三角形外角定理：为什么外角大于不相邻内角？深度解析与专题训练专项练习题库

💡 阿星精讲：外角定理(大小) 原理

• 核心概念：想象一下，三角形是一个王国。每个内角都是王国里温顺的臣民。当内角（比如 \(\angle A\) ）跑到国境线外，变成一个外角（\(\angle EBC\) ）时，它就立刻膨胀，变成一个冷酷的“角王”。这个“角王”非常强势，它会傲慢地宣布：“我（外角）一定比我任何一个不相邻的‘前同事’（不相邻的内角 \(\angle B\) 或 \(\angle C\) ）都要大！” 这种“强弱关系”是绝对的，无论三角形是胖是瘦，是高是矮，这条法则永不改变。阿星提醒你：记住“不相邻”这个关键，它不和它挨着的那个内角（\(\angle ABC\)）比大小哦。
• 计算秘籍：为什么“角王”这么强？因为它本质上就是另两个不相邻内角的“力量之和”。
  1. 已知：在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A\) 和 \(\angle C\) 是与外角 \(\angle EBC\) 不相邻的内角。
  2. 定理1（大小）：\(\angle EBC > \angle A\) 且 \(\angle EBC > \angle C\)。
  3. 定理2（定量）：外角等于两个不相邻内角之和，即 \(\angle EBC = \angle A + \angle C\)。
  4. 因为 \(\angle A > 0\)， \(\angle C > 0\)，所以 \(\angle A + \angle C > \angle A\)，也 \(> \angle C\)。这就是“强弱关系”的数学铁证！
• 阿星口诀：内角跑出国，立马称大王；不相邻的臣民，统统没它强！

📐 图形解析

如下图所示，在 \(\triangle ABC\) 中，延长 \(BC\) 边至 \(E\)，得到外角 \(\angle EBC\)。它的两个不相邻内角是 \(\angle A\) 和 \(\angle C\)。根据外角定理，\(\angle EBC = \angle A + \angle C\)，所以自然有 \(\angle EBC > \angle A\)，\(\angle EBC > \angle C\)。

关系式：\( \text{外角} c = \text{内角} a + \text{内角} b \)，且 \( c > a \)，\( c > b \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“外角大于任何一个内角”，忽略了“不相邻”的限制，拿去和它的邻居（相邻内角）比大小。 → ✅ 正解：外角只“欺负”和它不相邻的那两个内角。它和相邻内角是互补关系（和为 \(180^\circ\)），谁大谁小不一定！
• ❌ 错误2：在复杂图形中，找错了“外角”对应的“不相邻内角”。 → ✅ 正解：锁定目标外角的两条边，一条是三角形边的延长线，另一条是三角形的原边。这条原边所对的那个内角，以及延长线“背对”的那个内角，就是它的两个“猎物”（不相邻内角）。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. （判断）三角形的一个外角一定大于它的内对角。（ ）
2. （判断）三角形的一个外角等于它的两个不相邻内角的和。（ ）
3. 如图，\(\angle A=60^\circ\)，\(\angle B=40^\circ\)，则外角 \(\angle ACD=\) ______ \(^\circ\)。
4. 三角形的一个外角是 \(100^\circ\)，则与它不相邻的两个内角中，较大的一个角至少是 ______ \(^\circ\)。
5. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A=70^\circ\)，\(\angle B=50^\circ\)，则与 \(\angle C\) 相邻的外角是 ______ \(^\circ\)，这个外角 ______（填“大于”、“等于”或“小于”）\(\angle A\)。
6. （多选）关于三角形的外角，下列说法正确的是（ ）A. 外角是钝角 B. 外角至少大于一个内角 C. 外角等于两个内角和 D. 外角和为 \(360^\circ\)
7. 一个三角形的两个内角分别是 \(30^\circ\) 和 \(80^\circ\)，则与 \(80^\circ\) 角不相邻的外角度数是 ______。
8. 若三角形一个外角等于与它相邻内角的 \(2\) 倍，则这个外角的度数是 ______ \(^\circ\)。
9. 直接写出图中 \(\angle 1\)、\(\angle 2\)、\(\angle 3\) 的大小关系（用“\(<\)”连接）______。
10. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A: \angle B: \angle C = 2:3:4\)，则 \(\triangle ABC\) 的最大外角度数为 ______ \(^\circ\)。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）如图，\(l_1 \parallel l_2\)，\(\angle 1=35^\circ\)，\(\angle 2=40^\circ\)，则 \(\angle 3\) 的度数是（ ）
   
2. （中考真题）一副三角尺如图放置，含 \(45^\circ\) 角的三角尺的斜边与含 \(30^\circ\) 角的三角尺的长直角边平行，则 \(\angle 1\) 的度数是 ______。
3. 如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(BD\) 平分 \(\angle ABC\)，\(CD\) 平分外角 \(\angle ACE\)，若 \(\angle A=70^\circ\)，则 \(\angle D=\) ______。
4. 如图，\(\angle A=20^\circ\)，\(\angle B=30^\circ\)，\(\angle C=50^\circ\)，则 \(\angle BDC=\) ______。请用两种以上方法求解。
5. 已知：如图，\(D\)、\(E\) 分别在 \(AB\)、\(AC\) 上，\(\angle BDC\)、\(\angle CEB\) 的平分线交于点 \(F\)。若 \(\angle A=60^\circ\)，\(\angle BDC=100^\circ\)，\(\angle CEB=120^\circ\)，求 \(\angle F\) 的度数。
6. 求证：三角形两个外角的平分线所成的角等于 \(90^\circ\) 减去第三个内角的一半。（请画出图形，写出已知、求证并证明）
7. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle B\) 和 \(\angle C\) 的外角平分线交于点 \(O\)，若 \(\angle A= \alpha\)，则 \(\angle BOC =\) ______。（用含 \(\alpha\) 的式子表示）
8. 如图，五角星的五个顶点构成一个正五边形，求图中 \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5\) 的度数。
9. （最值问题）在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A=50^\circ\)，\(P\) 是 \(\triangle ABC\) 内一点，连接 \(PB、PC\)。求证：\(\angle BPC > 50^\circ\)。
10. （探究题）观察“飞镖形”\(ABCD\)（凹四边形），探究 \(\angle BDC\) 与 \(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\) 之间的关系，并证明你的结论。

第三关：生活应用（5道）

1. 测量塔高：为了测量一座古塔 \(AB\) 的高度，小明在离塔底 \(B\) 点 \(50\) 米的 \(C\) 处放置一个测角仪，测得塔顶 \(A\) 的仰角 \(\angle ACD = 45^\circ\)。然后他后退 \(20\) 米到 \(E\) 点，再次测得塔顶 \(A\) 的仰角 \(\angle AED = 30^\circ\)。已知测角仪高度 \(CD=EF=1.5\) 米。请利用外角定理或相关几何知识，帮助小明计算古塔 \(AB\) 的高度（精确到 \(0.1\) 米）。
2. 建筑力学：一个屋顶的三角梁结构如图所示，其中 \(AC=BC\)，横梁 \(DE\) 平行于底梁 \(AB\)。已知顶角 \(\angle ACB = 100^\circ\)。工程师需要知道斜梁 \(AC\) 与横梁 \(DE\) 的夹角 \(\angle CDE\) 是多少度，以确保连接稳固。请你计算一下。
3. 航海方位：一艘船从 \(A\) 点出发，向正北方向航行到 \(B\) 点，然后转向东偏北 \(30^\circ\)（即航向为北偏东 \(60^\circ\)）航行到 \(C\) 点。若想从 \(C\) 点直接返回 \(A\) 点，船长需要知道 \(CA\) 方向相对于正北方向的夹角（即回程航向）。请将此问题抽象为几何图形，并计算回程航向（北偏西多少度）。
4. 折叠纸艺：将一张三角形纸片 \(ABC\) 沿 \(DE\) 折叠，使点 \(C\) 落在边 \(AB\) 上的点 \(C'\) 处。已知 \(\angle A=65^\circ\)，\(\angle B=75^\circ\)，求折叠后形成的重叠部分图形中 \(\angle 1 + \angle 2\) 的度数（\(\angle 1\)、\(\angle 2\) 为与折痕相关的角）。
5. 光学反射：一束光线从 \(S\) 点射向平面镜 \(OM\) 上的 \(P\) 点，反射后经过 \(Q\) 点。入射角 \(\angle SPN\) 等于反射角 \(\angle NPQ\)。已知 \(\angle SPM = 40^\circ\)，\(\angle OQS = 80^\circ\)，且 \(OM \parallel QN\)。利用“三角形外角等于不相邻两内角和”的原理，求入射角 \(\angle SPN\) 的度数。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身
1. ❌ (错，必须强调“不相邻的内角”)
2. ✅ (对)
3. \( \angle ACD = \angle A + \angle B = 60^\circ + 40^\circ = 100^\circ \)
4. 设两内角为 \(x, y\)，\(x+y=100^\circ\)，则较大角至少为 \(50^\circ\) (当 \(x=y=50^\circ\)时)。
5. \(\angle C = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ\)，其相邻外角为 \(120^\circ\)。该外角的不相邻内角是 \(\angle A\) 和 \(\angle B\)，所以它大于 \(\angle A\) ( \(120^\circ > 70^\circ\) )。
6. B、D (A错，外角也可以是锐角，如钝角三角形的锐角外角；C错，必须是不相邻的两个内角)
7. 第三个内角为 \(70^\circ\)，与 \(80^\circ\) 角不相邻的外角是 \(30^\circ + 70^\circ = 100^\circ\)。
8. 设相邻内角为 \(x\)，则外角为 \(2x\)，\(x+2x=180^\circ\)，\(x=60^\circ\)，外角为 \(120^\circ\)。
9. \(\angle 3 < \angle 1 < \angle 2\) ( \(\angle 1\)是 \(\angle 3\) 所在三角形的外角，所以 \(\angle 1 > \angle 3\)；同理 \(\angle 2 > \angle 1\) )
10. 设 \(\angle A=2k, \angle B=3k, \angle C=4k\)，则 \(2k+3k+4k=180^\circ\)，\(k=20^\circ\)。最大内角 \(\angle C=80^\circ\)，其相邻外角最小，为 \(100^\circ\)。最小内角 \(\angle A=40^\circ\)，其相邻外角最大，为 \(140^\circ\)。所以最大外角为 \(140^\circ\)。

（第二关、第三关解析因篇幅所限，此处提供核心思路或最终答案）
第二关：中考挑战
1. \(75^\circ\) (利用平行线性质和外角定理)
2. \(15^\circ\) (结合三角尺特殊角和外角定理)
3. \(35^\circ\) (利用角平分线和两次外角定理)
4. \(100^\circ\) (方法一：连接AD并延长；方法二：利用四边形内角和；方法三：多次外角定理)
5. \(40^\circ\) (综合运用三角形内角和、外角定理及角平分线定义)
6. 已知、求证略。证明核心：利用两次外角定量定理，找到平分角与第三个内角的关系。
7. \(\angle BOC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\)
8. \(180^\circ\) (每个 \(\angle\) 都是三角形的一个外角，五个角的和等于三角形外角和的某种组合，或利用“8”字模型)
9. 提示：连接AP并延长交BC于D，在 \(\triangle ABP\) 和 \(\triangle APC\) 中分别用外角定理，得到 \(\angle BPC > \angle BDC > \angle A\)。
10. 结论：\(\angle BDC = \angle A + \angle B + \angle C\)。证明：连接AC或延长BD交AC于一点，利用两次外角定理。

第三关：生活应用
1. 答案约为 \(36.6\) 米。解析：设 \(CD\) 与 \(AE\) 交于点 \(G\)，则 \(\angle AGD\) 是 \(\triangle ACG\) 的外角，可建立方程求解。
2. \(\angle CDE = 40^\circ\)。解析：由等腰三角形及平行线性质，求出底角为 \(40^\circ\)，\(\angle CDE\) 作为外角等于不相邻的 \(\angle A\) 和 \(\angle ACD\) 之和。
3. 回程航向为北偏西 \(30^\circ\)。解析：抽象为 \(\triangle ABC\)，\(\angle A=90^\circ\)，\(\angle B=30^\circ\)，求 \(\angle C\) 的余角。
4. \(\angle 1 + \angle 2 = 80^\circ\)。解析：关键在于发现重叠部分形成的两个小三角形，利用折叠前后角相等及三角形内角和、外角定理。
5. \(\angle SPN = 30^\circ\)。解析：设入射角为 \(\alpha\)，利用平行线和三角形外角定理，建立关于 \(\alpha\) 的方程。