同位角内错角同旁内角怎么找？FZN模型深度解析与中考题型全攻略专项练习题库
适用年级
几何
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-21
💡 阿星精讲：同位角/内错角/同旁内角 原理
- 核心概念： 嘿，伙计们！想象一下，三条直线就像三条马路，两条被第三条“拦腰截断”（我们称它为“截线”），这样就形成了一个复杂的十字路口。我们就是要在这个路口里，找到三对特殊的“双胞胎”角。别怕，记住阿星的“FZN”探案模型！拿个放大镜，在图形中找出隐藏的字母“F”、“Z”和“N”（或躺倒的“U”）。“F”找同位角（位置相同，像F的两个短横），“Z”找内错角（在Z字内部交错），“U”找同旁内角（在U的同一旁内侧）。它们都是成对出现的，而且只有在两条直线被第三条直线所截时才有意义！
- 计算秘籍： 找到这些角本身不是目的，我们的终极目标是利用它们的数量关系来判定两条线是否平行，或者在平行线已知时进行角度计算。
- 判定平行： 如果同位角相等 \( (\angle_1 = \angle_2) \)，那么两直线平行。如果内错角相等 \( (\angle_3 = \angle_4) \)，那么两直线平行。如果同旁内角互补 \( (\angle_5 + \angle_6 = 180^\circ) \)，那么两直线平行。
- 已知平行求角： 如果已知两直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。利用这个，可以把未知角转化为已知角来计算。
- 阿星口诀： 三线八角闹哄哄，FZN来找不同。同位F像双胞胎，内错Z字藏其中。同旁U里是好友，互补相加一百八。平行判定全靠它，几何推理顶呱呱！
📐 图形解析
让我们在标准的“三线八角”图中，标记出F、Z、N模型，看看这些角到底藏在哪。记住，直线 \( l_3 \) 是截线，\( l_1 \) 和 \( l_2 \) 是被截线。
同位角（F型）关系： \( \angle 1 \) 与 \( \angle 5 \)， \( \angle 2 \) 与 \( \angle 6 \)， \( \angle 3 \) 与 \( \angle 7 \)， \( \angle 4 \) 与 \( \angle 8 \)。
内错角（Z型）关系： \( \angle 3 \) 与 \( \angle 5 \)， \( \angle 4 \) 与 \( \angle 6 \)。
同旁内角（U/N型）关系： \( \angle 3 \) 与 \( \angle 6 \)， \( \angle 4 \) 与 \( \angle 5 \)。
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1： 在复杂的图形中，不先确定“截线”和“被截线”，就直接找角。→ ✅ 正解： 永远先找到第三条截线（它同时与另外两条线相交），再去看被它分开的另外两条线（被截线）。你要找的角，必须由这三条线构成。
- ❌ 错误2： 认为“同位角相等”、“内错角相等”是永远成立的。→ ✅ 正解： 这些关系成立的前提是两条被截线必须平行！如果它们不平行，这些角就没有固定的相等或互补关系。反过来，我们是用这些角的相等或互补关系来推断两条线是否平行。
🔥 三例题精讲
例题1：识别高手 如图，直线 \( AB, CD \) 被直线 \( EF \) 所截，请找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。
📌 解析：
- 确定三线：截线是 \( EF \)，被截线是 \( AB \) 和 \( CD \)。
- 应用FZN模型：
- 同位角（F型）：\( \angle M \)与\( \angle R \)，\( \angle N \)与\( \angle S \)，\( \angle P \)与\( \angle U \)，\( \angle Q \)与\( \angle T \)。共4对。
- 内错角（Z型）：\( \angle P \)与\( \angle S \)，\( \angle Q \)与\( \angle R \)。共2对。
- 同旁内角（U型）：\( \angle P \)与\( \angle R \)，\( \angle Q \)与\( \angle S \)。共2对。
✅ 总结： 识别是基础，牢记“先定截线，再找模型”。
例题2：推理计算 如图，已知 \( l_1 \parallel l_2 \)，\( \angle 1 = 72^\circ \)，求 \( \angle 2 \) 的度数。
📌 解析：
- 观察图形，\( \angle 1 \) 和 \( \angle 2 \) 由直线 \( l_1, l_2 \) 和斜线构成。它们不是我们熟悉的F、Z、U中的任何一种直接关系。
- 我们需要一个“桥梁”。发现 \( \angle 1 \) 有一个对顶角，我们记为 \( \angle 3 \)，且 \( \angle 3 = \angle 1 = 72^\circ \)。
- 现在看 \( \angle 3 \) 和 \( \angle 2 \)，它们明显是同旁内角（U型）！因为 \( l_1 \parallel l_2 \)，根据性质：两直线平行，同旁内角互补。即 \( \angle 3 + \angle 2 = 180^\circ \)。
- 代入计算：\( 72^\circ + \angle 2 = 180^\circ \)，所以 \( \angle 2 = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ \)。
✅ 总结： 在平行线中求角度，关键是将目标角通过对顶角、邻补角等关系，转化到与已知角构成F、Z、U关系的位置上，再利用平行线的性质计算。本题的转化路径是：\( \angle 1 \xrightarrow[]{对顶角} \angle 3 \xrightarrow[]{同旁内角} \angle 2 \)。
例题3：生活应用-测距 如图，为了测量一池塘两侧A、B两点间的距离，小明在地面上选取一点C，连接AC、BC并延长至D、E，使得 \( AC=DC \)，\( BC=EC \)。他测量出DE的长度为85米。请问AB的长度是多少？为什么？
📌 解析：
- 分析条件：\( AC=DC \)，\( BC=EC \)。在 \( \triangle ABC \) 和 \( \triangle DEC \) 中，我们已经有两组对应边相等。
- 寻找角的关系：观察 \( \angle ACB \) 和 \( \angle DCE \)，它们是一组对顶角，所以相等。即 \( \angle ACB = \angle DCE \)。
- 因此，根据“边角边（SAS）”判定定理，\( \triangle ABC \cong \triangle DEC \)。
- 由全等三角形性质，对应边相等，所以 \( AB = DE \)。
- 已知 \( DE = 85 \) 米，所以 \( AB = 85 \) 米。
✅ 总结： 本题的核心是利用对顶角相等（可看作是特殊的“F”型同位角，只是两条线相交而非平行）来构造全等三角形，从而将不可直接测量的距离AB转化为可测量的距离DE。这体现了FZN相关角的知识在几何推理和实际测量中的强大应用。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 看图，直线a，b被c所截，指出 \( \angle 1 \) 的同位角。
- 看图，直线a，b被c所截，指出 \( \angle 2 \) 的内错角。
- 看图，直线a，b被c所截，指出 \( \angle 3 \) 的同旁内角。
- 若两平行线被第三条直线所截，一对同位角的度数是 \( 115^\circ \)，另一对内错角的度数是多少？
- 若两平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的度数比是 \( 2:3 \)，求这两个角的度数。
- 如图，\( a \parallel b \)，\( \angle 1=50^\circ \)，求 \( \angle 2 \)。
- 如图，\( a \parallel b \)，\( \angle 1=110^\circ \)，求 \( \angle 2 \)。
- 判断：内错角一定相等。（ ）
- 判断：同旁内角一定互补。（ ）
- 判断：两条直线被第三条直线所截，形成的同位角有4对。（ ）
第二关：中考挑战（10道）
- (中考真题改编) 如图，\( AB \parallel CD \)，\( \angle ABE=120^\circ \)，\( \angle DCE=35^\circ \)，则 \( \angle BEC = \) ______度。
- 如图，\( AD \parallel BC \)，\( \angle B=30^\circ \)，\( \angle BCA=70^\circ \)，CA平分 \( \angle BCD \)，求 \( \angle DAC \) 度数。
- 如图，已知 \( \angle 1 = \angle 2 \)，求证：\( \angle 3 = \angle 4 \)。（要求写出每一步推理依据）
- 如图，\( BE \) 平分 \( \angle ABC \)，\( DE \parallel BC \)，\( \angle ABC=70^\circ \)，求 \( \angle BED \) 度数。
- 下列图形中，由 \( \angle 1 = \angle 2 \) 能判定 \( AB \parallel CD \) 的是（ ）。(配四个小图选项)
- 如图，将一块含 \( 45^\circ \) 的直角三角板与一把直尺如图放置，若 \( \angle 1 = 85^\circ \)，则 \( \angle 2 = \) ______。
- 如图，\( AB \parallel CD \)，\( EF \) 分别交AB、CD于M、N，\( \angle EMB=50^\circ \)，MG平分 \( \angle BMF \)，MG交CD于G，求 \( \angle 1 \) 度数。
- 如图，\( \angle 1=70^\circ \)，\( \angle 2=110^\circ \)，\( \angle 3=80^\circ \)，则 \( \angle 4 = \) ______。
- 已知：如图，\( \angle A = \angle F \)，\( \angle C = \angle D \)。求证：\( BD \parallel CE \)。
- 如图，已知 \( AB \parallel CD \)，试探求 \( \angle B \)、\( \angle D \)、\( \angle BED \) 之间的数量关系，并证明。
第三关：生活应用（5道）
- （工程测量）如图，工人在安装空调支架时，需要确保外机平台AB与墙面固定杆CD平行。他用水平尺测得 \( \angle 1 = 92^\circ \)，\( \angle 2 = 88^\circ \)。请问安装是否符合平行要求？依据是什么？
- （建筑设计）窗户的上下滑轨（AB和CD）需要严格平行，师傅用测量仪测得滑轨与窗框的一个夹角为 \( 89^\circ \)，另一个同旁内角为 \( 91^\circ \)。请问滑轨平行吗？为什么？
- （道路规划）如图，一条主干道l和两条辅路m、n相交。规划要求辅路m平行于辅路n。现测得图中一个“Z”字形的内错角都是 \( 87^\circ \)。这个测量结果能保证m平行于n吗？实际施工中需要考虑什么？
- （折叠问题）将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在D‘、C’的位置。若 \( \angle EFB = 65^\circ \)，求 \( \angle AED' \) 的度数。
- （镜子反射）一束光线照射到平面镜a上，反射到平面镜b上再次反射。已知两平面镜a和b平行，入射光线与镜面a的夹角 \( \angle 1 = 40^\circ \)。求第二次反射后的光线与镜面b的夹角 \( \angle 2 \)。（提示：根据反射定律，入射角等于反射角）
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：同位角/内错角/同旁内角 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难点主要有三：一是图形抽象，三线八角图一旦嵌入复杂图形中就难以辨认；二是概念混淆，分不清三种角的位置关系和名称；三是逻辑链断裂，不明白“由角的关系推平行”和“由平行得角的关系”这两个互逆过程的应用场景。FZN模型正是为了解决前两个难点而生，将抽象图形具体化、形象化。第三个难点则需要通过大量有梯度的推理题来训练逻辑思维的严密性。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：这是几何证明的“基石”之一。它直接引出平行线的判定与性质，是学习平行四边形、梯形、相似三角形等几乎所有后续平面几何知识的基础工具。例如，证明平行四边形对边平行，就需要用到内错角相等；证明三角形内角和为 \( 180^\circ \)，关键一步就是过顶点作平行线，利用同位角或内错角进行等量代换。可以说，掌握了它，就打通了初中几何推理的“任督二脉”。
问：有什么一招必胜的解题"套路"吗？
答：当然有核心心法！面对任何涉及平行与角的问题，请遵循以下三步法：“一看、二找、三转化”。
- 一看： 看题目给出的已知条件是“线平行”还是“角相等/互补”。
- 二找： 根据上一步，决定是“用性质”还是“用判定”。
- 若已知线平行，则立刻去图形中找F、Z、U模型，利用性质（同位角等、内错角等、同旁内角互补）得到新的角关系。
- 若已知角的关系，则立刻去图形中判断这是哪种模型（F/Z/U），并确定是哪两条线被哪条线所截，从而利用判定定理推出线平行。
- 三转化： 如果目标角与已知角没有直接的F、Z、U关系，就要利用对顶角相等、邻补角互补、公共角、等量代换等“桥梁”进行转化，直到建立起联系为止。口诀是：“遇平行，找模型；遇角度，想判定；无直接，巧转化”。
答案与解析
第一关 基础热身
- （视具体图形而定）同位角是位置相同的角。
- （视具体图形而定）内错角是“Z”字形内部交错的角。
- （视具体图形而定）同旁内角是“U”字形同一旁内侧的角。
- \( 115^\circ \)。因为两直线平行，内错角相等，且等于同位角。
- 设两角为 \( 2x \) 和 \( 3x \)，则 \( 2x + 3x = 180^\circ \)，解得 \( x = 36^\circ \)。两角分别为 \( 72^\circ \) 和 \( 108^\circ \)。
- \( \angle 2 = 130^\circ \)。（解析：\( \angle 1 \) 的同位角或内错角是 \( 50^\circ \)，\( \angle 2 \) 与其互补或构成平角等，具体看图形）
- \( \angle 2 = 70^\circ \)。（解析：\( \angle 1 \) 的邻补角是 \( 70^\circ \)，该角与 \( \angle 2 \) 是内错角或同位角，相等）
- ❌ 错误。前提是两直线平行。
- ❌ 错误。前提是两直线平行。
- ✅ 正确。
（注：为控制篇幅，第二、三关详细解析略，提供关键思路或答案）
第二关 中考挑战
- \( 95^\circ \)。（过E作AB的平行线，利用两次平行线性质）
- \( 40^\circ \)。（利用平行和角平分线）
- 证明：∵ \( \angle 1 = \angle 2 \) (已知)，∴ \( a \parallel b \) (同位角相等，两直线平行)。∴ \( \angle 3 = \angle 4 \) (两直线平行，内错角相等)。
- \( 35^\circ \)。
- （需具体分析哪个图形中 \( \angle 1 \) 和 \( \angle 2 \) 是直线AB、CD被第三条直线所截形成的同位角或内错角）
- \( 40^\circ \)。（利用平行线性质和对顶角）
- \( 65^\circ \)。
- \( 100^\circ \)。（由 \( \angle 1+\angle2=180^\circ \) 可推出一组平行线）
- 证明：∵ \( \angle A = \angle F \) (已知)，∴ \( AC \parallel DF \) (内错角相等，两直线平行)。∴ \( \angle C = \angle FEC \) (两直线平行，内错角相等)。又∵ \( \angle C = \angle D \) (已知)，∴ \( \angle FEC = \angle D \) (等量代换)。∴ \( BD \parallel CE \) (同位角相等，两直线平行)。
- \( \angle BED = \angle B + \angle D \)。（过E作AB的平行线，利用平行线性质证明）
第三关 生活应用
- 符合。因为 \( \angle 1 + \angle 2 = 92^\circ + 88^\circ = 180^\circ \)，即同旁内角互补，所以 \( AB \parallel CD \)。
- 不严格平行。理论上，同旁内角互补才平行，\( 89^\circ + 91^\circ = 180^\circ \)，但测量有误差，基本符合。
- 理论上，内错角相等 (\(87^\circ = 87^\circ\)) 能判定 \( m \parallel n \)。实际施工需考虑测量误差和道路的平直度。
- \( 50^\circ \)。（\( \angle DEF = \angle D'EF = 65^\circ \)，\( \angle AED' = 180^\circ - 2 \times 65^\circ = 50^\circ \)）
- \( 40^\circ \)。（利用两次反射定律和平行线内错角相等，可以证明出射光线与入射光线平行，且与镜面夹角始终相等）
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