外角定理计算全解析：三步法搞定角度难题，附中考真题训练专项练习题库

💡 阿星精讲：外角定理(计算) 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天教你一招数学江湖中的“借力打力”神功——外角定理。想象一下，一个三角形就像一座堡垒，它的一个内角派出了一位“外交官”（外角），去墙外办事。这位外交官有多大的能量呢？它根本不需要自己修炼，直接借用了堡垒里和它不相邻的另外两个内角的全部功力！所以，一个外角 = 两个不相邻内角的和。这简直是解决角度问题的“神器”，当你看到复杂的图形时，找到那个外角，就等于瞬间知道了两个隐藏内角的“合力”。
• 计算秘籍：
  1. 识别目标：在图形中找到你想要计算的那个三角形的外角（一条边延长线与另一条边的夹角）。
  2. 找到“内力源”：确定与这个外角不相邻的两个内角。
  3. 借力合成：将这两个不相邻内角的度数相加，和就是外角的度数。用公式表示就是：对于 \(\triangle ABC\)，\(\angle ACD\) 是 \(\angle ACB\) 的外角，则有 \(\angle ACD = \angle A + \angle B\)。
• 阿星口诀：外角神器，借力打力；合二为一，答案立现。

📐 图形解析

我们来看一个标准的三角形外角模型。延长边 \(BC\) 到点 \(D\)，那么 \(\angle ACD\) 就是 \(\angle ACB\) 的一个外角。根据阿星刚才的比喻，它借用了 \(\angle A\) 和 \(\angle B\) 的“力”。

关系式：\( \angle ACD = \angle A + \angle B \)

如图所示，外角 \( \angle ACD \)（绿色标记？）的度数，等于两个不相邻的内角 \(\angle A\)（橙色标记 \(a\)）与 \(\angle B\)（紫色标记 \(b\)）的度数之和。即：\(? = a + b\)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：把外角的相邻内角也算进去了。例如，误以为 \(\angle ACD = \angle A + \angle B + \angle ACB\)。
  ✅ 正解：外角定理的精髓是“借不相邻的力”。相邻内角（\(\angle ACB\)）和外角（\(\angle ACD\)）本身就在同一条直线上，它们之和是 \(180^\circ\)，绝不能加在一起。
• ❌ 错误2：在复杂图形中，找不到哪个角是哪个三角形的外角。
  ✅ 正解：先锁定一个基础三角形，然后看这个三角形的某条边是否被延长了。延长线与三角形另一条边形成的夹角，才是外角。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A=70^\circ\)，\(\angle C=50^\circ\)，求 \(\angle B\) 的外角度数。
2. 三角形的一个外角等于 \(120^\circ\)，一个不相邻的内角是 \(45^\circ\)，求另一个不相邻的内角度数。
3. 如图，求 \(\angle 1\) 的度数。
   
4. \(\triangle ABC\) 中，\(\angle B\) 和 \(\angle C\) 的外角平分线相交于点 \(D\)，若 \(\angle A=80^\circ\)，求 \(\angle D\)。（提示：先求 \(\angle B+\angle C\)）
5. 一个三角形的两个外角分别是 \(110^\circ\) 和 \(140^\circ\)，求第三个内角的度数。
6. 如图，\(\angle A=60^\circ\)，\(\angle B=40^\circ\)，\(\angle ACD=110^\circ\)，验证外角定理。
7. 直接写出答案：三角形三个外角之和等于 ______ 度。
8. 等腰三角形的一个底角的外角是 \(130^\circ\)，求它的顶角度数。
9. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle B=\angle C\)，\(\angle A\) 的外角等于 \(130^\circ\)，求 \(\angle B\) 的度数。
10. 如图，\(D\) 在 \(BC\) 延长线上，\(\angle A=50^\circ\)，\(\angle ACD=120^\circ\)，求 \(\angle B\)。
    

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题改编) 将一副三角板按如图方式放置，使含 \(30^\circ\) 角的三角板的短直角边和含 \(45^\circ\) 角的三角板的一条直角边重合，求重叠部分所成锐角 \(\alpha\) 的度数。
2. 如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(BD\) 平分 \(\angle ABC\)，\(CD\) 平分 \(\angle ACB\) 的外角，\(\angle A=70^\circ\)，求 \(\angle D\) 的度数。
3. 如图，\(AB \parallel CD\)，\(\angle E=27^\circ\)，\(\angle C=42^\circ\)，求 \(\angle A\) 的度数。
4. 已知 \(D\) 为 \(\triangle ABC\) 边 \(BC\) 延长线上一点，\(\angle A=70^\circ\)，\(\angle B=60^\circ\)，则 \(\angle ACD\) 的外角平分线与 \(\angle B\) 的平分线所夹锐角的度数是 ______。
5. 如图，五角星的五个顶点构成五边形，利用外角定理，证明：五角星五个尖角（如 \(\angle A\)）之和为 \(180^\circ\)。
6. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle BAC=90^\circ\)，\(AD \perp BC\) 于 \(D\)，\(\angle B\) 的平分线交 \(AD\) 于 \(F\)，交 \(AC\) 于 \(E\)，则 \(\angle AFE\) 与 \(\angle AEF\) 的大小关系是？请证明。
7. 如图，\(\angle A+ \angle B + \angle C + \angle D + \angle E + \angle F\) 的度数为 ______。
   
8. \(\triangle ABC\) 中，点 \(D\)、\(E\) 分别在边 \(AB\)、\(AC\) 上，将 \(\triangle ADE\) 沿 \(DE\) 翻折，点 \(A\) 落在 \(BC\) 边上的点 \(F\) 处。若 \(\angle B=50^\circ\)，\(\angle C=60^\circ\)，求 \(\angle CFE\) 的度数。
9. 如图，\(l_1 \parallel l_2\)，\(\angle \alpha = \angle \beta\)，\(\angle 1=40^\circ\)，求 \(\angle 2\) 的度数。
10. 探究：\(\triangle ABC\) 的内角平分线 \(BD\) 与外角平分线 \(CD\) 相交于点 \(D\)，请用 \(\angle A\) 表示 \(\angle D\)。

第三关：生活应用（5道）

1. 【测量塔高】为了测量一座古塔 \(AB\) 的高度，小明在离塔底 \(B\) 点 \(50\) 米的 \(C\) 处放置一个测角仪，测得塔顶 \(A\) 的仰角 \(\angle ACD = 45^\circ\)。然后他向后移动到 \(E\) 点（\(B, C, E\) 在同一直线上），测得塔顶 \(A\) 的仰角 \(\angle AED = 30^\circ\)。已知测角仪高度为 \(1.5\) 米，\(CE=30\) 米。请利用外角定理的相关思想，帮助小明计算古塔 \(AB\) 的高度（结果保留根号）。
2. 【屋顶设计】一个屋顶的侧面是三角形结构（\(\triangle ABC\)），为了增加稳定性，需要加一根支撑梁 \(DE\)（\(D\) 在 \(AB\) 上，\(E\) 在 \(AC\) 上），使得 \(DE \parallel BC\)。已知屋顶角 \(\angle A=100^\circ\)，\(\angle B=40^\circ\)。工程师需要知道支撑梁 \(DE\) 与屋檐 \(AB\) 的夹角 \(\angle ADE\) 是多少度，以便切割材料。请计算。
3. 【航海方位】一艘船从 \(A\) 点出发，沿北偏东 \(30^\circ\) 方向航行到 \(B\) 点，然后调整航向，沿北偏西 \(60^\circ\) 方向航行到 \(C\) 点。请问从 \(A\) 点看 \(C\) 点，\(C\) 点在 \(A\) 点的什么方向？（即求 \(\angle BAC\) 的度数）
4. 【折叠椅】一款折叠椅打开后，其侧面结构如图所示。当椅面 \(AB\) 与地面 \(CD\) 平行时，靠背 \(BE\) 与椅面 \(AB\) 的夹角 \(\angle ABE=105^\circ\)，支撑杆 \(AD\) 与地面垂直 (\(\angle ADC=90^\circ\))。为了保证稳定性，要求支撑杆 \(AD\) 与靠背 \(BE\) 的延长线相交于一点 \(F\)，且 \(\angle AFE\) 为锐角。请计算 \(\angle DAF\) 的度数。
5. 【钻石切割】一颗钻石的某个切面是一个多边形，其中一个部分的放大图是一个三角形（\(\triangle ABC\)），其一个外角 \(\angle ACD\) 被另一条切割线分成了两个角：\(\angle 1=55^\circ\)，\(\angle 2=35^\circ\)。已知 \(\angle A=40^\circ\)，请验证切割师是否保证了 \(\angle B\) 的设计度数 \(\angle B=50^\circ\)。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 答案：\(120^\circ\)
   解析：\(\angle B = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ\)。\(\angle B\) 的外角 = \(\angle A + \angle C = 70^\circ + 50^\circ = 120^\circ\)。或直接 = \(180^\circ - \angle B = 120^\circ\)。
2. 答案：\(75^\circ\)
   解析：由外角定理，另一个不相邻内角 = \(120^\circ - 45^\circ = 75^\circ\)。
3. 答案：\(125^\circ\)
   解析：三角形内角和 \(180^\circ\)，第三个内角为 \(180^\circ - 80^\circ - 45^\circ = 55^\circ\)。\(\angle 1\) 是该内角的外角，所以 \(\angle 1 = 80^\circ + 45^\circ = 125^\circ\)。
4. 答案：\(50^\circ\)
   解析：\(\angle B + \angle C = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\)。\(\angle B\) 的外角的一半 + \(\angle C\) 的外角的一半 = \(\frac{1}{2}(180^\circ - \angle B) + \frac{1}{2}(180^\circ - \angle C) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\)。在由两条外角平分线构成的三角形中，\(\angle D = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\)。
5. 答案：\(30^\circ\)
   解析：两个外角对应的两个内角分别为 \(70^\circ\) 和 \(40^\circ\)，所以第三个内角为 \(180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ\)。注意：题目求的是第三个“内角”，不是外角。
6. 答案：验证通过
   解析：根据外角定理，\(\angle ACD\) 应等于 \(\angle A + \angle B = 60^\circ + 40^\circ = 100^\circ\)。但题目给出 \(\angle ACD=110^\circ\)，二者不符。所以原题数据可能矛盾，验证不通过。但若数据正确，则验证过程就是计算是否相等。
7. 答案：\(360^\circ\)
   解析：每个内角与其一个外角互补，三个内角和外角共六角，三组互补角和为 \(3 \times 180^\circ = 540^\circ\)，减去内角和 \(180^\circ\)，得外角和 \(360^\circ\)。
8. 答案：\(80^\circ\)
   解析：底角的外角是 \(130^\circ\)，则底角为 \(50^\circ\)。等腰三角形两底角相等，所以顶角 = \(180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ\)。
9. 答案：\(65^\circ\)
   解析：\(\angle A\) 的外角 = \(\angle B + \angle C = 130^\circ\)。又 \(\angle B = \angle C\)，所以 \(\angle B = 130^\circ \div 2 = 65^\circ\)。
10. 答案：\(70^\circ\)
    解析：在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle ACD\) 是 \(\angle ACB\) 的外角，所以 \(\angle ACD = \angle A + \angle B\)。即 \(120^\circ = 50^\circ + \angle B\)，所以 \(\angle B = 70^\circ\)。

（第二关、第三关答案请同学们独立完成，如需详细解析可向老师提问。）