^\circ + 80^\circ = 110^\circ\)。
5. 解：设相邻内角为 \(3x\)，则外角为 \(7x\)。有 \(3x + 7x = 180^\circ\)，得 \(x=18^\circ\)，所以外角 \(=7 \times 18^\circ = 126^\circ\)。
6. 解：观察，\(\angle 4\) 是左侧小三角形的外角，其不相邻的两个内角是 \(\angle 1\) 和 \(\angle 3\) 的对顶角（等于 \(\angle 3\)）。所以 \(\angle 4 = \angle 1 + \angle 3 = 25^\circ + 40^\circ = 65^\circ\)。
7. 解：在 \(\triangle BOC\) 中，\(\angle OBC + \angle OCB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\)。因为 \(BO\)， \(CO\) 是角平分线，所以 \(\angle ABC + \angle ACB = 2 \times 60^\circ = 120^\circ\)。故 \(\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\)。
8. 解：底角的外角为 \(110^\circ\)，则底角为 \(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\)。因为是等腰三角形，另一个底角也是 \(70^\circ\)，所以顶角 \(= 180^\circ - 70^\circ \times 2 = 40^\circ\)。
9. 解：一个锐角的外角为 \(130^\circ\)，则该锐角为 \(50^\circ\)。因为是直角三角形，另一个锐角 \(= 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\)。
10. 解：\(\angle C\) 的外角为 \(140^\circ\)，则 \(\angle C = 40^\circ\)。又 \(\angle A - \angle B = 20^\circ\)，且 \(\angle A + \angle B = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\)。联立解得 \(\angle A = 80^\circ\)，\(\angle B = 60^\circ\)。

（第二关、第三关答案因篇幅原因，在此提供思路或关键步骤。完整解析可另行提供。）

第二关：中考挑战（关键提示）

1. 提示：过拐点作平行线，或利用三角形外角定理。
2. 提示：\(\angle D = \frac{1}{2} \angle A = 35^\circ\)。
3. 提示：设三个外角为 \(2k, 3k, 4k\)，则 \(2k+3k+4k=360^\circ\)，求出k，再求对应内角。
4. 提示：将五个角转移到一个三角形中，和为 \(180^\circ\)。
5. 提示：连接 \(BD\)，将四边形分为两个三角形，或利用外角定理将四个角集中到一个三角形中。
6. 提示：\(\angle P = \frac{1}{2} \angle A = 30^\circ\)。
7. 提示：\(\angle A = \frac{1}{2} (\angle 1 + \angle 2) = 70^\circ\)。
8. 提示：\(\beta = 180^\circ - \alpha\)。当 \(\alpha\) 增大时，\(\beta\) 减小。
9. 证明略（课本基本定理）。
10. 证明略（利用角平分线和高的性质，结合外角定理）。

第三关：生活应用（关键提示）

1. 提示：需要知道 \(\angle CAD\) 或 \(\angle CBD\)。在 \(\triangle ABD\) 中，利用外角定理，\(\angle ACB = \angle CAD + \angle ADB\)。
2. 提示：在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle ABC = 180^\circ - 110^\circ - \angle ACB\)。在 \(\triangle ABD\) 中，利用外角定理求 \(\angle CBD\)。
3. 提示：画方位图。\(\angle ABC\) 的外角等于航线改变量，利用三角形外角定理计算。
4. 提示：旋转后，\(\angle A'OB = 70^\circ\)。在新的 \(\triangle A'OB\) 中，利用外角定理分析 \(\angle OBA'\) 与 \(\theta\) 的关系。
5. 提示：新的入射角变为 \(40^\circ\) 或 \(60^\circ\)（取决于旋转方向），新的反射角随之改变。两个反射光线的夹角可利用它们与法线的夹角，通过外角定理求解。