不等式组同小取小口诀原理详解与典型例题精讲专项练习题库

💡 阿星精讲：口诀2 原理

• 核心概念：阿星来啦！想象一下，你和阿星都想吃包子。你说：“我要比2个小的。”阿星说：“我要比5个小的。”那么，怎样能满足我们两个人的要求呢？当然是取那个更严格、更小的要求啦！结果就是“比2个少”。这就是“同小取小”的精髓！在数学不等式组里，当两个条件都是“小于”（\(<\)）时，比如 \(x < 2\) 且 \(x < 5\)，我们要找的 \(x\) 必须同时满足这两个条件，所以它必须比更小的那个数 2 还要小，最终结果就是 \(x < 2\)。记住，我们要找的是两个解集的公共部分（交集）。
• 计算秘籍：
  1. 分别求解：解出每个不等式的解。例如：解不等式组 \(\begin{cases} x - 1 < 3 \\ 2x + 1 < 9 \end{cases}\)。第一步：\(x - 1 < 3 \Rightarrow x < 4\)。第二步：\(2x + 1 < 9 \Rightarrow 2x < 8 \Rightarrow x < 4\)。
  2. 比大小：观察两个解集的边界值。这里都是“小于”，且边界值都是 \(4\)。
  3. 取公共：根据“同小取小”，取边界值更小的解集。如果边界值相同（如本例都是 \(4\)），则直接取 \(x < 4\)。
• 阿星口诀：“都是小于号，就往小了跑，谁小跟谁好，取小错不了！”

📐 图形解析

让我们用数轴来可视化“同小取小”。下图展示了 \(x < 2\)（红色）和 \(x < 5\)（蓝色）的解集，以及它们重叠的公共部分（紫色阴影）。

公共部分的边界：取更小的边界 \(2\)，方向为小于（向左）。结论：\(x < 2\)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到“小于”就直接把两个数写在一起，比如 \(x < 2\) 且 \(x < 5\) 写成 \(x < 2,5\) 或 \(2 < x < 5\)。 → ✅ 正解：口诀“同小取小”取的是解集的交集，不是数字的罗列。必须画出数轴或比较边界大小，取范围更小的那个解集 \(x < 2\)。
• ❌ 错误2：只记“同小取小”，遇到“同大”（都是大于号）时也下意识“取小”。 → ✅ 正解：口诀是配套的！“同大取大”才是处理两个“大于”（\(>\)）号的不等式组的法则。例如 \(x > 2\) 且 \(x > 5\)，应取 \(x > 5\)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 解不等式组：\(\begin{cases} x < 9 \\ x < 3 \end{cases}\)
2. 解不等式组：\(\begin{cases} 2x \le 6 \\ x + 1 < 0 \end{cases}\)
3. 解不等式组：\(\begin{cases} x - 5 < -1 \\ 3x < 12 \end{cases}\)
4. 解不等式组：\(\begin{cases} \frac{x}{2} < 2 \\ x < 5 \end{cases}\)
5. 两个条件“\(a\) 是负数”和“\(a\) 小于 \(-10\)”同时成立，用不等式表示 \(a\) 的范围。
6. 在数轴上表示 \(x < 1\) 和 \(x < -2\) 的解集，并写出它们的公共部分。
7. 若 \(m < n\)，比较不等式组 \(\begin{cases} x < m \\ x < n \end{cases}\) 与 \(\begin{cases} x > m \\ x > n \end{cases}\) 的解集。
8. 判断：不等式组 \(\begin{cases} x < -100 \\ x < 0.5 \end{cases}\) 的解集是 \(x < 0.5\)。 （对/错）
9. 用“同小取小”的口诀，直接写出 \(\begin{cases} y < -3 \\ y < -\frac{1}{2} \end{cases}\) 的解集。
10. 已知 \(k < 0\)，解关于 \(x\) 的不等式组：\(\begin{cases} kx < 2k \\ x < 1 \end{cases}\) （提示：k为负数，小心变号）

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考改编）解不等式组：\(\begin{cases} 2(x-1) \le x+1 \\ \frac{x+2}{3} > x \end{cases}\)，并写出其整数解。
2. （中考改编）若点 \(P(2-m, m)\) 在第二象限，求 \(m\) 的取值范围。
3. 解不等式组：\(\begin{cases} 5(x-2) \le 2(x+2) \\ \frac{x}{2} - 1 < \frac{x-1}{3} \end{cases}\)
4. 若关于 \(x\) 的不等式组 \(\begin{cases} x < a \\ x < 2 \end{cases}\) 的解集为 \(x < -1\)，则 \(a\) 的值是多少？
5. 已知方程组 \(\begin{cases} 2x+y=1-m \\ x+2y=2 \end{cases}\) 的解满足 \(x+y<0\)，求 \(m\) 的取值范围。
6. 解不等式：\(-3 < 2x - 1 \le 5\)，并将其视为两个不等式组 \(\begin{cases} 2x-1 > -3 \\ 2x-1 \le 5 \end{cases}\) 的结果来理解。
7. 若整数 \(a\) 满足 \(\begin{cases} a < \sqrt{10} \\ a < \pi \end{cases}\)，求 \(a\) 的最大值。
8. （含参）关于 \(x\) 的不等式组 \(\begin{cases} x > m-1 \\ x < m+2 \end{cases}\) 有解，求 \(m\) 的取值范围。
9. 三角形一边长为 \(5\)，另一边长为 \(2\)，第三边长为 \(x\)，且周长为偶数。求 \(x\) 的所有可能整数值。
10. 比较大小：若 \(a < b < 0\)，比较不等式组 \(\begin{cases} x < a^2 \\ x < b^2 \end{cases}\) 与 \(\begin{cases} x > a^2 \\ x > b^2 \end{cases}\) 的解集。

第三关：生活应用（5道）

1. 【购物预算】小星去买笔记本和笔。他带的钱买笔记本的话能买少于8本，买笔的话能买少于15支。已知买一本笔记本的钱可以买多于2支笔。如果用所有钱来买笔，他能买的笔的数量范围是什么？（设一本笔记本价格为 \(a\) 元，一支笔价格为 \(b\) 元，总钱数为 \(M\) 元）
2. 【工程进度】甲、乙两个工程队共同完成一段道路修缮。甲队单独完成需少于20天，乙队单独完成需少于30天。现两队合作，要求总工期少于10天。从工期上看，这个要求可能实现吗？为什么？（设工程总量为1，甲队效率为 \(x\)，乙队效率为 \(y\)）
3. 【温度控制】一种药品的储存温度要求是：必须比室温 \(22^{\circ}C\) 低，同时必须高于冰点 \(0^{\circ}C\) 以避免冻结。另一个更严格的运输要求是温度必须低于 \(5^{\circ}C\)。请问，要同时满足储存和运输要求，温度 \(t\) (单位：\(^{\circ}C\)) 应控制在什么范围？
4. 【身高限制】某游乐场“极限飞车”项目要求乘客身高 \(h\) (米) 低于1.9米以确保安全，同时“梦幻转马”项目要求身高低于1.5米才能享受儿童票。小明两个项目都想玩，他的身高需要满足什么条件？
5. 【速度规划】一辆车在高速路段要求时速 \(v\) (km/h) 低于120，在市区路段要求时速低于60。若整条行程包含这两段路，司机应如何规划他的速度 \(v\)，才能保证在任何路段都不超速？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 解：同小取小，边界为 \(9\) 和 \(3\)，取小者 \(3\)。∴ 解集为 \(x < 3\)。
2. 解：\(2x \le 6 \Rightarrow x \le 3\)；\(x + 1 < 0 \Rightarrow x < -1\)。在数轴上，\(x \le 3\) 包含 \(x < -1\) 的部分。公共部分是 \(x < -1\)。注意：这里有一个等号，但取公共时，\(x < -1\) 的范围完全在 \(x \le 3\) 之内，且端点 \(-1\) 取不到，所以结果仍是 \(x < -1\)。
3. 解：\(x - 5 < -1 \Rightarrow x < 4\)；\(3x < 12 \Rightarrow x < 4\)。同小且边界相同，取 \(x < 4\)。
4. 解：\(\frac{x}{2} < 2 \Rightarrow x < 4\)；与 \(x < 5\) 同小取小，得 \(x < 4\)。
5. 解：“是负数”即 \(a < 0\)；“小于 \(-10\)”即 \(a < -10\)。同小取小，得 \(a < -10\)。
6. 解：公共部分为 \(x < -2\)。
7. 解：∵ \(m < n\)，∴ \(\begin{cases} x < m \\ x < n \end{cases}\) 同小取小，解集为 \(x < m\)；\(\begin{cases} x > m \\ x > n \end{cases}\) 同大取大，解集为 \(x > n\)。
8. 解：错。同小取小，应取更小的边界 \(-100\)，解集为 \(x < -100\)。
9. 解：边界 \(-3\) 和 \(-\frac{1}{2}\)，∵ \(-3 < -\frac{1}{2}\)，取小者 \(-3\)。∴ 解集为 \(y < -3\)。
10. 解：∵ \(k < 0\)，∴ \(kx < 2k\) 两边同除以 \(k\)，不等号方向改变，得 \(x > 2\)。第二个为 \(x < 1\)。两个不等式方向相反（一大一小），解集为 \(2 < x < 1\)，这是不可能的（大大小小无处找）。∴ 原不等式组无解。

第二关：中考挑战（精选解析）

1. 解：\(2(x-1) \le x+1 \Rightarrow 2x-2 \le x+1 \Rightarrow x \le 3\)。\(\frac{x+2}{3} > x \Rightarrow x+2 > 3x \Rightarrow 2 > 2x \Rightarrow x < 1\)。两个解集为 \(x \le 3\) 和 \(x < 1\)。在数轴上，\(x < 1\) 的部分完全包含在 \(x \le 3\) 内，公共部分为 \(x < 1\)。整数解为 \(..., -2, -1, 0\)。
2. 解：第二象限点横坐标小于0，纵坐标大于0。∴ \(\begin{cases} 2-m < 0 \\ m > 0 \end{cases}\)。由 \(2-m < 0\) 得 \(m > 2\)。与 \(m > 0\) 同大取大，得 \(m > 2\)。
3. 解：\(5(x-2) \le 2(x+2) \Rightarrow 5x-10 \le 2x+4 \Rightarrow 3x \le 14 \Rightarrow x \le \frac{14}{3}\)。\(\frac{x}{2} - 1 < \frac{x-1}{3} \Rightarrow\) 两边乘6：\(3x - 6 < 2x - 2 \Rightarrow x < 4\)。两个解集为 \(x \le \frac{14}{3}\) 和 \(x < 4\)。∵ \(\frac{14}{3} \approx 4.67 > 4\)，公共部分取更“小”的限制 \(x < 4\)。∴ 解集为 \(x < 4\)。
4. 解：解集为 \(x < -1\)，且由 \(x < a\) 和 \(x < 2\) 同小取小得到。已知其中一个边界是 \(2\)，但结果边界是 \(-1\)，说明取的是 \(a\) 和 \(2\) 中更小的那个，且这个更小的数就是 \(-1\)。因此 \(a = -1\)。（因为如果 \(a > 2\)，则取 \(2\)，解集为 \(x<2\)；如果 \(a<2\)，则取 \(a\)。现在取到的是 \(-1\)，所以 \(a=-1\)）

第三关：生活应用（精选解析）

1. 解：设笔记本单价 \(a\)，笔单价 \(b\)，总钱 \(M\)。条件1：\(M < 8a \Rightarrow a > \frac{M}{8}\)。条件2：\(M < 15b \Rightarrow b > \frac{M}{15}\)。条件3：\(a > 2b\)。问：全买笔的数量 \(N = \frac{M}{b}\) 的范围。由条件2知 \(b > \frac{M}{15}\)，所以 \(N = \frac{M}{b} < 15\)。由条件1和3：\(a > 2b\) 且 \(a > \frac{M}{8}\)，取更严格限制？分析：要 \(N\) 尽可能小，需 \(b\) 大。但 \(b\) 受 \(a > 2b\) 和 \(a > \frac{M}{8}\) 限制，\(a\) 可以很大，但 \(b\) 必须小于 \(a/2\)，且 \(a\) 只需大于 \(M/8\)，所以 \(b\) 可以小于 \((M/8)/2 = M/16\)。因此 \(b\) 的范围是：大于 \(M/15\) 且可以小于 \(M/16\)？这矛盾（一个数不能同时大于 \(M/15\) 又小于 \(M/16\)）。所以条件限制下，\(b\) 必须 \(> M/15\)，同时由 \(a > 2b\) 和 \(a > M/8\)，若取 \(a = M/8\)，则要求 \(M/8 > 2b \Rightarrow b < M/16\)。这与 \(b > M/15\) 冲突。因此无解，说明原条件（买一本笔记本的钱多于2支笔，且各自能买的数量上限）在数学上不能同时成立。这是一个引导学生检查条件合理性的好题。
2. 解：设甲效 \(x\) (总量/天)，乙效 \(y\)。则甲单独完成时间 \(T_甲 = \frac{1}{x} < 20 \Rightarrow x > \frac{1}{20}\)。乙单独完成时间 \(T_乙 = \frac{1}{y} < 30 \Rightarrow y > \frac{1}{30}\)。合作时间 \(T_合 = \frac{1}{x+y} < 10 \Rightarrow x+y > \frac{1}{10}\)。我们需要判断是否存在 \(x, y\) 使得 \(x > \frac{1}{20}\)， \(y > \frac{1}{30}\)，且 \(x+y > \frac{1}{10}\) 同时成立。这是可能的，例如取 \(x=0.06(>0.05), y=0.04(>0.033)\)，则 \(x+y=0.1\)，等于 \(1/10\)，不满足“大于”；取 \(x=0.07, y=0.04\)，则 \(x+y=0.11 > 0.1\)，满足。所以要求可能实现。
3. 解：储存要求：\(0 < t < 22\)。运输要求：\(t < 5\)。要同时满足，取公共部分：\(0 < t < 5\)。